2021高三統(tǒng)考北師大版數(shù)學(xué)一輪學(xué)案：第9章第7講　拋物線-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

第7講　拋物線
基礎(chǔ)知識整合

1．拋物線的定義
平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條定直線l(l不過F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.
其數(shù)學(xué)表達(dá)式：|MF|＝d(其中d為點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離).
2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程
y2＝2px (p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離
圖形

頂點(diǎn)
O(0,0)
對稱軸
y＝0
x＝0
焦點(diǎn)
F
F
F
F
離心率
e＝1
準(zhǔn)線方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范圍
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
開口方向
向右
向左
向上
向下

拋物線焦點(diǎn)弦的幾個常用結(jié)論
設(shè)AB是過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則：
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(2)若A在第一象限，B在第四象限，則|AF|＝，|BF|＝，弦長|AB|＝x1＋x2＋p＝(α為弦AB的傾斜角)；
(3)＋＝；
(4)以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；
(5)以AF或BF為直徑的圓與y軸相切；
(6)過焦點(diǎn)弦的端點(diǎn)的切線互相垂直且交點(diǎn)在準(zhǔn)線上；
(7)通徑：過焦點(diǎn)與對稱軸垂直的弦長等于2p.

1．拋物線y＝2x2的準(zhǔn)線方程為(　　)
A．y＝－ B．y＝－
C．y＝－ D．y＝－1
答案　A
解析　由y＝2x2，得x2＝y(tǒng)，故拋物線y＝2x2的準(zhǔn)線方程為y＝－，故選A．
2．(2019·黑龍江聯(lián)考)若拋物線x2＝4y上的點(diǎn)P(m，n)到其焦點(diǎn)的距離為5，則n＝(　　)
A． B．
C．3 D．4
答案　D
解析　拋物線x2＝4y的準(zhǔn)線方程為y＝－1.根據(jù)拋物線的定義可知5＝n＋1，解得n＝4.故選D．
3．過點(diǎn)P(－2,3)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　)
A．y2＝－x或x2＝y(tǒng)
B．y2＝x或x2＝y(tǒng)
C．y2＝x或x2＝－y
D．y2＝－x或x2＝－y
答案　A
解析　設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝kx或x2＝my，代入點(diǎn)P(－2,3)，解得k＝－，m＝，所以y2＝－x或x2＝y(tǒng)，選A．
4．已知拋物線C：y＝的焦點(diǎn)為F，A(x0，y0)是C上一點(diǎn)，且|AF|＝2y0，則x0＝(　　)
A．2 B．±2
C．4 D．±4
答案　D
解析　由y＝，得x2＝8y，∴拋物線C的準(zhǔn)線方程為y＝－2，焦點(diǎn)為F(0,2)．由拋物線的性質(zhì)及題意，得|AF|＝2y0＝y(tǒng)0＋2.解得y0＝2，∴x0＝±4.故選D．
5．(2019·廣東中山統(tǒng)測)過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)．如果x1＋x2＝6，那么|AB|＝(　　)
A．6 B．8
C．9 D．10
答案　B
解析　由題意知，拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線方程是x＝－1.∵過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，∴|AB|＝x1＋x2＋2.又x1＋x2＝6，∴|AB|＝x1＋x2＋2＝8.故選B．
6．O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，若|PF|＝4，則△POF的面積為(　　)
A．2 B．2
C．2 D．4
答案　C
解析　利用|PF|＝xP＋＝4，可得xP＝3，
∴yP＝±2.∴S△POF＝|OF|·|yP|＝2.
故選C．
核心考向突破
精準(zhǔn)設(shè)計考向，多角度探究突破
考向一　拋物線的定義
角度1　到焦點(diǎn)與到定點(diǎn)距離之和最小問題
例1　(2019·贛州模擬)若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,2)，F(xiàn)是拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線上移動時，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐標(biāo)為(　　)
A．(0,0) B．
C．(1，) D．(2,2)
答案　D
解析　過M點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，則|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，當(dāng)A，M，N三點(diǎn)共線時，|MF|＋|MA|取得最小值，此時M(2,2)．
角度2　到點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離之和最小問題
例2　(2020·邢臺模擬)已知M是拋物線x2＝4y上一點(diǎn)，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，點(diǎn)A在圓C：(x＋1)2＋(y－5)2＝1上，則|MA|＋|MF|的最小值是________．
答案　5
解析　依題意，由點(diǎn)M向拋物線x2＝4y的準(zhǔn)線l：y＝－1引垂線，垂足為M1，則有|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MM1|，結(jié)合圖形可知|MA|＋|MM1|的最小值等于圓心C(－1,5)到y(tǒng)＝－1的距離再減去圓C的半徑，即等于6－1＝5，因此|MA|＋|MF|的最小值是5.
角度3　到定直線的距離最小問題
例3　已知直線l1：4x－3y＋6＝0和直線l2：x＝－1，拋物線y2＝4x上一動點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是(　　)
A． B．2
C． D．3
答案　B
解析　由題意可知l2：x＝－1 是拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F(1，0)，則動點(diǎn)P到l2的距離等于|PF|，則動點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值，即焦點(diǎn)F到直線l1：4x－3y＋6＝0的距離，如圖所示，所以最小值是＝2.

