2．2.1 圓心角





1．在實際操作中發(fā)現(xiàn)圓的旋轉(zhuǎn)不變性；


2．結(jié)合圖形了解圓心角的概念，學(xué)會辨別圓心角；


3．能發(fā)現(xiàn)圓心角、弦、弧之間的關(guān)系，并會初步運用這些關(guān)系解決有關(guān)的問題．(重點)











一、情境導(dǎo)入


人類為了獲得健康和長壽，經(jīng)過不斷的實踐探索，到十九世紀(jì)末才提出“生命在于運動”的口號．要





健康長壽，更重要的是每天要攝取均衡的營養(yǎng)包括蛋白質(zhì)、糖類、脂肪、維生素、礦物質(zhì)、纖維和水．根據(jù)中國營養(yǎng)學(xué)會公布的“中國居民平衡膳食指南”，每人每日攝取量如圖．你能求出各扇形的圓心角嗎？


二、合作探究


探究點一：圓心角的識別


如圖所示的圓中，下列各角是圓心角的是( )





A．∠ABC


B．∠AOB


C．∠OAB


D．∠OCB


解析：根據(jù)圓心角的概念，∠ABC、∠OAB、∠OCB的頂點分別是B、A、C，都不是圓心O，因此都不是圓心角．只有B中的∠AOB的頂點在圓心，是圓心角．故選B.


方法總結(jié)：確定一個角是否是圓心角，只要看這個角的頂點是否在圓心上，頂點在圓心上的角就是圓心角，否則不是．


探究點二：圓心角、弦、弧之間的關(guān)系


【類型一】 結(jié)合三角形內(nèi)角和求角


如圖所示，在⊙O中，eq \(AB,\s\up8(︵))＝eq \(AC,\s\up8(︵))，∠B＝70°，則∠A＝________．





解析：由eq \(AB,\s\up8(︵))＝eq \(AC,\s\up8(︵))，得這兩條弧所對的弦AB＝AC，所以∠B＝∠C.因為∠B＝70°，所以∠C＝70°.由三角形的內(nèi)角和定理可得∠A的度數(shù)為40°.故答案為40°.


方法總結(jié)：在應(yīng)用弧、弦、圓心角之間的關(guān)系定理時，注意根據(jù)具體的需要選擇有關(guān)部分，本題只需由兩弧相等，得到兩弦相等就可以了．


變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第1題


【類型二】 弧相等的簡單證明








如圖所示，已知AB是⊙O的直徑，M，N分別是OA，OB的中點，CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分別為M，N.求證：eq \(AC,\s\up8(︵))＝eq \(BD,\s\up8(︵)).


解析：根據(jù)圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系，可先證明它們所對的圓心角相等或它們所對的弦相等．


解：證法1：如圖所示，連接OC，OD，則OC＝OD.∵OA＝OB，又∵M(jìn)，N分別是OA，OB的中點，∴OM＝ON.又∵CM⊥AB，DN⊥AB，∴∠CMO＝∠DNO＝90°.∴Rt△CMO≌Rt△DNO.∴∠1＝∠2.∴eq \(AC,\s\up8(︵))＝eq \(BD,\s\up8(︵)).


證法2：如圖①所示，分別延長CM，DN交⊙O于點E，F(xiàn).∵OM＝eq \f(1,2)OA，ON＝eq \f(1,2)OB，OA＝OB，∴OM＝ON.又∵OM⊥CE，ON⊥DF，∴CE＝DF，∴eq \(CE,\s\up8(︵))＝eq \(DF,\s\up8(︵)).又∵eq \(AC,\s\up8(︵))＝eq \f(1,2)eq \(CE,\s\up8(︵))，eq \(BD,\s\up8(︵))＝eq \f(1,2)eq \(DF,\s\up8(︵))，∴eq \(AC,\s\up8(︵))＝eq \(BD,\s\up8(︵)).


圖①


圖②








證法3：如圖②所示，連接AC，BD.由證法1，知CM＝DN.又∵AM＝BN，∠AMC＝∠BND＝90°，∴△AMC≌△BND，∴AC＝BD，∴eq \(AC,\s\up8(︵))＝eq \(BD,\s\up8(︵)).


方法歸納：在同圓或等圓中，要證明圓心角、弧、弦、弦心距這四組量中的某一組量相等，通常是轉(zhuǎn)化成證明另外三組量中的某一組量相等．


變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第6題


三、板書設(shè)計








本節(jié)課是從圓的旋轉(zhuǎn)不變性出發(fā)，推出了弧、弦、圓心角之間的關(guān)系，只要確定一組等量關(guān)系，其他兩組也隨之確定了.


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初中數(shù)學(xué)湘教版九年級下冊電子課本

2.2 圓心角、圓周角

版本： 湘教版

年級： 九年級下冊

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