一．選擇題


1．二次函數(shù)y＝﹣2（x+1）2﹣4，下列說法正確的是（ ）


A．開口向上


B．對稱軸為直線x＝1


C．頂點坐標(biāo)為（1，4）


D．當(dāng)x＜﹣1時，y隨x的增大而增大


2．拋物線y＝﹣x2+bx+c上部分點的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如下表所示：


從上表可知，下列說法中，錯誤的是（ ）


A．拋物線與x軸的一個交點坐標(biāo)為（﹣2，0）


B．拋物線與y軸的交點坐標(biāo)為（0，6）


C．拋物線的對稱軸是直線x＝0


D．拋物線在對稱軸左側(cè)部分是上升的


3．一次函數(shù)y＝acx+b與二次函數(shù)y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（ ）


A．B．


C．D．


4．把拋物線y＝﹣2x2+4x+1的圖象向左平移2個單位，再向上平移3個單位，所得的拋物線的函數(shù)關(guān)系式是（ ）


A．y＝﹣2（x﹣1）2+6B．y＝﹣2（x﹣1）2﹣6


C．y＝﹣2（x+1）2+6D．y＝﹣2（x+1）2﹣6


5．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，對稱軸是直線x＝1．下列結(jié)論：①abc＞0；②2a+b＝0；③b2﹣4ac＜0；④4a+2b+c＞0．其中正確的是（ ）





A．①③B．②C．②④D．③④


6．如果拋物線經(jīng)過點A（2，0）和B（﹣1，0），且與y軸交于點C，若OC＝2．則這條拋物線的解析式是（ ）


A．y＝x2﹣x﹣2B．y＝﹣x2﹣x﹣2或y＝x2+x+2


C．y＝﹣x2+x+2D．y＝x2﹣x﹣2或y＝﹣x2+x+2


7．已知拋物線y＝x2﹣8x+c的頂點在x軸上，則c等于（ ）


A．4B．8C．﹣4D．16


8．“如果二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸有兩個公共點，那么一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個不相等的實數(shù)根．”請根據(jù)你對這句話的理解，解決下面問題：若m、n（m＜n）是關(guān)于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的兩根，且a＜b，則a、b、m、n的大小關(guān)系是（ ）


A．m＜a＜b＜nB．a(chǎn)＜m＜n＜bC．a(chǎn)＜m＜b＜nD．m＜a＜n＜b


9．如圖，拋物線y＝﹣2x2+4x與x軸的另一個交點為A，現(xiàn)將拋物線向右平移m（m＞2）個單位長度，所得拋物線與x軸交于C，D，與原拋物線交于點P，設(shè)△PCD的面積為S，則用m表示S正確的是（ ）





A．（m2﹣4）B．m2﹣2C．（4﹣m2）D．2﹣m2


10．已知：如圖，正方形ABCD中，AB＝2，AC，BD相交于點O，E，F(xiàn)分別為邊BC，CD上的動點（點E，F(xiàn)不與線段BC，CD的端點重合）．且BE＝CF，連接OE，OF，EF．在點E，F(xiàn)運動的過程中，有下列四個說法：


①△OEF是等腰直角三角形；②△OEF面積的最小值是；


③至少存在一個△ECF，使得△ECF的周長是2+；④四邊形OECF的面積是1．


其中正確的是（ ）





A．①②③B．③④C．①②④D．①②③④


二．填空題


11．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（0≤x≤3）的圖象如圖所示，則y的取值范圍是 ．





12．已知拋物線與x軸交點的橫坐標(biāo)分別為3，1；與y軸交點的縱坐標(biāo)為6，則二次函數(shù)的關(guān)系式是 ．


13．二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的部分圖象如圖所示，由圖象可知，不等式﹣x2+bx+c＜0的解集為 ．





14．已知關(guān)于x的函數(shù)y＝（m﹣1）x2+2x+m圖象與坐標(biāo)軸只有2個交點，則m＝ ．


15．如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)拱頂離水面2m時，水面寬4m，則水面下降1m時，水面寬度增加 m．