與拋物線有關(guān)的最值問題的兩個轉(zhuǎn)化策略
(1)將拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，構(gòu)造出“兩點(diǎn)之間線段最短”，使問題得解．
(2)將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，利用“與直線上所有點(diǎn)的連線中垂線段最短”原理解決．
[即時訓(xùn)練]　1.(2019·濰坊質(zhì)檢)在y＝2x2上有一點(diǎn)P，它到A(1,3)的距離與它到焦點(diǎn)的距離之和最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是(　　)
A．(－2,1) B．(1,2)
C．(2,1) D．(－1,2)
答案　B
解析　如圖所示，直線l為拋物線y＝2x2的準(zhǔn)線，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，PN⊥l，AN1⊥l，由拋物線的定義，知|PF|＝|PN|，∴|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PN|≥|AN1|，即當(dāng)且僅當(dāng)A，P，N三點(diǎn)共線時取等號．∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)與A點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，即為1，則可排除A，C，D，故選B．

2．已知P是拋物線y2＝4x上一動點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l：2x－y＋3＝0和y軸的距離之和的最小值是(　　)
A． B．
C．2 D．－1
答案　D
解析　由題意知，拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)．設(shè)點(diǎn)P到直線l的距離為d，由拋物線的定義可知，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為|PF|－1，所以點(diǎn)P到直線l的距離與到y(tǒng)軸的距離之和為d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值為點(diǎn)F到直線l的距離，故d＋|PF|的最小值為＝，所以d＋|PF|－1的最小值為－1.
考向二　拋物線的方程
例4　(1)若動點(diǎn)M(x，y)到點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線x＝－5的距離小1，則點(diǎn)M的軌跡方程是(　　)
A．x＝－4 B．x＝4
C．y2＝8x D．y2＝16x
答案　D
解析　∵點(diǎn)M到F(4,0)的距離比它到直線x＝－5的距離小1，∴點(diǎn)M到F的距離和它到直線x＝－4的距離相等，故點(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn)，直線x＝－4為準(zhǔn)線的拋物線，得點(diǎn)M的軌跡方程為y2＝16x.
(2)已知拋物線x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為拋物線上的動點(diǎn)，點(diǎn)M為其準(zhǔn)線上的動點(diǎn)，若△FPM為邊長是4的等邊三角形，則此拋物線的方程為________.
答案　x2＝4y
解析　因?yàn)椤鱂PM為等邊三角形，則|PM|＝|PF|，由拋物線的定義得PM垂直于拋物線的準(zhǔn)線，設(shè)P，則點(diǎn)M，因?yàn)榻裹c(diǎn)F，△FPM是等邊三角形，所以解得因此拋物線的方程為x2＝4y.

拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法
求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程除可以用定義法和待定系數(shù)法外，還可以利用統(tǒng)一方程法．對于焦點(diǎn)在x軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可統(tǒng)一設(shè)為y2＝ax(a≠0)，a的正負(fù)由題設(shè)來定，也就是說，不必設(shè)為y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，這樣能減少計算量；同理，焦點(diǎn)在y軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為x2＝ay(a≠0)．

