2021年高考數學一輪精選練習：50《橢圓》(含解析)

2021年高考數學一輪精選練習：50《橢圓》一         、選擇題1.已知三點P(5,2)，F1(－6,0)，F2(6,0)，那么以F1，F2為焦點且經過點P的橢圓的短軸長為(　 　)A.3         B.6         C.9           D.12 2.設F1，F2為橢圓＋=1的兩個焦點，點P在橢圓上，若線段PF1的中點在y軸上，則的值為(　 　)A.        B.          C.          D. 3.已知點P是橢圓＋=1上一點，F1，F2分別為橢圓的左、右焦點，M為△PF1F2的內心，若S△MPF1=λS△MF1F2－S△MPF2成立，則λ的值為(　 　)A.            B.          C.            D.2 4.已知橢圓＋=1(a＞b＞0)的左頂點為M，上頂點為N，右焦點為F，若·=0，則橢圓的離心率為(　 　)A.         B.         C.       D. 5.已知橢圓＋=1的左、右焦點分別為F1、F2，過F2且垂直于長軸的直線交橢圓于A，B兩點，則△ABF1內切圓的半徑為(　  　)A.         B.1         C.           D. 6.已知兩定點A(－1,0)和B(1,0)，動點P(x，y)在直線l：y=x＋3上移動，橢圓C以A，B為焦點且經過點P，則橢圓C的離心率的最大值為(　 　)A.           B.        C.          D. 7.設F是橢圓C：＋=1(a＞b＞0)的一個焦點，P是C上的點，圓x2＋y2=與線段PF交于A，B兩點，若A，B是線段PF的兩個三等分點，則橢圓C的離心率為(　 　)A.         B.           C.         D.    8.已知橢圓＋=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F2，且|F1F2|=2c，若橢圓上存在點M使得=，則該橢圓離心率的取值范圍為(　 　)A.(0，－1)       B.      C.        D.(－1,1) 二         、填空題9.設F1、F2分別是橢圓＋=1的左、右焦點，P為橢圓上任意一點，點M的坐標為(6,4)，則|PM|－|PF1|的最小值為          . 10.過點M(1,1)作斜率為－的直線與橢圓C：＋=1(a＞b＞0)相交于A，B兩點，若M是線段AB的中點，則橢圓C的離心率等于       . 11.已知F1，F2是橢圓C：＋=1(a＞b＞0)的兩個焦點，P為橢圓C上的一點，且∠F1PF2=60°，S△PF1F2=3，則b=      . 12.橢圓M：＋=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F2，P為橢圓M上任一點，且|PF1|·|PF2|的最大值的取值范圍是[2b2,3b2]，橢圓M的離心率為e，則e－的最小值是        . 13.過橢圓＋=1(a＞b＞0)上的動點M作圓x2＋y2=的兩條切線，切點分別為P和Q，直線PQ與x軸和y軸的交點分別為E和F，則△EOF面積的最小值是       . 三         、解答題14.已知點A(0，－2)，橢圓E：＋=1(a＞b＞0)的離心率為，F是橢圓E的右焦點，直線AF的斜率為，O為坐標原點.(1)求E的方程；(2)設過點A的動直線l與E相交于P，Q兩點.當△OPQ的面積最大時，求l的方程.            15.已知橢圓E：＋=1(a＞b＞0)的半焦距為c，原點O到經過兩點(c,0)，(0，b)的直線的距離為c.(1)求橢圓E的離心率；(2)如圖，AB是圓M：(x＋2)2＋(y－1)2=的一條直徑，若橢圓E經過A，B兩點，求橢圓E的方程.            16.已知橢圓C：＋=1(a＞2)，直線l：y=kx＋1(k≠0)與橢圓C相交于A，B兩點，點D為AB的中點.(1)若直線l與直線OD(O為坐標原點)的斜率之積為－，求橢圓C的方程；(2)在(1)的條件下，y軸上是否存在定點M，使得當k變化時，總有∠AMO=∠BMO(O為坐標原點)？若存在，求出定點M的坐標；若不存在，請說明理由.             
