【數(shù)學(xué)】廣西南寧市第三中學(xué)2019-2020學(xué)年高二10月月考（理）（解析版）試卷-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合．）
1．直線x－y＋a＝0(a為常數(shù))的傾斜角為(　　)
A．30° B．60° C．120° D．150°
2．已知a，b，c是兩兩不同的三條直線，下列說法正確的是(　　)
A．若直線a，b異面，b，c異面，則a，c異面
B．若直線a，b相交，b，c相交，則a，c相交
C．若a∥b，則a，b與c所成的角相等
D．若a⊥b，b⊥c，則a∥c
3．若直線l1：x＋3y＋m＝0(m＞0)與直線l2：2x＋6y－3＝0的距離為，則m＝(　　)
A．7 B． C．14 D．17
4．點(diǎn)P(4，－2)與圓x2＋y2＝4上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是(　　)
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
5．某中學(xué)有高中生3 500人，初中生1 500人，為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，用分層抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取一個容量為n的樣本，已知從高中生中抽取70人，則n為(　　)
A．100 B．150 C．200 D．250
6．閱讀程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出S的值為(　　)

A．2 B．4 C．6 D．8
7．已知等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝，下底AB＝3，以下底所在直線為x軸，則由斜二測畫法畫出的直觀圖A′B′C′D′的面積為(　　)
A．　 B． C． D．
8．將某選手的9個得分去掉1個最高分，去掉1個最低分，7個剩余分?jǐn)?shù)的平均分為91，現(xiàn)場作的9個分?jǐn)?shù)的莖葉圖，后來有1個數(shù)據(jù)模糊，無法辨認(rèn)，在圖中以x表示：

則7個剩余分?jǐn)?shù)的方差為(　　)
A． B． C．36 D．
9．如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，沿AE，AF，EF把正方形折成一個四面體，使B，C，D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為P，P點(diǎn)在△AEF內(nèi)的射影為O，則下列說法正確的是(　　)
A．O是△AEF的垂心
B．O是△AEF的內(nèi)心
C．O是△AEF的外心
D．O是△AEF的重心
10．一條光線從點(diǎn)(－2，－3)射出，經(jīng)y軸反射后與圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，則反射光線所在直線的斜率為(　　)
A．－或－ B．－或－ C．－或－ D．－或－
11．已知邊長為1的等邊三角形ABC與正方形ABDE有一公共邊AB，二面角C－AB－D的余弦值為，若A、B、C、D、E在同一球面上，則此球的體積為(　　)
A．2π B．π C．π D．π
12．兩圓x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0 和x2＋y2－4by－1＋4b2＝0恰有三條公切線，若a∈R，b∈R且ab≠0，則＋的最小值為(　　)
A．1 B．3 C． D．

二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）
13．為了了解一片經(jīng)濟(jì)林的生長情況，隨機(jī)抽取了其中60株樹木的底部周長(單位：cm)，所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間[80，130]上，其頻率分布直方圖如圖所示，則在抽測的60株樹木中，有________株樹木的底部周長小于100 cm．

14．如圖，正方形ACDE與等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，F(xiàn)，G分別是線段AE，BC的中點(diǎn)，則AD與GF所成的角的余弦值為________．

15．已知平面區(qū)域恰好被面積最小的圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其內(nèi)部所覆蓋，則圓C的方程為________．
16．已知圓O：x2＋y2＝9及點(diǎn)C(2，1)，過點(diǎn)C的直線l與圓O交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)△OPQ的面積最大時，直線l的方程為________．
三、解答題（共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
17．（10分）
(1)求經(jīng)過點(diǎn)P(4，1)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程．
(2)設(shè)直線y＝x＋2a與圓C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝2，求圓C的面積．

18．（12分）四面體ABCD及其三視圖如圖所示，平行于棱AD，BC的平面分別交四面體的棱AB，BD，DC，CA于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H．
(1)求四面體ABCD的體積；
(2)證明：四邊形EFGH是矩形．