[即時訓(xùn)練]　3.(2019·衡水中學(xué)調(diào)研卷)若拋物線y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)到焦點(diǎn)和到拋物線對稱軸的距離分別為10和6，則拋物線的方程為(　　)
A．y2＝4x B．y2＝36x
C．y2＝4x或y2＝36x D．y2＝8x或y2＝32x
答案　C
解析　因?yàn)閽佄锞€y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)到拋物線的對稱軸的距離為6，所以設(shè)該點(diǎn)為P(x0，±6)．因?yàn)镻到拋物線的焦點(diǎn)F的距離為10，所以由拋物線的定義得x0＋＝10?、?因?yàn)镻在拋物線上，所以36＝2px0?、?由①②解得p＝2，x0＝9或p＝18，x0＝1，則拋物線的方程為y2＝4x或y2＝36x.
4．(2019·運(yùn)城模擬)已知拋物線x2＝ay與直線y＝2x－2相交于M，N兩點(diǎn)，若MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則此拋物線的方程為(　　)
A．x2＝y(tǒng) B．x2＝6y
C．x2＝－3y D．x2＝3y
答案　D
解析　設(shè)點(diǎn)M(x1，y1)，N(x2，y2)．由消去y，得x2－2ax＋2a＝0，所以＝＝3，即a＝3，因此所求的拋物線方程是x2＝3y.
考向三　拋物線的性質(zhì)
例5　(1)過拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)之和等于2，則這樣的直線(　　)
A．有且只有一條 B．有且只有兩條
C．有且只有三條 D．有且只有四條
答案　B
解析　若直線AB的斜率不存在時，則橫坐標(biāo)之和為1，不符合題意．若直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的斜率為k，則直線AB為y＝k，代入拋物線y2＝2x，得k2x2－(k2＋2)x＋k2＝0，因?yàn)锳，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為2.所以k＝±.所以這樣的直線有兩條．
(2)(2018·北京高考)已知直線l過點(diǎn)(1,0)且垂直于x軸．若l被拋物線y2＝4ax截得的線段長為4，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為________．
答案　(1,0)
解析　如圖，由題意可得，點(diǎn)P(1,2)在拋物線上，將P(1,2)代入y2＝4ax，解得a＝1，∴y2＝4x，由拋物線方程可得，2p＝4，p＝2，＝1，∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)．

(1)涉及拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離或到準(zhǔn)線的距離時，常可相互轉(zhuǎn)化．
(2)應(yīng)用拋物線的幾何性質(zhì)解題時，常結(jié)合圖形思考，通過圖形可以直觀地看出拋物線的頂點(diǎn)、對稱軸、開口方向等幾何特征，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想解題的直觀性．

[即時訓(xùn)練]　5.(2019·長沙模擬)A是拋物線y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)|AF|＝4時，∠OFA＝120°，則拋物線的準(zhǔn)線方程是(　　)
A．x＝－1 B．y＝－1
C．x＝－2 D．y＝－2
答案　A
解析　過A向準(zhǔn)線作垂線，設(shè)垂足為B，準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為D．因?yàn)椤螼FA＝120°，所以△ABF為等邊三角形，∠DBF＝30°，從而p＝|DF|＝2，因此拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－1，故選A．
6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中有一定點(diǎn)A(4,2)，若線段OA的垂直平分線過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，則該拋物線的準(zhǔn)線方程是________．
答案　x＝－
解析　OA的中點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1)，斜率kOA＝，OA的垂直平分線的方程為y－1＝－2(x－2)，即y＝－2x＋5.又拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)在x軸上，即y＝0.由得拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，∴＝，∴拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－.
考向四　直線與拋物線的位置關(guān)系
例6　(2019·全國卷Ⅲ)已知曲線C：y＝，D為直線y＝－上的動點(diǎn)，過D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.
(1)證明：直線AB過定點(diǎn)；
(2)若以E為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求該圓的方程．
解　(1)證明：設(shè)D，A(x1，y1)，則x＝2y1.
由于y′＝x，所以切線DA的斜率為x1，故＝x1.
整理得2tx1－2y1＋1＝0.
設(shè)B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.
故直線AB的方程為2tx－2y＋1＝0.
所以直線AB過定點(diǎn).
(2)由(1)得直線AB的方程為y＝tx＋.
由可得x2－2tx－1＝0.
于是x1＋x2＝2t，y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1.
設(shè)M為線段AB的中點(diǎn)，則M.
由于⊥，而＝(t，t2－2)，與向量(1，t)平行，所以t＋(t2－2)t＝0.解得t＝0或t＝±1.
當(dāng)t＝0時，||＝2，
所求圓的方程為x2＋2＝4；
當(dāng)t＝±1時，||＝，
所求圓的方程為x2＋2＝2.
綜上，圓的方程為x2＋2＝4或x2＋2＝2.

求解拋物線綜合問題的方法
(1)研究直線與拋物線的位置關(guān)系與研究直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系的方法類似，一般是用方程法，但涉及拋物線的弦長、中點(diǎn)、距離等問題時，要注意“設(shè)而不求”“整體代入”“點(diǎn)差法”以及定義的靈活應(yīng)用．
(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p(焦點(diǎn)在x軸正半軸)，若不過焦點(diǎn)，則必須用弦長公式．

[即時訓(xùn)練]　7.(2020·福建泉州第一次質(zhì)量檢測)已知拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A，B在C上，F(xiàn)為線段AB的中點(diǎn)，|AB|＝4.
(1)求C的方程；
(2)過F的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)．若C上僅存在三個點(diǎn)Ki(i＝1,2,3)，使得△MNKi的面積等于16，求l的方程．
解　解法一：(1)由拋物線的對稱性，可知AB∥x軸，且A，B的坐標(biāo)分別為，，所以4＝2p·，解得p＝2，故C的方程為x2＝4y.
(2)如圖，作與l平行且與C相切的直線l′，切點(diǎn)為K.由題意，可知△MNK的面積等于16.