答案解析1.答案為：B；解析：因為點P(5,2)在橢圓上，所以|PF1|＋|PF2|=2a，|PF2|=，|PF1|=5，所以2a=6，即a=3，c=6，則b=3，故橢圓的短軸長為6，故選B. 2.答案為：B；解析：由題意知a=3，b=，c=2.設線段PF1的中點為M，則有OM∥PF2，∵OM⊥F1F2，∴PF2⊥F1F2，∴|PF2|==.又∵|PF1|＋|PF2|=2a=6，∴|PF1|=2a－|PF2|=，∴=×=，故選B. 3.答案為：D；解析：設內切圓的半徑為r，因為S△MPF1=λS△MF1F2－S△MPF2，所以S△MPF1＋S△MPF2=λS△MF1F2；由橢圓的定義可知|PF1|＋|PF2|=2a，|F1F2|=2c，所以ar=λcr，c=，所以λ==2. 4.答案為：D；解析：由題意知，M(－a,0)，N(0，b)，F(c,0)，∴=(－a，－b)，=(c，－b).∵·=0，∴－ac＋b2=0，即b2=ac.又知b2=a2－c2，∴a2－c2=ac.∴e2＋e－1=0，解得e=或e=(舍).∴橢圓的離心率為，故選D. 5.答案為：D；解析：不妨設A點在B點上方，由題意知，F2(1,0)，將F2的橫坐標代入橢圓方程＋=1中，可得A點縱坐標為，故|AB|=3，所以內切圓半徑r===(其中S為△ABF1的面積，C為△ABF1的周長)，故選D. 6.答案為：A；解析：不妨設橢圓方程為＋=1(a＞1)，與直線l的方程聯立得消去y得(2a2－1)x2＋6a2x＋10a2－a4=0，由題意易知Δ=36a4－4(2a2－1)(10a2－a4)≥0，解得a≥，所以e==≤，所以e的最大值為.故選A. 7.答案為：D；解析：如圖所示，設線段AB的中點為D，連接OD，OA，設橢圓C的左、右焦點分別為F，F1，連接PF1.設|OD|=t，因為點A，B是線段PF的兩個三等分點，所以點D為線段PF的中點，所以OD∥PF1，且|PF1|=2t，PF1⊥PF.因為|PF|=3|AB|=6|AD|=6，根據橢圓的定義，得|PF|＋|PF1|=2a，∴6＋2t=2a，解得t=或t=0(舍去).所以|PF|=，|PF1|=.在Rt△PFF1中，|PF|2＋|PF1|2=|FF1|2，即2＋2=(2c)2，得=，所以橢圓C的離心率e==. 8.答案為：D；解析：在△MF1F2中，=，而=，∴==.①又M是橢圓＋=1上一點，F1，F2是橢圓的焦點，∴|MF1|＋|MF2|=2a.②由①②得，|MF1|=，|MF2|=.顯然|MF2|＞|MF1|，∴a－c＜|MF2|＜a＋c，即a－c＜＜a＋c，整理得c2＋2ac－a2＞0，∴e2＋2e－1＞0，又0＜e＜1，∴－1＜e＜1，故選D.  一         、填空題9.答案為：-5；解析：由橢圓的方程可知F2(3,0)，由橢圓的定義可得|PF1|=2a－|PF2|，∴|PM|－|PF1|=|PM|－(2a－|PF2|)=|PM|＋|PF2|－2a≥|MF2|－2a，當且僅當M，P，F2三點共線時取得等號，又|MF2|==5,2a=10，∴|PM|－|PF1|≥5－10=－5，即|PM|－|PF1|的最小值為－5. 10.答案為：；解析：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＋=1，①＋=1.②①、②兩式相減并整理得=－·.結合已知條件得，－=－×，∴=，故橢圓的離心率e= =. 11.答案為：3；解析：由題意得|PF1|＋|PF2|=2a，又∠F1PF2=60°，所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°=|F1F2|2，所以(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|=4c2，所以3|PF1||PF2|=4a2－4c2=4b2，所以|PF1||PF2|=b2，所以S△PF1F2=|PF1||PF2|sin60°=×b2×=b2=3，所以b=3. 12.答案為：－；解析：由橢圓的定義可知|PF1|＋|PF2|=2a，∴|PF1|·|PF2|≤2=a2，∴2b2≤a2≤3b2，即2a2－2c2≤a2≤3a2－3c2，∴≤≤，即≤e≤.令f(x)=x－，則f(x)在上是增函數，∴當e=時，e－取得最小值－=－. 13.答案為：；解析：設M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則直線MP和MQ的方程分別為x1x＋y1y=，x2x＋y2y=.因為點M在MP和MQ上，所以有x1x0＋y1y0=，x2x0＋y2y0=，則P，Q兩點的坐標滿足方程x0x＋y0y=，所以直線PQ的方程為x0x＋y0y=，可得E和F，所以S△EOF=·|OE||OF|=，因為b2y＋a2x=a2b2，b2y＋a2x≥2ab|x0y0|，所以|x0y0|≤，所以S△EOF=≥，當且僅當b2y=a2x=時取“=”，故△EOF面積的最小值為.  二         、解答題14.解：(1)設F(c,0)，由條件知，=，得c=.又=，所以a=2，b2=a2－c2=1.故E的方程為＋y2=1.(2)當l⊥x軸時不合題意，故設l：y=kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2).將y=kx－2代入＋y2=1得(1＋4k2)x2－16kx＋12=0.當Δ=16(4k2－3)＞0，即k2＞時，x1,2=.從而|PQ|=|x1－x2|=.又點O到直線PQ的距離d=，所以△OPQ的面積S△OPQ=d·|PQ|=.設=t，則t＞0，S△OPQ==.因為t＋≥4，當且僅當t=2，即k=±時等號成立，且滿足Δ＞0，所以，當△OPQ的面積最大時，l的方程為y=x－2或y=－x－2. 15.解：(1)過點(c,0)，(0，b)的直線方程為bx＋cy－bc=0，則原點O到該直線的距離d==，由d=c，得a=2b=2，可得離心率=.(2)由(1)知，橢圓E的方程為x2＋4y2=4b2.①依題意，圓心M(－2,1)是線段AB的中點，且|AB|=.易知，AB與x軸不垂直，設其方程為y=k(x＋2)＋1，代入①得(1＋4k2)x2＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－4b2=0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2=－，x1x2=.由x1＋x2=－4，得－=－4，解得k=.從而x1x2=8－2b2.于是|AB|= |x1－x2|==.由|AB|=，得=，解得b2=3.故橢圓E的方程為＋=1. 16.解：(1)由得(4＋a2k2)x2＋2a2kx－3a2=0，顯然Δ＞0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)，則x1＋x2=－，x1x2=，∴x0=－，y0=－＋1=，∴k·=k·=－，∴a2=8.∴橢圓C的方程為＋=1.(2)假設存在定點M符合題意，且設M(0，m)，由∠AMO=∠BMO得kAM＋kBM=0.∴＋=0.即y1x2＋y2x1－m(x1＋x2)=0，∴2kx1x2＋x1＋x2－m(x1＋x2)=0.由(1)知x1＋x2=－，x1x2=，∴－－＋=0，∴=0，即=0，∵k≠0，∴－4＋m=0，∴m=4.∴存在定點M(0,4)，使得∠AMO=∠BMO.