一、選擇題
1．[2021·福建省三明市第一中學周測]設F1，F2分別是橢圓eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的左、右焦點，P為橢圓上一點，M是F1P的中點，|OM|＝3，則P點到橢圓左焦點的距離為( )
A．4B．3
C．2D．5
2．[2021·河北衡水中學一模]橢圓eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4＋k)＝1的離心率為eq \f(4,5)，則k的值為( )
A．－21B．21
C．－eq \f(19,25)或21D.eq \f(19,25)或21
3．[2021·江西省名校高三教學質量檢測]橢圓E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F2，過點F1的直線交橢圓于A，B兩點，交y軸于點C，若F1，C是線段AB的三等分點，△F2AB的周長為4eq \r(5)，則橢圓E的標準方程為( )
A.eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1B.eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,3)＝1
C.eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,2)＝1D.eq \f(x2,5)＋y2＝1
4．[2021·云南昆明診斷]已知F1，F2為橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點，B為C的短軸的一個端點，直線BF1與C的另一個交點為A，若△BAF2為等腰三角形，則eq \f(|AF1|,|AF2|)＝( )
A.eq \f(1,3)B.eq \f(1,2)
C.eq \f(2,3)D．3
5．[2021·武漢市高中畢業(yè)生學習質量檢測]已知點P在橢圓Γ：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上，點P在第一象限，點P關于原點O的對稱點為A，點P關于x軸的對稱點為Q，設eq \(PD,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(PQ,\s\up6(→))，直線AD與橢圓Γ的另一個交點為B，若PA⊥PB，則橢圓Γ的離心率e＝( )
A.eq \f(1,2)B.eq \f(\r(2),2)
C.eq \f(\r(3),2)D.eq \f(\r(3),3)
二、填空題
6．[2021·湖南省長沙市高三調研試題]設橢圓C：eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,48)＝1的左、右焦點分別為F1，F2，點Q在橢圓C上，且滿足|QF1|＝eq \f(2,3)|QF2|，則△QF1F2的面積為________．
7．[2019·全國卷Ⅲ]設F1，F2為橢圓C：eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1的兩個焦點，M為C上一點且在第一象限．若△MF1F2為等腰三角形，則M的坐標為________．
8．[2021·唐山市高三年級模底考試]已知直線x－eq \r(3)y＋eq \r(3)＝0過橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦點F，交橢圓于A，B兩點，交y軸于點C，若eq \(FA,\s\up6(→))＝2eq \(FC,\s\up6(→))，則該橢圓的離心率是________．
三、解答題
9．已知橢圓的兩焦點為F1(－eq \r(3)，0)，F2(eq \r(3)，0)，離心率e＝eq \f(\r(3),2).
(1)求此橢圓的方程；
(2)設直線l：y＝x＋m，若l與此橢圓相交于P，Q兩點，且|PQ|等于橢圓的短軸長，求m的值．
10.[2021·湖北武漢調研]已知橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一個頂點為A(2,0)，離心率為eq \f(\r(2),2)，直線y＝k(x－1)與橢圓C交于不同的兩點M，N.
(1)求橢圓C的方程；
(2)當△AMN的面積為eq \f(\r(10),3)時，求k的值．
[能力挑戰(zhàn)]
11．[2021·廣州市高三年級階段訓練題]某人造地球衛(wèi)星的運行軌道是以地心為一個焦點的橢圓，其軌道的離心率為e，設地球半徑為R，該衛(wèi)星近地點離地面的距離為r，則該衛(wèi)星遠地點離地面的距離為( )
A.eq \f(1＋e,1－e)r＋eq \f(2e,1－e)RB.eq \f(1＋e,1－e)r＋eq \f(e,1－e)R
C.eq \f(1－e,1＋e)r＋eq \f(2e,1＋e)RD.eq \f(1－e,1＋e)r＋eq \f(e,1＋e)R
12．[2021·惠州市高三調研考試]已知橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的短軸長為2，上頂點為A，左頂點為B，左、右焦點分別為F1，F2，且△F1AB的面積為eq \f(2－\r(3),2)，點P為橢圓上的任意一點，則eq \f(1,|PF1|)＋eq \f(1,|PF2|)的取值范圍為( )
A．[1,2] B．[eq \r(2)，eq \r(3)]
C．[eq \r(2)，4] D．[1,4]
13．[2021·石家莊市重點高中高三畢業(yè)班摸底考試]已知F1，F2分別是橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，B是短軸的一個端點，線段BF2的延長線交橢圓C于點D，若|BD|＝|DF1|，則橢圓C的離心率為________．
課時作業(yè)48
1．解析：連接PF2，由題意知，a＝5，在△PF1F2中，|OM|＝eq \f(1,2)|PF2|＝3，
∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4.故選A.