19．（12分）已知△ABC的三內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，向量m＝(cos B，cos C)，n＝(2a＋c，b)，且m⊥n．
(1)求角B的大?。?br /> (2)若b＝，求a＋c的范圍．

20．（12分）如圖，在四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，DC＝6，AD＝8，BC＝10，∠PAD＝45°，E為PA的中點(diǎn)．
(1)求證：DE∥平面BPC；
(2)線段AB上是否存在一點(diǎn)F，滿足CF⊥DB？若存在，
試求出二面角F－PC－D的余弦值；若不存在，請說明理由．

21．（12分）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，公差d≠0，且S3＋S5＝50，a1，a4，a13成等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．

22．（12分）已知直線l：4x＋3y＋10＝0，半徑為2的圓C與l相切，圓心C在x軸上且在直線l的右上方．
(1)求圓C的方程；
(2)過點(diǎn)M(1，0)的直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)(A在x軸上方)，問在x軸正半軸上是否存在定點(diǎn)N，使得x軸平分∠ANB？若存在，請求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
參考答案
1．B 直線的斜率為k＝tan α＝，又因?yàn)?°≤α＜180°，所以α＝60°．
2．C 若直線a，b異面，b，c異面，則a，c相交、平行或異面；若a，b相交，b，c相交，則a，c相交、平行或異面；若a⊥b，b⊥c，則a，c相交、平行或異面；由異面直線所成的角的定義知C正確．
3．B 直線l1：x＋3y＋m＝0(m＞0)，即2x＋6y＋2m＝0，因?yàn)樗c直線l2：2x＋6y－3＝0的距離為，所以＝，求得m＝．
4．A 設(shè)圓上任一點(diǎn)為Q(x0，y0)，PQ的中點(diǎn)為M(x，y)，則解得因?yàn)辄c(diǎn)Q在圓x2＋y2＝4上，所以x＋y＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化簡得(x－2)2＋(y＋1)2＝1．
5．A 由題意，抽樣比為＝，總體容量為3 500＋1 500＝5 000，故n＝5 000×＝100．
6．B 初始值S＝4，n＝1．循環(huán)第一次：S＝8，n＝2；循環(huán)第二次：S＝2，n＝3；循環(huán)第三次：S＝4，n＝4，滿足n>3，輸出S＝4．
7．C 如圖所示，作出等腰梯形ABCD的直觀圖：

