第4節(jié)　直線、平面平行的判定及其性質(zhì)
考試要求　1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定定理；2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形的平行關(guān)系的簡單命題.

知 識(shí) 梳 理
1.直線與平面平行
(1)直線與平面平行的定義
直線l與平面α沒有公共點(diǎn)，則稱直線l與平面α平行.
(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言
圖形表示
符號(hào)表示
判定定理
平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線平行于此平面

a?α，b?α，a∥b?a∥α
性質(zhì)定理
一條直線和一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行

a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b
2.平面與平面平行
(1)平面與平面平行的定義
沒有公共點(diǎn)的兩個(gè)平面叫做平行平面.
(2)判定定理與性質(zhì)定理







文字語言
圖形表示
符號(hào)表示
判定定理
一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行

a?α，b?α，a∩b＝P，a∥β，b∥β?α∥β
性質(zhì)定理
兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面

α∥β，a?α?a∥β
如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行

α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b
3.與垂直相關(guān)的平行的判定
(1)a⊥α，b⊥α?a∥b.
(2)a⊥α，a⊥β?α∥β.
[常用結(jié)論與易錯(cuò)提醒]
1.平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化

2.平面與平面平行的六個(gè)性質(zhì)
(1)兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個(gè)平面.
(2)夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段長度相等.
(3)經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行.
(4)兩條直線被三個(gè)平行平面所截，截得的對應(yīng)線段成比例.
(5)如果兩個(gè)平面分別和第三個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面互相平行.
(6)如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，那么這兩個(gè)平面平行.
診 斷 自 測
1.判斷下列說法的正誤.
(1)若一條直線和平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行.(　　)
(2)若直線a∥平面α，P∈α，則過點(diǎn)P且平行于直線a的直線有無數(shù)條.(　　)
(3)如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行.(　　)
(4)如果兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行或異面.(　　)
解析　(1)若一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行或在平面內(nèi)，故(1)錯(cuò)誤.
(2)若a∥α，P∈α，則過點(diǎn)P且平行于a的直線只有一條，故(2)錯(cuò)誤.
(3)如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行或相交，故(3)錯(cuò)誤.
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.(2018·浙江卷)已知平面α，直線m，n滿足m?α，n?α，則“m∥n”是“m∥α”的(　　)
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
解析　若m?α，n?α，m∥n，由線面平行的判定定理知m∥α.若m∥α，m?α，n?α，不一定推出m∥n，直線m與n可能異面，故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要條件.故選A.
答案　A
3.下列命題中正確的是(　　)
A.若a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面
B.若直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內(nèi)的任何直線平行
C.若直線a，b和平面α滿足a∥α，b∥α，那么a∥b
D.若直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b?α，則b∥α
解析　根據(jù)線面平行的判定與性質(zhì)定理知，選D.
答案　D
4.(必修2P56練習(xí)2改編)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為DD1的中點(diǎn)，則BD1與平面AEC的位置關(guān)系為________.

解析　連接BD，設(shè)BD∩AC＝O，連接EO，在△BDD1中，O為BD的中點(diǎn)，E為DD1的中點(diǎn)，
所以EO為△BDD1的中位線，則BD1∥EO，而BD1?平面ACE，EO?平面ACE，所以BD1∥平面ACE.
答案　平行
5.用一個(gè)截面去截正三棱柱ABC－A1B1C1，交A1C1，B1C1，BC，AC分別于E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，已知A1A>A1C1，則截面的形狀可以是________(把你認(rèn)為可能的結(jié)果都填上).
解析　由題意知，當(dāng)截面平行于側(cè)棱時(shí)所得截面為矩形，當(dāng)截面與側(cè)棱不平行時(shí)，所得的截面是梯形.
答案　矩形或梯形
6.設(shè)α，β，γ為三個(gè)不同的平面，a，b為直線.
(1)若α∥γ，β∥γ，則α與β的關(guān)系是________；
(2)若a⊥α，b⊥β，a∥b，則α與β的關(guān)系是________.
解析　(1)由α∥γ，β∥γ?α∥β.
(2)a⊥α，a∥b?b⊥α，又b⊥β，從而α∥β.
答案　(1)平行　(2)平行

