第4講　直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系
基礎(chǔ)知識(shí)整合

1．直線與圓的位置關(guān)系(圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r)

相離
相切
相交
圖形



量化
方程觀點(diǎn)
Δ0
幾何觀點(diǎn)
d>r
d＝r
d r1＋r2

d＝r1＋r2

|r1－r2|< d0)，∴曲線表示圓心為(3,0)，半徑為3的上半圓(不包括圓與x軸的交點(diǎn))，它與直線y＝k(x＋2)有公共點(diǎn)的充要條件是圓心(3,0)到直線y＝k(x＋2)的距離d≤3，且k>0，∴≤3，且k>0，解得01，而圓心O到直線ax＋by＝1的距離d＝＝2，所以c2>a2＋b2，在△ABC中，cosC＝4，
∴點(diǎn)M在圓C外部，
當(dāng)過點(diǎn)M的直線斜率不存在時(shí)，直線方程為x＝3，即x－3＝0.
又點(diǎn)C(1,2)到直線x－3＝0的距離d＝3－1＝2＝r，
即此時(shí)滿足題意，所以直線x－3＝0是圓的切線．
當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，
則圓心C到切線的距離為d＝＝r＝2，解得k＝.
∴切線方程為y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.
綜上可得，過點(diǎn)M的圓C的切線方程為x－3＝0或3x－4y－5＝0.
∵|MC|＝＝，
∴過點(diǎn)M的圓C的切線長為＝＝1.

圓的切線方程的求法
(1)幾何法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d，然后令d＝r，進(jìn)而求出k.
(2)代數(shù)法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，與圓的方程組成方程組，消元后得到一個(gè)一元二次方程，然后令判別式Δ＝0進(jìn)而求得k.

[即時(shí)訓(xùn)練]　3.(2019·安徽江南十校第二次聯(lián)考)已知兩個(gè)定點(diǎn)A(－1,0)，B(2,0)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)到點(diǎn)A的距離是它到點(diǎn)B距離的2倍．
(1)求P點(diǎn)的軌跡E；
(2)若過點(diǎn)C(1,1)作軌跡E的切線，求此切線的方程．
解　(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x，y)，則|PA|＝2|PB|，坐標(biāo)代入得 ＝2，
化簡(jiǎn)得(x－3)2＋y2＝4，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E是以(3,0)為圓心，以2為半徑的圓．
(2)當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)l：y－1＝k(x－1)是圓E的切線，則有＝2?k＝；當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，l：x＝1恰好與圓E切于點(diǎn)(1,0)．
綜上，得切線方程為x＝1或3x－4y＋1＝0.
角度2　圓的弦長問題
例3　(1)過點(diǎn)(－4,0)作直線l與圓x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝8，則直線l的方程為(　　)
A．5x＋12y＋20＝0
B．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0
C．5x－12y＋20＝0
D．5x－12y＋20＝0或x＋4＝0
答案　B
解析　圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝25，由|AB|＝8知，圓心(－1,2)到直線l的距離d＝3.當(dāng)直線l的斜率不存在，即直線l的方程為x＝－4時(shí)，符合題意．當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0.則有＝3，∴k＝－.此時(shí)直線l的方程為5x＋12y＋20＝0.綜上，直線l的方程為5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0.
(2)已知直線l：mx＋y＋3m－＝0與圓x2＋y2＝12交于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點(diǎn)．若|AB|＝2，則|CD|＝________.
答案　4
解析　由題意可知直線l過定點(diǎn)(－3，)，該定點(diǎn)在圓x2＋y2＝12上，不妨設(shè)點(diǎn)A(－3，)，由于|AB|＝2，r＝2，所以圓心到直線AB的距離為d＝＝3，又由點(diǎn)到直線的距離公式可得d＝＝3，解得m＝－，所以直線l的斜率k＝－m＝，即直線l的傾斜角為30°.如圖，過點(diǎn)C作CH⊥BD，垂足為H，所以|CH|＝2，在Rt△CHD中，∠HCD＝30°，所以|CD|＝＝4.


求直線被圓截得的弦長的常用方法
(1)幾何法：直線被圓截得的半弦長、弦心距d和圓的半徑r構(gòu)成直角三角形，且r2＝2＋d2.
(2)代數(shù)法：聯(lián)立直線方程和圓的方程，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系即可求得弦長|AB|＝|x1－x2|＝·
或|AB|＝|y1－y2|
＝·(k≠0)．

[即時(shí)訓(xùn)練]　4.(2019·天津南開中學(xué)模擬)若3a2＋3b2－4c2＝0，則直線ax＋by＋c＝0被圓O：x2＋y2＝1所截得的弦長為(　　)
A． B．1
C． D．
答案　B
解析　因?yàn)閍2＋b2＝c2，所以圓心O(0,0)到直線ax＋by＋c＝0的距離d＝＝

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