第1課時(shí) 拋物線形二次函數(shù)


學(xué)習(xí)目的


【知識(shí)與技能】


能夠分析和表示不同背景下實(shí)際問題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系,并能利用二次函數(shù)的知識(shí)解決實(shí)際問題.


【過程與方法】


經(jīng)歷運(yùn)用二次函數(shù)解決實(shí)際問題的探究過程,進(jìn)一步體驗(yàn)運(yùn)用數(shù)學(xué)方法描述變量之間的依賴關(guān)系,體會(huì)二次函數(shù)是解決實(shí)際問題的重要模型,提高運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.


【情感態(tài)度】


1.體驗(yàn)函數(shù)是有效的描述現(xiàn)實(shí)世界的重要手段,認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)是解決問題和進(jìn)行交流的重要工具.


2.敢于面對(duì)在解決實(shí)際問題時(shí)碰到的困難,積累運(yùn)用知識(shí)解決問題的成功經(jīng)驗(yàn).


【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】


用拋物線的知識(shí)解決拱橋類問題.


【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】


將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為拋物線的知識(shí)來解決.


自學(xué)過程


一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識(shí)


通過預(yù)習(xí)P29頁(yè)的內(nèi)容，完成下面各題.


1.要求出教材P29動(dòng)腦筋中“拱頂離水面的高度變化情況”，你準(zhǔn)備采取什么辦法？


2.根據(jù)教材P29圖1-18，你猜測(cè)是什么樣的函數(shù)呢？


3.怎樣建立直角坐標(biāo)系比較簡(jiǎn)便呢？試著畫一畫它的草圖看看！


4.根據(jù)圖象你能求出函數(shù)的解析式嗎？試一試！


二、思考探究，獲取新知


探究 直觀圖象的建模應(yīng)用





例1 某工廠的大門是一拋物線形水泥建筑物，


大門的地面寬度為8m，兩側(cè)距地面3m高處各


有一盞壁燈，兩壁燈之間的水平距離是6m,如


圖所示，則廠門的高（水泥建筑物厚度不計(jì)，


精確到0.1m)約為（ ）





【分析】因?yàn)榇箝T是拋物線形，所以建立二次函數(shù)模型來解決問題.


先建立平面直角坐標(biāo)系,如圖,設(shè)大門地面寬度


為AB,兩壁燈之間的水平距離為CD,則B,D坐標(biāo)


分別為(4,0),(3,3),設(shè)拋物線解析式為y=ax2+h.


把（3，3），（4，0）代入解析式求得h≈6.9.故選A.


【自學(xué)說明】根據(jù)直觀圖象建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系和解析式.





例2 小紅家門前有一座拋物線形拱橋,如圖,


當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面2m,水面寬4m,水面


下降1m時(shí)，水面寬度增加多少？


【分析】拱橋類問題一般是轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的知識(shí)來解決.





解:由題意建立如圖的直角坐標(biāo)系,設(shè)拋物線的解析式y(tǒng)=ax2,


∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（2，-2），∴-2=4a,


∴a=- SKIPIF 1 < 0 ,即拋物線的解析式為y=- SKIPIF 1 < 0 x2,


當(dāng)水面下降1m時(shí)，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為-3.


將y=-3代入二次函數(shù)解析式，得y=- SKIPIF 1 < 0 x2,


得-3=- SKIPIF 1 < 0 x2→x2=6→x=± SKIPIF 1 < 0 ,∴此時(shí)水面寬度為2|x|=2 SKIPIF 1 < 0 m.


即水面下降1m時(shí)，水面寬度增加了(2 SKIPIF 1 < 0 -4)m.


【自學(xué)說明】用二次函數(shù)知識(shí)解決拱橋類的實(shí)際問題一定要建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系；拋物線的解析式假設(shè)恰當(dāng)會(huì)給解決問題帶來方便.