考點(diǎn)一　線面、面面平行的相關(guān)命題的真假判斷
【例1】 (1)(2019·全國Ⅱ卷)設(shè)α，β為兩個(gè)平面，則α∥β的充要條件是(　　)
A.α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行
B.α內(nèi)有兩條相交直線與β平行
C.α，β平行于同一條直線
D.α，β垂直于同一平面
(2)(一題多解)如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是(　　)

解析　(1)若α∥β，則α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行，當(dāng)無數(shù)條直線互相平行時(shí)，α與β可能相交；若α，β平行于同一條直線，則α與β可以平行也可以相交；若α，β垂直于同一個(gè)平面，則α與β可以平行也可以相交，故A，C，D中條件均不是α∥β的充要條件.根據(jù)兩平面平行的判定定理知，若一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則兩平面平行，反之也成立.因此B中條件是α∥β的充要條件.
(2)法一　對于選項(xiàng)B，如圖(1)所示，連接CD，因?yàn)锳B∥CD，M，Q分別是所在棱的中點(diǎn)，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.同理可證選項(xiàng)C，D中均有AB∥平面MNQ.因此A項(xiàng)不正確.
　　
　　　　 圖(1)　　　　　　　圖(2)
法二　對于選項(xiàng)A，其中O為BC的中點(diǎn)(如圖(2)所示)，連接OQ，則OQ∥AB，因?yàn)镺Q與平面MNQ有交點(diǎn)，所以AB與平面MNQ有交點(diǎn)，即AB與平面MNQ不平行.A項(xiàng)不正確.
答案　(1)B　(2)A
規(guī)律方法　(1)判斷與平行關(guān)系相關(guān)命題的真假，必須熟悉線、面平行關(guān)系的各個(gè)定義、定理，無論是單項(xiàng)選擇還是含選擇項(xiàng)的填空題，都可以從中先選出最熟悉最容易判斷的選項(xiàng)先確定或排除，再逐步判斷其余選項(xiàng).
(2)①結(jié)合題意構(gòu)造或繪制圖形，結(jié)合圖形作出判斷.
②特別注意定理所要求的條件是否完備，圖形是否有特殊情況，通過舉反例否定結(jié)論或用反證法推斷命題是否正確.
【訓(xùn)練1】 (1)(2020·杭州質(zhì)檢)已知三個(gè)不同的平面α，β，γ和直線m，n，若α∩γ＝m，β∩γ＝n，則“α∥β”是“m∥n”的(　　)
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
(2)設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：
①若m?α，n∥α，則m∥n；
②若α∥β，β∥γ，m⊥α，則m⊥γ；
③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，則m∥β；
④若m∥α，n∥β，m∥n，則α∥β.
其中是真命題的是________(填上正確命題的序號(hào)).
解析　(1)可知當(dāng)“α∥β”時(shí)有“m∥n”，反之，不一定成立，則“α∥β”是“m∥n”的充分不必要條件，故選A.
(2)①m∥n或m，n異面，故①錯(cuò)誤；易知②正確；③m∥β或m?β，故③錯(cuò)誤；④α∥β或α與β相交，故④錯(cuò)誤.
答案　(1)A　(2)②
考點(diǎn)二　直線與平面平行的判定與性質(zhì) 多維探究
角度1　直線與平面平行的判定
【例2－1】 如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM＝2MD，N為PC的中點(diǎn).

(1)證明：MN∥平面PAB；
(2)求四面體N－BCM的體積.
(1)證明　由已知得AM＝AD＝2.
如圖，取BP的中點(diǎn)T，連接AT，TN，由N為PC中點(diǎn)知TN∥BC，TN＝BC＝2.
又AD∥BC，故TN綉AM，所以四邊形AMNT為平行四邊形，于是MN∥AT.
因?yàn)锳T?平面PAB，MN?平面PAB，
所以MN∥平面PAB.
(2)解　因?yàn)镻A⊥平面ABCD，N為PC的中點(diǎn)，
所以N到平面ABCD的距離為PA.
如圖，取BC的中點(diǎn)E，連接AE.由AB＝AC＝3得AE⊥BC，AE＝＝.
由AM∥BC得M到BC的距離為，故S△BCM＝×4×＝2.所以四面體N－BCM的體積VN－BCM＝×S△BCM×＝.
角度2　直線與平面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用
【例2－2】 如圖，四棱錐P－ABCD的底面是邊長為8的正方形，四條側(cè)棱長均為2.點(diǎn)G，E，F(xiàn)，H分別是棱PB，AB，CD，PC上共面的四點(diǎn)，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.