答案：A
2．解析：若a2＝9，b2＝4＋k，則c＝eq \r(5－k)，由eq \f(c,a)＝eq \f(4,5)，得eq \f(\r(5－k),3)＝eq \f(4,5)，得k＝－eq \f(19,25)；
若a2＝4＋k，b2＝9，則c2＝k－5，由eq \f(c,a)＝eq \f(4,5)，得eq \f(k－5,4＋k)＝eq \f(16,25)，得k＝21.綜上可知，選C.
答案：C
3．解析：由橢圓的定義，得|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a，所以△F2AB的周長為|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝4eq \r(5)，所以a＝eq \r(5)，所以橢圓E：eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,b2)＝1.
不妨令點C是F1A的中點，點A在第一象限，因為F1(－c,0)，所以點A的橫坐標為c，所以eq \f(c2,5)＋eq \f(y2,b2)＝1，得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(b2,\r(5))))，所以Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(b2,2\r(5))))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2c，－\f(b2,2\r(5)))).把點B的坐標代入橢圓E的方程，得eq \f(4c2,5)＋eq \f(\f(b4,20),b2)＝1，即eq \f(4c2,5)＋eq \f(b2,20)＝1，化簡得b2＝20－16c2.又b2＝5－c2，所以20－16c2＝5－c2，得c2＝1，所以b2＝4，所以橢圓E的標準方程為eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1.
答案：A
4．解析：如圖，不妨設點B在y軸的正半軸上，根據橢圓的定義，得|BF1|＋|BF2|＝2a，|AF1|＋|AF2|＝2a，由題意知|AB|＝|AF2|，|BF1|＝|BF2|＝a，所以|AF1|＝eq \f(a,2)，|AF2|＝eq \f(3a,2).所以eq \f(|AF1|,|AF2|)＝eq \f(1,3).故選A.
答案：A
5．解析：如圖，設P(x1，y1)，B(x2，y2)，依題意有A(－x1，－y1)，Q(x1，－y1)，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1，－\f(y1,2)))，
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),a2)＋\f(y\\al(2,1),b2)＝1 ①,\f(x\\al(2,2),a2)＋\f(y\\al(2,2),b2)＝1 ②))，
①－②得eq \f((x1＋x2)(x1－x2),a2)＝－eq \f((y1＋y2)(y1－y2),b2)，
所以eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(b2,a2)·eq \f(x1＋x2,y1＋y2)，所以kPB＝－eq \f(b2,a2)·eq \f(x1＋x2,y1＋y2).
因為kAD＝kAB，所以eq \f(y1,4x1)＝eq \f(y1＋y2,x1＋x2)，所以kPA＝eq \f(y1,x1)＝eq \f(4(y1＋y2),x1＋x2).
因為PA⊥PB，所以kPA·kPB＝－1，所以－eq \f(4b2,a2)＝－1，因為a2＝b2＋c2，所以3a2＝4c2，所以e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(3,4)，又e＝eq \f(c,a)∈(0,1)，所以e＝eq \f(\r(3),2)，故選C.
答案：C
6．解析：因為|QF1|＝eq \f(2,3)|QF2|，|QF1|＋|QF2|＝20，所以|QF1|＝8，|QF2|＝12.又|F1F2|2＝4×(100－48)＝208，所以|QF1|2＋|QF2|2＝|F1F2|2，所以△QF1F2是直角三角形，所以S△QF1F2＝eq \f(1,2)×|QF1|×|QF2|＝eq \f(1,2)×8×12＝48.
答案：48
7．解析：不妨令F1，F2分別為橢圓C的左、右焦點，根據題意可知c＝eq \r(36－20)＝4.因為△MF1F2為等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，設M(x，y)，
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,36)＋\f(y2,20)＝1，,|F1M|2＝(x＋4)2＋y2＝64，x>0，y>0，))
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝\r(15)，))所以M的坐標為(3，eq \r(15))．
答案：(3，eq \r(15))
8．解析：因為直線x－eq \r(3)y＋eq \r(3)＝0過橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1的左焦點F，所以F(－eq \r(3)，0)，則右焦點F′(eq \r(3)，0)，即c＝eq \r(3)，直線x－eq \r(3)y＋eq \r(3)＝0與y軸交于點C(0,1)，由eq \(FA,\s\up6(→))＝2eq \(FC,\s\up6(→))，知C為AF的中點，故A(eq \r(3)，2)，因為點A在橢圓上，所以由橢圓的定義得2a＝|AF|＋|AF′|＝6，即a＝3，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),3).
答案：eq \f(\r(3),3)
9．解析：(1)設橢圓方程為eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，則c＝eq \r(3)，eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，所以a＝2，b＝1，所求橢圓方程為eq \f(x2,4)＋y2＝1.
(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,4)＋y2＝1，,y＝x＋m，))消去y，得5x2＋8mx＋4(m2－1)＝0，則Δ>0，得m20恒成立．
設點M，N的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，
則y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，
x1＋x2＝eq \f(4k2,1＋2k2)，x1x2＝eq \f(2k2－4,1＋2k2)，
所以|MN|＝
eq \r((x2－x1)2＋(y2－y1)2)
＝eq \r((1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2])
＝eq \f(2\r((1＋k2)(4＋6k2)),1＋2k2).