三、運(yùn)用新知，深化理解


1.某溶洞是拋物線形，它的截面如圖所示.現(xiàn)測(cè)得水面寬AB=1.6m,溶洞頂點(diǎn)O到水面的距離為2.4m,在圖中直角坐標(biāo)系內(nèi)，溶洞所在拋物線的函數(shù)關(guān)系式是（ ）


A.y= SKIPIF 1 < 0 x2 B.y= SKIPIF 1 < 0 x2+ SKIPIF 1 < 0


C.y=- SKIPIF 1 < 0 x2 D.y=- SKIPIF 1 < 0 x2+ SKIPIF 1 < 0


2.某公園草坪的防護(hù)欄是由100段形狀相同的拋物線形組成的，為了牢固起見，每段護(hù)欄需要間距0.4m加設(shè)一根不銹鋼的支柱，防護(hù)欄的最高點(diǎn)距底部0.5m（如圖），則這條防護(hù)欄需要不銹鋼支柱的總長(zhǎng)度至少為（ ）


A.50m B.100m C.160m D.200m





第2題圖 第3題圖





3.如圖，濟(jì)南建邦大橋有一段拋物線形的拱梁，拋物線的表達(dá)式為y=ax2+bx,小強(qiáng)騎自行車從拱梁一端O沿直線勻速穿過拱梁部分的橋面OC，當(dāng)小強(qiáng)騎自行車行駛10秒時(shí)和26秒時(shí)拱梁的高度相同，則小強(qiáng)騎自行車通過拱梁部分的橋面OC共需 秒.


4.(浙江金華中考）如圖，足球場(chǎng)上守門員在O處


踢出一高球，球從離地面1米處飛出（A在y軸上），運(yùn)


動(dòng)員乙在距O點(diǎn)6米的B處發(fā)現(xiàn)球在自己的正上方達(dá)到最


高點(diǎn)M，距地面約4米高，球落地后又一次彈起.據(jù)實(shí)驗(yàn),足球在草坪上彈起后的拋物線與原來的拋物線形狀相同,最大高度減少到原來最大高度的一半.


(1)求足球開始飛出到第一次落地時(shí),該拋物線的表達(dá)式;


(2)足球第一次落地點(diǎn)C距守門員是多少米?(取4 SKIPIF 1 < 0 ≈7,2 SKIPIF 1 < 0 ≈5)


(3)運(yùn)動(dòng)員乙要搶到第二個(gè)落點(diǎn)D，他應(yīng)再向前跑多少米？


【自學(xué)說明】學(xué)生自覺完成上述習(xí)題，加深對(duì)新知的理解，并適當(dāng)加以分析，提示如第4題，由圖象的類型及已知條件，設(shè)其解析式為y=a(x-6)2+4,過點(diǎn)A（0，1），可求出a;（2）令y=0可求出x的值，x＜0舍去；（3）令y=0,求出C點(diǎn)坐標(biāo)（6+4 SKIPIF 1 < 0 ,0),設(shè)拋物線CND為y=- SKIPIF 1 < 0 (x-k)2+2,代入C點(diǎn)坐標(biāo)可求出k值(k＞6+4 SKIPIF 1 < 0 ).再令y=0可求出C、D的坐標(biāo)，進(jìn)而求出BD.


【答案】1.C 2.C 3.36 4.解:(1)y=- SKIPIF 1 < 0 (x-6)2+4(2)令y=0,可求C點(diǎn)到守門員約13米. (3)向前約跑17米.


四、預(yù)習(xí)小結(jié)


你學(xué)到了什么?還有哪些疑惑?


建立二次實(shí)際問題的一般步驟:(1)根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系.(2)把已知條件轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo).(3)合理設(shè)出函數(shù)解析式.(4)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式.(5)根據(jù)求得的解析式進(jìn)一步分析,判斷并進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算.








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初中數(shù)學(xué)湘教版九年級(jí)下冊(cè)電子課本

1.5 二次函數(shù)的應(yīng)用

版本： 湘教版

年級(jí)： 九年級(jí)下冊(cè)

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