(1)證明：GH∥EF；
(2)若EB＝2，求四邊形GEFH的面積.
(1)證明　因?yàn)锽C∥平面GEFH，BC?平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，
所以GH∥BC.同理可證EF∥BC，因此GH∥EF.
(2)解　如圖，連接AC，BD交于點(diǎn)O，BD交EF于點(diǎn)K，連接OP，GK.因?yàn)镻A＝PC，O是AC的中點(diǎn)，所以PO⊥AC，
同理可得PO⊥BD.
又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面ABCD內(nèi)，所以PO⊥底面ABCD.又因?yàn)槠矫鍳EFH⊥平面ABCD，
且PO?平面GEFH，所以PO∥平面GEFH.
因?yàn)槠矫鍼BD∩平面GEFH＝GK，PO?平面PBD.
所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD，
又EF?平面ABCD，從而GK⊥EF.
所以GK是梯形GEFH的高.
由AB＝8，EB＝2及EK∥AD，
得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，
從而KB＝DB＝OB，即K為OB的中點(diǎn).
再由PO∥GK得GK＝PO，即G是PB的中點(diǎn)，且GH＝BC＝4.由已知可得OB＝4，PO＝＝＝6，所以GK＝3.
故四邊形GEFH的面積S＝·GK＝×3＝18.
規(guī)律方法　(1)判斷或證明線面平行的常用方法有：
①利用反證法(線面平行的定義)；
②利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)；
③利用面面平行的性質(zhì)定理(α∥β，a?α?a∥β)；
④利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?β，a∥α?a∥β).
(2)利用判定定理判定線面平行，關(guān)鍵是找平面內(nèi)與已知直線平行的直線.常利用三角形的中位線、平行四邊形的對邊或過已知直線作一平面找其交線.
【訓(xùn)練2】 在四棱錐P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F(xiàn)，H分別為線段AD，PC，CD的中點(diǎn)，AC與BE交于O點(diǎn)，G是線段OF上一點(diǎn).

(1)求證：AP∥平面BEF；
(2)求證：GH∥平面PAD.
證明　(1)連接EC，∵AD∥BC，BC＝AD，
E為AD的中點(diǎn)，∴BC綉AE，
∴四邊形ABCE是平行四邊形，
∴O為AC的中點(diǎn)，
又∵F是PC的中點(diǎn)，∴FO∥AP，
又FO?平面BEF，AP?平面BEF，∴AP∥平面BEF.
(2)連接FH，OH，∵F，H分別是PC，CD的中點(diǎn)，
∴FH∥PD，又PD?平面PAD，F(xiàn)H?平面PAD，
∴FH∥平面PAD.
又∵O是BE的中點(diǎn)，H是CD的中點(diǎn)，
∴OH∥AD，又∵AD?平面PAD，OH?平面PAD，
∴OH∥平面PAD.
又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD.
又∵GH?平面OHF，∴GH∥平面PAD.
考點(diǎn)三　面面平行的判定與性質(zhì) 變式遷移
【例3】 (經(jīng)典母題)如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)，求證：
(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
證明　(1)∵G，H分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，
∴GH是△A1B1C1的中位線，則GH∥B1C1.
又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四點(diǎn)共面.
(2)∵E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，∴EF∥BC，
∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
又G，E分別為A1B1，AB的中點(diǎn)，A1B1綉AB，
∴A1G綉EB，
∴四邊形A1EBG是平行四邊形，∴A1E∥GB.
∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
【變式遷移1】 如圖，在本例條件下，若點(diǎn)D為BC1的中點(diǎn)，求證：HD∥平面A1B1BA.

證明　如圖所示，連接A1B.
∵D為BC1的中點(diǎn)，H為A1C1的中點(diǎn)，∴HD∥A1B，
又HD?平面A1B1BA，A1B?平面A1B1BA，
∴HD∥平面A1B1BA.
【變式遷移2】 在本例中，若將條件“E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)”變?yōu)椤包c(diǎn)D，D1分別是AC，A1C1上的點(diǎn)，且平面BC1D∥平面AB1D1”，試求的值.
解　連接A1B交AB1于O，連接OD1.
由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，所以BC1∥D1O，則＝＝1.
又由題設(shè)＝，∴＝1，即＝1.
規(guī)律方法　(1)判定面面平行的主要方法
①利用面面平行的判定定理.
②線面垂直的性質(zhì)(垂直于同一直線的兩平面平行).
(2)面面平行的性質(zhì)定理
①兩平面平行，則一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一平面.
②若一平面與兩平行平面相交，則交線平行.
提醒　利用面面平行的判定定理證明兩平面平行時(shí)需要說明是一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行.
【訓(xùn)練3】 在如圖所示的幾何體中，D是AC的中點(diǎn)，EF∥DB.