三．解答題


16．已知二次函數(shù)y＝2x2﹣4x﹣6．


（1）用配方法將y＝2x2﹣4x﹣6化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；


（2）在平面直角坐標(biāo)系中，畫出這個二次函數(shù)的圖象；


（3）當(dāng)x取何值時，y隨x的增大而減少？


（4）當(dāng)x取何值是，y＝0，y＞0，y＜0，


（5）當(dāng)0＜x＜4時，求y的取值范圍；


（6）求函數(shù)圖象與兩坐標(biāo)軸交點所圍成的三角形的面積．

















17．已知：二次函數(shù)為y＝x2﹣x+m，


（1）寫出它的圖象的開口方向，對稱軸及頂點坐標(biāo)；


（2）m為何值時，頂點在x軸上方；


（3）若拋物線與y軸交于A，過A作AB∥x軸交拋物線于另一點B，當(dāng)S△AOB＝4時，求此二次函數(shù)的解析式．














18．某德陽特產(chǎn)專賣店銷售“中江柚”，已知“中江柚”的進價為每個10元，現(xiàn)在的售價是每個16元，每天可賣出120個．市場調(diào)查反映：如調(diào)整價格，每漲價1元，每天要少賣出10個；每降價1元，每天可多賣出30個．


（1）如果專賣店每天要想獲得770元的利潤，且要盡可能的讓利給顧客，那么售價應(yīng)漲價多少元？


（2）請你幫專賣店老板算一算，如何定價才能使利潤最大，并求出此時的最大利潤？














19．拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣3，0），B（1，0）兩點，與y軸交于點C．


（1）求該拋物線的解析式；


（2）在拋物線上求一點P，使S△PAB＝S△ABC，寫出P點的坐標(biāo)；


（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QBC的周長最??？若存在，求出點Q的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

















20．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：與x軸、y軸分別交于點A和點B（0，﹣1），拋物線經(jīng)過點B，且與直線l的另一個交點為C（4，n）．





（1）求n的值和拋物線的解析式；


（2）點D在拋物線上，且點D的橫坐標(biāo)為t（0＜t＜4）．DE∥y軸交直線l于點E，點F在直線l上，且四邊形DFEG為矩形（如圖2）．若矩形DFEG的周長為p，求p與t的函數(shù)關(guān)系式以及p的最大值；


（3）M是平面內(nèi)一點，將△AOB繞點M沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后，得到△A1O1B1，點A、O、B的對應(yīng)點分別是點A1、O1、B1．若△A1O1B1的兩個頂點恰好落在拋物線上，請直接寫出點A1的橫坐標(biāo)．





參考答案


一．選擇題


1．解：∵二次函數(shù)y＝﹣2（x+1）2﹣4，


∴a＝﹣2，該函數(shù)的圖象開口向下，故選項A錯誤；


對稱軸是直線x＝﹣1，故選項B錯誤；


頂點坐標(biāo)為（﹣1，﹣4），故選項C錯誤；


當(dāng)x＜﹣1時，y隨x的增大而增大，故選項D正確；


故選：D．


2．解：


當(dāng)x＝﹣2時，y＝0，


∴拋物線過（﹣2，0），


∴拋物線與x軸的一個交點坐標(biāo)為（﹣2，0），故A正確；


當(dāng)x＝0時，y＝6，


∴拋物線與y軸的交點坐標(biāo)為（0，6），故B正確；


當(dāng)x＝0和x＝1時，y＝6，


∴對稱軸為x＝，故C錯誤；


當(dāng)x＜時，y隨x的增大而增大，


∴拋物線在對稱軸左側(cè)部分是上升的，故D正確；


故選：C．


3．解：A、由拋物線可知，a＞0，b＜0，c＞0，則ac＞0，由直線可知，ac＞0，b＞0，故本選項不合題意；


B、由拋物線可知，a＞0，b＞0，c＞0，則ac＞0，由直線可知，ac＞0，b＞0，故本選項符合題意；


C、由拋物線可知，a＜0，b＞0，c＞0，則ac＜0，由直線可知，ac＜0，b＜0，故本選項不合題意；


D、由拋物線可知，a＜0，b＜0，c＞0，則ac＜0，由直線可知，ac＞0，b＞0，故本選項不合題意．


故選：B．


4．解：原拋物線的頂點坐標(biāo)為（1，3），向左平移2個單位，再向上平移3個單位得到新拋物線的頂點坐標(biāo)為（﹣1，6）．可設(shè)新拋物線的解析式為：y＝﹣2（x﹣h）2+k，代入得：y＝﹣2（x+1）2+6．故選C．


