1．理解線段的垂直平分線的概念；


2．掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)定理及逆定理；(重點)


3．能運用線段的垂直平分線的有關知識進行證明或計算．(難點)





一、情境導入


1．我們學過軸對稱圖形，這類圖形因為具有軸對稱的特征而顯得勻稱美麗．那么什么樣的圖形是軸對稱圖形？


2．我們學過的圖形中，有哪些圖形是軸對稱圖形？線段是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？


二、合作探究


探究點一：線段垂直平分線的性質(zhì)


【類型一】 利用線段垂直平分線的性質(zhì)進行證明


如圖，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC的延長線于F，連接AF.試說明：∠B＝∠CAF.





解析：由EF垂直平分AD，則可得AF＝DF，進而再轉(zhuǎn)化為角之間的關系，通過角之間的關系轉(zhuǎn)化，最終得出結(jié)論．


解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.∵EF垂直平分AD，∴AF＝DF，∴∠ADF＝∠DAF.∵∠ADF＋∠ADB＝180°，∠BAD＋∠B＋∠ADB＝180°，∴∠ADF＝∠B＋∠BAD.又∵∠DAF＝∠CAF＋∠CAD，∠BAD＝∠CAD，∴∠B＝∠CAF.


方法總結(jié)：解題時，往往利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出線段相等，進而得出角相等，這體現(xiàn)了數(shù)學的轉(zhuǎn)化思想．


【類型二】 利用線段垂直平分線的性質(zhì)進行判斷


如圖，已知AB是CD的垂直平分線，下列結(jié)論：①CO＝DO；②AO＝BO；③AB⊥CD；④CD⊥AB.正確的有( )











A．1個 B．2個 C．3個 D．4個


解析：因為AB是CD的垂直平分線，所以AB垂直于CD，且把CD分成相等的兩部分．所以①CO＝DO，③AB⊥CD，④CD⊥AB都正確，只有②AO＝BO錯誤．故選C.


方法總結(jié)：AB是CD的垂直平分線，它包含兩個方面的含義：一是AB與CD垂直，二是AB把CD分成相等的兩部分．“垂直”是相互的，而“平分”是“單向”的．


【類型三】 與線段垂直平分線有關的計算


如圖，DE是AC的垂直平分線，AB＝12厘米，BC＝10厘米，則△BCD的周長為( )





A．22厘米 B．16厘米


C．26厘米 D．25厘米


解析：要求△BCD的周長，已知BC的長度，只要求出BD＋CD即可．根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得CD＝AD，故△BCD的周長為BD＋DC＋BC＝AD＋BD＋BC＝AB＋BC＝12＋10＝22(厘米)．故選A.


方法總結(jié)：此題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．對相等的線段進行轉(zhuǎn)化是解答本題的關鍵．


【類型四】 線段垂直平分線的性質(zhì)與全等三角形的綜合








如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為CD的中點，連接AE、BE，BE⊥AE，延長AE交BC的延長線于點F.試說明：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.


解析：(1)根據(jù)AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根據(jù)E是CD的中點可求出△ADE≌△FCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可解答；(2)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)判斷出AB＝BF即可解答．


解：(1)∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF.∵E是CD的中點，∴DE＝EC.又∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE，∴FC＝AD；


(2)∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF.又∵BE⊥AE，∴BE是線段AF的垂直平分線，∴AB＝BF＝BC＋CF.∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD.


方法總結(jié)：此題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)等幾何知識．線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等，利用它可以證明線段相等．


探究點二：線段垂直平分線的作圖


如圖，某地由于居民增多，要在公路l邊增加一個公共汽車站，A，B是路邊兩個新建小區(qū)，這個公共汽車站C建在什么位置，能使兩個小區(qū)到車站的路程一樣長(要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫畫法)?





解析：作線段AB的垂直平分線，由垂直平分線的定理可知，垂直平分線上的點到A，B的距離相等．


解：連接AB，作AB的垂直平分線交直線l于O，交AB于E.





∵EO是線段AB的垂直平分線，∴點O到A，B的距離相等，∴這個公共汽車站C應建在O點處，才能使到兩個小區(qū)的路程一樣長．


方法總結(jié)：對于作圖題首先要理解題意，弄清問題中對所作圖形的要求，結(jié)合對應幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖的方法作圖．


三、板書設計


1．線段垂直平分線的定義


2．線段垂直平分線的性質(zhì)：


線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等．





本節(jié)課學習了線段的垂直平分線的定義、性質(zhì)、判定，由線段的垂直平分線的性質(zhì)可以得出線段相等；要判定線段的垂直平分線有兩種方法：(1)根據(jù)定義；(2)根據(jù)判定定理．在教學中，讓學生主動參與，理解線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定的區(qū)別與聯(lián)系．同時由線段的垂直平分線的性質(zhì)的教學滲透數(shù)學的轉(zhuǎn)化思想

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3 簡單的軸對稱圖形

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