(1)已知AB＝BC，AE＝EC.求證：AC⊥FB；
(2)已知G，H分別是EC和FB的中點(diǎn).求證：GH∥平面ABC.
證明　(1)因?yàn)镋F∥DB，所以EF與DB確定平面BDEF，
如圖①，連接DE.因?yàn)锳E＝EC，D為AC的中點(diǎn)，

圖①
所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.
又BD∩DE＝D，
所以AC⊥平面BDEF.
因?yàn)镕B?平面BDEF，
所以AC⊥FB.
(2)如圖②，設(shè)FC的中點(diǎn)為I，連接GI，HI.

圖②
在△CEF中，因?yàn)镚是CE的中點(diǎn)，
所以GI∥EF.又EF∥DB，
所以GI∥DB.
在△CFB中，因?yàn)镠是FB的中點(diǎn)，所以HI∥BC.又HI∩GI＝I，
所以平面GHI∥平面ABC，
因?yàn)镚H?平面GHI，
所以GH∥平面ABC.

基礎(chǔ)鞏固題組
一、選擇題
1.設(shè)m，n是不同的直線，α，β是不同的平面，且m，n?α，則“α∥β”是“m∥β且n∥β”的(　　)
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
解析　若m，n?α，α∥β，則m∥β且n∥β；反之若m，n?α，m∥β且n∥β，則α與β相交或平行，即“α∥β”是“m∥β且n∥β”的充分不必要條件.
答案　A
2.如圖所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，過A1B1的平面與平面ABC交于DE，則DE與AB的位置關(guān)系是(　　)

A.異面　　　　　 B.平行
C.相交 D.以上均有可能
解析　在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，∵AB?平面ABC，A1B1?平面ABC，
∴A1B1∥平面ABC，∵過A1B1的平面與平面ABC交于DE.∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.
答案　B
3.有下列命題：
①若直線l平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線，則直線l∥α；
②若直線a在平面α外，則a∥α；
③若直線a∥b，b∥α，則a∥α；
④若直線a∥b，b∥α，則a平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線.
其中真命題的個(gè)數(shù)是(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
解析　命題①l可以在平面α內(nèi)，不正確；命題②直線a與平面α可以是相交關(guān)系，不正確；命題③a可以在平面α內(nèi)，不正確；命題④正確.
答案　A
4.下列四個(gè)正方體圖形中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出AB∥平面MNP的圖形的序號(hào)是(　　)