設(shè)l的方程為y＝kx＋1，方程x2＝4y可化為y＝x2，則y′＝x，令y′＝k，解得x＝2k，將x＝2k代入x2＝4y，得y＝k2，故K(2k，k2)，所以K到l的距離d＝＝，由消去y，得x2－4kx－4＝0，從而x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，所以|MN|＝＝4(k2＋1)，
故△MNK的面積為|MN|·d＝2(k2＋1)，從而2(k2＋1)＝16，解得k＝或k＝－.
所以l的方程為y＝x＋1或y＝－x＋1.
解法二：(1)設(shè)A(x0，y0)，B(x0′，y0′)，則x＝2py0，x0′2＝2py0′，因?yàn)镕為AB的中點(diǎn)，所以x0＋x0′＝0，y0＋y0′＝p，
故y0＝y(tǒng)0′＝，從而|AB|＝2|x0|，故|x0|＝2，
所以4＝2p·，解得p＝2，故C的方程為x2＝4y.
(2)直線l斜率顯然存在，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋1.由消去y，得x2－4kx－4＝0，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，所以|MN|＝＝4(k2＋1)，
因?yàn)辄c(diǎn)K在C上，設(shè)K，則點(diǎn)K到直線l的距離d＝，△MNK的面積等于16，所以關(guān)于m的方程×4(k2＋1)×＝2＝16恰有三個不同實(shí)根，即＝恰有三個不同實(shí)根，所以m＝2k，＝k2＋1＝，
解得k＝或k＝－.
所以l的方程為y＝x＋1或y＝－x＋1.

1．(2019·長沙模擬)已知點(diǎn)A(0,2)，拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，射線FA與拋物線C相交于點(diǎn)M，與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N，若＝，則p的值等于________.
答案　2

解析　依題意，得點(diǎn)F的坐標(biāo)為，設(shè)M在準(zhǔn)線上的射影為K，由拋物線的定義，知|MF|＝|MK|，由＝，則|KN|∶|KM|＝2∶1，即kFN＝＝－，得－＝－2，解得p＝2.
2．(2019·山東臨沂三模)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，直線m與C交于A，B兩點(diǎn)，AF⊥BF，線段AB的中點(diǎn)為M，過點(diǎn)M作拋物線C準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，則的最小值為________．
答案　
解析　如圖所示，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l，作AQ⊥l于點(diǎn)Q，BP⊥l于點(diǎn)P，由拋物線的定義可設(shè)|AF|＝|AQ|＝a，|BF|＝|BP|＝b，由勾股定理可知|AB|＝＝，

由梯形中位線的性質(zhì)可得|MN|＝，則＝≥＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立，即的最小值為.
答題啟示
圓錐曲線中存在線段比值問題，應(yīng)采用化歸轉(zhuǎn)化思想方法轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系，或有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，有時還利用相似比或三角函數(shù)求解．
對點(diǎn)訓(xùn)練
1．(2019·安徽宣城第二次調(diào)研)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)，過焦點(diǎn)F作傾斜角為60°的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，且|AF|>|BF|，則＝________.
答案　3
解析　拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，∵直線l的傾斜角為60°，∴直線l的方程為y－0＝，設(shè)直線l與拋物線C的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，聯(lián)立方程組，消去y并整理，得12x2－20px＋3p2＝0，解得x1＝，x2＝，∴|AF|＝x1＋＝2p，|BF|＝x2＋＝，∴|AF|∶|BF|＝3∶1，∴的值為3.
2．(2019·湖北八校聯(lián)考)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過F作斜率大于0的直線與拋物線C交于M，N兩點(diǎn)(M在x軸上方)，且與直線l交于點(diǎn)Q.若＝，|MF|＝16，則p的值為________．
答案　4
解析　過M，N分別作l的垂線，垂足分別為M1，N1，過F作MM1的垂線，垂足為P.

∵＝，∴＝，∴＝，
∴|MP|＝|MF|，
∴|MF|＝|MM1|＝|MP|＋p＝|MF|＋p，
∴p＝4.