5．解：①拋物線開口方向向上，則a＞0，b＝﹣2a＜0．


拋物線與y軸交于正半軸，則c＞0，


所以abc＜0，


故①錯誤；


②如圖所示，對稱軸x＝﹣＝1，則b＝﹣2a，則2a+b＝0，故②正確；


③如圖所示，拋物線與x軸有2個交點，則b2﹣4ac＞0，故③錯誤；


④對稱軸x＝1，當(dāng)x＝0與x＝2時的點是關(guān)于直線x＝1的對應(yīng)點，


所以x＝2與x＝0時的函數(shù)值相等，所以4a+2b+c＞0，故④正確；


綜上所述，正確的結(jié)論為②④．


故選：C．


6．解：設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣2）（x+1），


∵OC＝2，


∴C點坐標(biāo)為（0，2）或（0，﹣2），


把C（0，2）代入y＝a（x﹣2）（x+1）得a?（﹣2）?1＝2，解得a＝﹣1，此時拋物線解析式為y＝﹣（x﹣2）（x+1），即y＝﹣x2+x+2；


把C（0，﹣2）代入y＝a（x﹣2）（x+1）得a?（﹣2）?1＝﹣2，解得a＝1，此時拋物線解析式為y＝（x﹣2）（x+1），即y＝x2﹣x﹣2．


即拋物線解析式為y＝﹣x2+x+2或y＝x2﹣x﹣2．


故選：D．


7．解：根據(jù)題意，得＝0，


解得c＝16．


故選：D．


8．解：∵m、n（m＜n）是關(guān)于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的兩根，


∴二次函數(shù)y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）+1的圖象與x軸交于點（m，0）、（n，0），


∴將y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）+1的圖象往下平移一個單位可得二次函數(shù)y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）的圖象，


二次函數(shù)y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）的圖象與x軸交于點（a，0）、（b，0）．


畫出兩函數(shù)圖象，觀察函數(shù)圖象可知：m＜a＜b＜n．


故選：A．





9．解：拋物線的對稱軸為：x＝1，


令y＝0代入y＝﹣2x2+4x，


∴0＝﹣2x2+4x，


∴x＝0或x＝2，


∴A（2，0）


∴OA＝2，


設(shè)P關(guān)于x＝1的對稱點為Q，且設(shè)P的橫坐標(biāo)為x1，Q的橫坐標(biāo)為x2，


∴，


∵拋物線向右平移m（m＞2）個單位長度，


∴PQ＝m，


∴x1﹣x2＝m，


∴


解得：x1＝，x2＝


把x1＝代入y＝﹣2x2+4x


∴y＝2﹣＜0


∴在△PCD中，CD邊上的高為：﹣2，


∵OA＝CD＝2，


∴S△PCD＝×2×（）＝﹣2


故選：B．





10．解：①∵四邊形ABCD是正方形，AC，BD相交于點O，


∴OB＝OC，∠OBC＝∠OCD＝45°，


在△OBE和△OCF中，





∴△OBE≌△OCF（SAS），


∴OE＝OF，


∵∠BOE＝∠COF，


∴∠EOF＝∠BOC＝90°，


∴△OEF是等腰直角三角形；


故①正確；


②∵當(dāng)OE⊥BC時，OE最小，此時OE＝OF＝BC＝1，


∴△OEF面積的最小值是＝，


故②正確；


③∵BE＝CF，


∴CE+CF＝CE+BE＝BC＝2，


設(shè)EC＝x，則BE＝CF＝2﹣x，


∴EF＝＝，


∵0＜x＜2，


∴≤EF＜2，


∵＜＜2，


∴存在一個△ECF，使得△ECF的周長是2+，


故③正確；


④由①知：△OBE≌△OCF，


∴S四邊形OECF＝S△COE+S△OCF＝S△COE+S△OBE＝S△OBC＝S正方形ABCD＝×2×2＝1，


故④正確；


故選：D．


二．填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）


11．解：由圖象可知，


當(dāng)0≤x≤3時，函數(shù)值y的取值范圍﹣1≤y≤3．


故答案為：﹣1≤y≤3．


12．解：設(shè)所求拋物線是y＝ax2+bx+c，根據(jù)題意得，


，


解得


，


故所求函數(shù)解析式是y＝2x2﹣8x+6．


故答案是y＝2x2﹣8x+6．


13．解：拋物線的對稱軸為直線x＝2，


而拋物線與x軸的一個交點坐標(biāo)為（5，0），


所以拋物線與x軸的另一個交點坐標(biāo)為（﹣1，0），


所以不等式﹣x2+bx+c＜0的解集為x＜﹣1或x＞5．


故答案為x＜﹣1或x＞5．


14．解：（1）當(dāng)m﹣1＝0時，m＝1，函數(shù)為一次函數(shù)，解析式為y＝2x+1，與x軸交點坐標(biāo)為（﹣，0）；與y軸交點坐標(biāo)（0，1）．符合題意．