因?yàn)镺E＝＝1，所以O(shè)′E′＝，E′F＝，則直觀圖A′B′C′D′的面積S′＝×＝．
8．D 由題意知＝91，解得x＝4．所以s2＝[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝(16＋9＋1＋0＋1＋9＋0)＝．
9．A 由題意可知PA，PE，PF兩兩垂直，所以PA⊥平面PEF，
從而PA⊥EF，而PO⊥平面AEF，則PO⊥EF，因?yàn)镻O∩PA＝P，
所以EF⊥平面PAO，∴EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO，
∴O為△AEF的垂心．
10．D 由已知，得點(diǎn)(－2，－3)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為(2，－3)，由入射光線與反射光線的對稱性，知反射光線一定過點(diǎn)(2，－3)．設(shè)反射光線所在直線的斜率為k，則反射光線所在直線的方程為y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0．由反射光線與圓相切，則有d＝＝1，解得k＝－或k＝－
11．D 取AB的中點(diǎn)為M，連接CM，取DE的中點(diǎn)為N，連接MN，CN，可知∠CMN即為二面角C－AB－D的平面角，利用余弦定理可求CN＝＝CM，所以該幾何體為正四棱錐，半徑R＝，V＝πR3＝．
12．A x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0，即(x＋a)2＋y2＝4，x2＋y2－4by－1＋4b2＝0，即x2＋(y－2b)2＝1．依題意可得，兩圓外切，則兩圓圓心距離等于兩圓的半徑之和，則＝1＋2＝3，即a2＋4b2＝9，所以＋＝＝≥＝1，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝±b時取等號．
13． 24 底部周長在[80，90)的頻率為0.015×10＝0.15，底部周長在[90，100)的頻率為0.025×10＝0.25，樣本容量為60，所以樹木的底部周長小于100 cm的株數(shù)為(0.15＋0.25)×60＝24．
14．取DE的中點(diǎn)H，連接HF，GH．由題設(shè)，HF∥AD．
∴∠GFH為異面直線AD與GF所成的角(或其補(bǔ)角)．
在△GHF中，可求HF＝，
GF＝GH＝，∴cos∠HFG＝＝．
15．(x－2)2＋(y－1)2＝5 由題意知，此平面區(qū)域表示的是以O(shè)(0，0)，P(4，0)， Q(0，2)所構(gòu)成的三角形及其內(nèi)部，所以覆蓋它的且面積最小的圓是其外接圓．∵△OPQ為直角三角形，
∴圓心為斜邊PQ的中點(diǎn)(2，1)，半徑r＝＝，因此圓C的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5．
16．x＋y－3＝0或7x＋y－15＝0 當(dāng)直線l的斜率不存在時，l的方程為x＝2，則P，Q的坐標(biāo)分別為(2，)，(2，－)，所以S△OPQ＝×2×2＝2．當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)l的方程為y－1＝k(x－2)，則圓心到直線PQ的距離為d＝，且|PQ|＝2，則S△OPQ＝×|PQ|×d＝×2×d＝≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)9－d2＝d2，即d2＝時，S△OPQ取得最大值．因?yàn)?b＝，∴a＋c∈(，2]．即a＋c的取值范圍是(，2]．
20．(1)證明　取PB的中點(diǎn)M，連接EM和CM，過點(diǎn)C作CN⊥AB，垂足為點(diǎn)N．
∵CN⊥AB， DA⊥AB，∴CN∥DA，
又AB∥CD，∴四邊形CDAN為平行四邊形，∴CN＝AD＝8，DC＝AN＝6，
在Rt△BNC中，BN＝＝＝6，
∴AB＝12，而E，M分別為PA，PB的中點(diǎn)，
∴EM∥AB且EM＝6，又DC∥AB，∴EM∥CD且EM＝CD，四邊形CDEM為平行四邊形，
∴DE∥CM．∵CM?平面PBC，DE?平面PBC，∴DE∥平面BPC．
(2)解　由題意可得DA，DC，DP兩兩互相垂直，如圖，以D為原點(diǎn)，
DA，DC，DP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，
則A(8，0，0)，B(8，12，0)，C(0，6，0)，P(0，0，8)．
假設(shè)AB上存在一點(diǎn)F使CF⊥BD，
設(shè)點(diǎn)F坐標(biāo)為(8，t，0)，則＝(8，t－6，0)，＝(8，12，0)，
由·＝0得t＝．又平面DPC的一個法向量為m＝(1，0，0)，
設(shè)平面FPC的法向量為n＝(x，y，z)．又＝(0，6，－8)，＝．
由得即
不妨令y＝12，有n＝(8，12，9)．則cos〈n，m〉＝＝＝．
又由圖可知，該二面角為銳二面角，故二面角F－PC－D的余弦值為．
21．(1)依題意得解得∴an＝2n＋1．
(2)∵＝3n－1，∴bn＝an·3n－1＝(2n＋1)·3n－1，
∴Tn＝3＋5×3＋7×32＋…＋(2n＋1)×3n－1，
3Tn＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)×3n－1＋(2n＋1)×3n，
兩式相減得，－2Tn＝3＋2×3＋2×32＋…＋2×3n－1－(2n＋1)×3n
＝3＋2×－(2n＋1)×3n＝－2n×3n，
∴Tn＝n3n．
22．(1)設(shè)圓心C(a，0)，則＝2?a＝0或a＝－5(舍)．
所以圓C的方程為x2＋y2＝4．
(2)當(dāng)直線AB⊥x軸時，x軸平分∠ANB．
當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－1)，N(t，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝．
若x軸平分∠ANB，則
kAN＝－kBN?＋＝0?＋＝0
?2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0?－＋2t＝0?t＝4，
所以當(dāng)點(diǎn)N為(4，0)時，能使得∠ANM＝∠BNM總成立．