又點A(2,0)到直線y＝k(x－1)的距離d＝eq \f(|k|,\r(1＋k2))，
所以△AMN的面積S＝eq \f(1,2)|MN|·d＝eq \f(|k|\r(4＋6k2),1＋2k2)，由eq \f(|k|\r(4＋6k2),1＋2k2)＝eq \f(\r(10),3)，得k＝±1.
所以當△AMN的面積為eq \f(\r(10),3)時，k＝±1.
11．解析：設該衛(wèi)星遠地點離地面的距離為r′，則由題意分析可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－c＝r＋Ra＋c＝r′＋R))，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(r＋r′＋2R,2),c＝\f(r′－r,2)))，所以離心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(r′－r,r＋r′＋2R)，解得r′＝eq \f(1＋e,1－e)r＋eq \f(2e,1－e)R，故選A.
答案：A
12．解析：解法一 由已知得2b＝2，故b＝1.∵△F1AB的面積為eq \f(2－\r(3),2)，∴eq \f(1,2)(a－c)b＝eq \f(2－\r(3),2)，∴a－c＝2－eq \r(3)，又a2－c2＝(a－c)(a＋c)＝b2＝1，∴a＝2，c＝eq \r(3)，∴eq \f(1,|PF1|)＋eq \f(1,|PF2|)＝eq \f(|PF1|＋|PF2|,|PF1||PF2|)＝eq \f(4,|PF1|(4－|PF1|))＝eq \f(4,－|PF1|2＋4|PF1|)，又2－eq \r(3)≤|PF1|≤2＋eq \r(3)，∴1≤－|PF1|2＋4|PF1|≤4，∴1≤eq \f(1,|PF1|)＋eq \f(1,|PF2|)≤4，即eq \f(1,|PF1|)＋eq \f(1,|PF2|)的取值范圍為[1,4]．故選D.
解法二 依題意得2b＝2，b＝1.由△F1AB的面積為eq \f(2－\r(3),2)得eq \f(1,2)(a－c)b＝eq \f(2－\r(3),2)，a－c＝2－eq \r(3).又a2－c2＝(a＋c)(a－c)＝b2＝1，∴a＝2，c＝eq \r(3).設點P(x0，y0)，其中－2≤x0≤2，則|PF1|＝a＋ex0＝2＋eq \f(\r(3),2)x0，|PF2|＝a－ex0＝2－eq \f(\r(3),2)x0，eq \f(1,|PF1|)＋eq \f(1,|PF2|)＝eq \f(1,2＋\f(\r(3),2)x0)＋eq \f(1,2－\f(\r(3),2)x0)＝eq \f(16,16－3x\\al(2,0))∈[1,4]，即eq \f(1,|PF1|)＋eq \f(1,|PF2|)的取值范圍是[1,4]，選D.
解法三 依題意得2b＝2，b＝1.由△F1AB的面積為eq \f(2－\r(3),2)得eq \f(1,2)(a－c)b＝eq \f(2－\r(3),2)，a－c＝2－eq \r(3).又a2－c2＝(a＋c)(a－c)＝b2＝1∴a＝2，c＝eq \r(3).設點P(x0，y0)，其中－2≤x0≤2，則|PF1|＝a＋ex0＝2＋eq \f(\r(3),2)x0，|PF2|＝a－ex0＝2－eq \f(\r(3),2)x0，|PF1|·|PF2|＝4－eq \f(3,4)xeq \\al(2,0)∈[1,4]，∴eq \f(1,|PF1|)＋eq \f(1,|PF2|)＝eq \f(|PF1|＋|PF2|,|PF1|·|PF2|)＝eq \f(4,|PF1|·|PF2|)∈[1,4]，即eq \f(1,|PF1|)＋eq \f(1,|PF2|)的取值范圍是[1,4]，選D.
答案：D
13．解析：如圖，不妨設點B是橢圓短軸的上端點，則點D在第四象限內，設點D(x，y)．
由橢圓的定義得|DF1|＋|DF2|＝2a，|BF1|＝|BF2|＝a，
又|DF1|＝|DB|＝|DF2|＋|BF2|＝|DF2|＋a，
∴(|DF2|＋a)＋|DF2|＝2a，解得|DF2|＝eq \f(a,2).
作DE⊥x軸于E，
則有|DE|＝|DF2|sin∠DF2E＝eq \f(a,2)×eq \f(b,a)＝eq \f(b,2)，
|F2E|＝|DF2|cs∠DF2E＝eq \f(a,2)×eq \f(c,a)＝eq \f(c,2)，
∴|OE|＝|OF2|＋|F2E|＝c＋eq \f(c,2)＝eq \f(3c,2)，
∴點D的坐標為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3c,2)，－\f(b,2))).
又點D在橢圓上，
∴eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3c,2)))2,a2)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2)))2,b2)＝1，整理得3c2＝a2，
∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),3).
答案：eq \f(\r(3),3)

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