（2）當(dāng)m﹣1≠0時，m≠1，函數(shù)為二次函數(shù)，與坐標(biāo)軸有兩個交點，則過原點，且與x軸有兩個不同的交點，


于是△＝4﹣4（m﹣1）m＞0，


解得，（m﹣）2＜，


解得m＜或m＞．


將（0，0）代入解析式得，m＝0，符合題意．


（3）函數(shù)為二次函數(shù)時，還有一種情況是：與x軸只有一個交點，與y軸交于交于另一點，


這時：△＝4﹣4（m﹣1）m＝0，


解得：m＝．


故答案為：1或0或．


15．解：建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橫軸x通過AB，縱軸y通過AB中點O且通過C點，則通過畫圖可得知O為原點，





拋物線以y軸為對稱軸，且經(jīng)過A，B兩點，OA和OB可求出為AB的一半2米，拋物線頂點C坐標(biāo)為（0，2），


設(shè)頂點式y(tǒng)＝ax2+2，代入A點坐標(biāo)（﹣2，0），


得：a＝﹣0.5，


所以拋物線解析式為y＝﹣0.5x2+2，


把y＝﹣1代入拋物線解析式得出：


﹣1＝﹣0.5x2+2，


解得：x＝±，


所以水面寬度增加到2米，比原先的寬度當(dāng)然是增加了2﹣4，


故答案為：（2﹣4）．


三．解答題（共5小題）


16．解：（1）y＝2x2﹣4x﹣6


＝2（x2﹣2x）﹣6


＝2（x﹣1）2﹣8；





（2）當(dāng)y＝0，則0＝2（x﹣1）2﹣8，


解得：x1＝﹣1，x2＝3，


故圖象與x軸交點坐標(biāo)為：（﹣1，0），（3，0），


當(dāng)x＝0，y＝﹣6，


故圖象與y軸交點坐標(biāo)為：（0，﹣6），


如圖所示：


；





（3）當(dāng)x＜1時，y隨x的增大而減少；





（4）當(dāng)x＝﹣1或3時，y＝0，


當(dāng)x＜﹣1或x＞3時，y＞0，


當(dāng)﹣1＜x＜3時；y＜0；





（5）當(dāng)0＜x＜4時，


x＝1時，y＝﹣8，x＝4時，y＝10，


故y的取值范圍是：﹣8≤y＜10；





（6）如圖所示：


函數(shù)圖象與兩坐標(biāo)軸交點所圍成的三角形的面積為：×4×6＝12．


17．解：（1）∵a＝1＞0，


∴拋物線開口方向向上；


對稱軸為直線x＝﹣＝；


＝，


頂點坐標(biāo)為（，）；





（2）頂點在x軸上方時，＞0，


解得m＞；





（3）令x＝0，則y＝m，


所以，點A（0，m），


∵AB∥x軸，


∴點A、B關(guān)于對稱軸直線x＝對稱，


∴AB＝×2＝1，


∴S△AOB＝|m|×1＝4，


解得m＝±8，


所以，二次函數(shù)解析式為y＝x2﹣x+8或y＝x2﹣x﹣8．


18．解：（1）設(shè)售價應(yīng)漲價x元，則：


（16+x﹣10）（120﹣10x）＝770，


解得：x1＝1，x2＝5．


又要盡可能的讓利給顧客，則漲價應(yīng)最少，所以x2＝5（舍去）．


∴x＝1．


答：專賣店漲價1元時，每天可以獲利770元．


（2）設(shè)單價漲價x元時，每天的利潤為w1元，則：


w1＝（16+x﹣10）（120﹣10x）


＝﹣10x2+60x+720


＝﹣10（x﹣3）2+810（0≤x≤12），


即定價為：16+3＝19（元）時，專賣店可以獲得最大利潤810元．


設(shè)單價降價z元時，每天的利潤為w2元，則：


w2＝（16﹣z﹣10）（120+30z）


＝﹣30z2+60z+720


＝﹣30（z﹣1）2+750（0≤z≤6），


即定價為：16﹣1＝15（元）時，專賣店可以獲得最大利潤750元．


綜上所述：專賣店將單價定為每個19元時，可以獲得最大利潤810元．


19．解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣3，0），B（1，0）兩點，


∴，解得，


∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2﹣2x+3；





（2）∵y＝﹣x2﹣2x+3，


∴x＝0時，y＝3，


∴點C的坐標(biāo)為（0，3）．


設(shè)在拋物線上存在一點P（x，y），使S△PAB＝S△ABC，


則|y|＝3，即y＝±3．


如果y＝3，那么﹣x2﹣2x+3＝3，解得x＝0或﹣2，


x＝0時與C點重合，舍去，所以點P（﹣2，3）；


如果y＝﹣3，那么﹣x2﹣2x+3＝﹣3，解得x＝﹣1±，


所以點P（﹣1±，﹣3）；


綜上所述，所求P點的坐標(biāo)為（﹣2，3）或（﹣1+，﹣3）或（﹣1﹣，﹣3）；





（3）連結(jié)AC與拋物線的對稱軸交于點Q，此時△QBC的周長最小．


設(shè)直線AC的解析式為：y＝mx+n，


∵A（﹣3，0），C（0，3），


∴，解得：，


∴直線AC的解析式為：y＝x+3．


∵y＝﹣x2﹣2x+3的對稱軸是直線x＝﹣1，


∴當(dāng)x＝﹣1時，y＝﹣1+3＝2，


∴點Q的坐標(biāo)是（﹣1，2）．


20．解：（1）∵直線l：y＝x+m經(jīng)過點B（0，﹣1），


∴m＝﹣1，


∴直線l的解析式為y＝x﹣1，


∵直線l：y＝x﹣1經(jīng)過點C（4，n），


∴n＝×4﹣1＝2，


∵拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點C（4，2）和點B（0，﹣1），


∴，


解得，


∴拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣1；





（2）令y＝0，則x﹣1＝0，


解得x＝，


∴點A的坐標(biāo)為（，0），


∴OA＝，


在Rt△OAB中，OB＝1，


∴AB＝＝＝，


∵DE∥y軸，


∴∠ABO＝∠DEF，


在矩形DFEG中，EF＝DE?cs∠DEF＝DE?＝DE，


DF＝DE?sin∠DEF＝DE?＝DE，


∴p＝2（DF+EF）＝2（+）DE＝DE，


∵點D的橫坐標(biāo)為t（0＜t＜4），


∴D（t，t2﹣t﹣1），E（t，t﹣1），


∴DE＝（t﹣1）﹣（t2﹣t﹣1）＝﹣t2+2t，


∴p＝×（﹣t2+2t）＝﹣t2+t，


∵p＝﹣（t﹣2）2+，且﹣＜0，


∴當(dāng)t＝2時，p有最大值；








（3）∵△AOB繞點M沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，


∴A1O1∥y軸時，B1O1∥x軸，設(shè)點A1的橫坐標(biāo)為x，


①如圖1，點O1、B1在拋物線上時，點O1的橫坐標(biāo)為x，點B1的橫坐標(biāo)為x+1，


∴x2﹣x﹣1＝（x+1）2﹣（x+1）﹣1，


解得x＝，


②如圖2，點A1、B1在拋物線上時，點B1的橫坐標(biāo)為x+1，點A1的縱坐標(biāo)比點B1的縱坐標(biāo)大，


∴x2﹣x﹣1＝（x+1）2﹣（x+1）﹣1+，


解得x＝﹣，


綜上所述，點A1的橫坐標(biāo)為或﹣．


x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…

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初中數(shù)學(xué)人教版九年級上冊第二十二章 二次函數(shù)綜合與測試練習(xí)

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數(shù)學(xué)第二十二章 二次函數(shù)綜合與測試精品課后復(fù)習(xí)題

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初中數(shù)學(xué)人教版九年級上冊電子課本

章節(jié)綜合與測試

版本： 人教版

年級： 九年級上冊

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