A.①③ B.①④
C.②③ D.②④
解析　①中，易知NP∥AA′，
MN∥A′B，又MN∩NP＝N.
∴平面MNP∥平面AA′B，
可得出AB∥平面MNP(如圖).
④中，NP∥AB，NP?平面MNP，AB?平面MNP，能得出AB∥平面MNP.在②③中不能判定AB∥平面MNP.
答案　B
5.已知m，n表示兩條不同直線，α表示平面，下列說法正確的是(　　)
A.若m∥α，n∥α，則m∥n B.若m⊥α，n?α，則m⊥n
C.若m⊥α，m⊥n，則n∥α D.若m∥α，m⊥n，則n⊥α
解析　若m∥α，n∥α，則m，n平行、相交或異面，A錯(cuò)；若m⊥α，n?α，則m⊥n，因?yàn)橹本€與平面垂直時(shí)，它垂直于平面內(nèi)任一直線，B正確；若m⊥α，m⊥n，則n∥α或n?α，C錯(cuò)；若m∥α，m⊥n，則n與α可能相交，可能平行，也可能n?α，D錯(cuò).
答案　B
6.在四面體ABCD中，截面PQMN是正方形，則在下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(　　)
A.AC⊥BD
B.AC∥截面PQMN
C.AC＝BD
D.異面直線PM與BD所成的角為45°
解析　因?yàn)榻孛鍼QMN是正方形，所以MN∥QP，又PQ?平面ABC，MN?平面ABC，則MN∥平面ABC，由線面平行的性質(zhì)知MN∥AC，又MN?平面PQMN，AC?平面PQMN，則AC∥截面PQMN，同理可得MQ∥BD，又MN⊥QM，則AC⊥BD，故A，B正確.又因?yàn)锽D∥MQ，所以異面直線PM與BD所成的角等于PM與QM所成的角，即為45°，故D正確.
答案　C
二、填空題
7.在四面體A－BCD中，M，N分別是△ACD，△BCD的重心，則MN與平面ABD的位置關(guān)系是________；與平面ABC的位置關(guān)系是________.
解析　如圖，取CD的中點(diǎn)E.
連接AE，BE，由于M，N分別是△ACD，△BCD的重心，所以AE，BE分別過M，N，則EM∶MA＝1∶2，EN∶BN＝1∶2，
即EM∶MA＝EN∶BN，
所以MN∥AB.因?yàn)锳B?平面ABD，MN?平面ABD，AB?平面ABC，MN?平面ABC，所以MN∥平面ABD，
MN∥平面ABC.
答案　平行　平行
8.如圖，四棱錐P－ABCD的底面是一直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E為PC的中點(diǎn)，則BE與平面PAD的位置關(guān)系為________.
解析　取PD的中點(diǎn)F，連接EF，AF，

在△PCD中，EF綉CD.
又∵AB∥CD且CD＝2AB，
∴EF綉AB，
∴四邊形ABEF是平行四邊形，
∴EB∥AF.
又∵EB?平面PAD，AF?平面PAD，
∴BE∥平面PAD.
答案　平行
9.設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：
①若m?α，n∥α，則m∥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，則m⊥γ；③若α∩β＝n，m∥n，則m∥α，且m∥β；④若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β.
其中真命題的個(gè)數(shù)為__________.
解析　若m?α，n∥α，則m，n可能平行或異面，①錯(cuò)誤；若α∥β，β∥γ，則α∥γ，又m⊥α，則m⊥γ，②正確；若α∩β＝n，m∥n，則m∥α或m∥β或m?α或m?β，③錯(cuò)誤；若α⊥γ，β⊥γ，則α，β可能平行或相交，④錯(cuò)誤，則真命題個(gè)數(shù)為1.
答案　1
10.如圖所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，則M只需滿足條件________時(shí)，就有MN∥平面B1BDD1.(注：請?zhí)钌夏阏J(rèn)為正確的一個(gè)條件即可，不必考慮全部可能情況)

解析　連接HN，F(xiàn)H，F(xiàn)N，則FH∥DD1，HN∥BD，
易知平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，則MN?平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.
答案　點(diǎn)M在線段FH上(或點(diǎn)M與點(diǎn)H重合)
三、解答題
11.一個(gè)正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示.

(1)請將字母F，G，H標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點(diǎn)處(不需說明理由)；
(2)判斷平面BEG與平面ACH的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.
解　(1)點(diǎn)F，G，H的位置如圖所示.
(2)平面BEG∥平面ACH，證明如下：因?yàn)锳BCD－EFGH為正方體，
所以BC∥FG，BC＝FG，
又FG∥EH，F(xiàn)G＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是四邊形BCHE為平行四邊形，所以BE∥CH.又CH?平面ACH，BE?平面ACH，
所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.
又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.
12.如圖，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AD∥BC，AD＝2BC，M為邊AD的中點(diǎn)，求證：C1M∥平面A1ABB1.

證明　在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，
有B1C1∥BC且B1C1＝BC，又M為邊AD的中點(diǎn)，
所以BC∥AM，即B1C1∥AM，
又AD＝2BC，所以BC＝AM，
即B1C1＝AM，所以四邊形B1C1MA為平行四邊形，
則C1M∥B1A，又B1A?平面AA1B1B，C1M?平面AA1B1B，
所以C1M∥平面AA1B1B.
能力提升題組
13.給出下列關(guān)于互不相同的直線l，m，n和平面α，β，γ的三個(gè)命題：①若l與m為異面直線，l?α，m?β，則α∥β；
②若α∥β，l?α，m?β，則l∥m；
③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，則m∥n.
其中真命題的個(gè)數(shù)為(　　)
A.3 B.2
C.1 D.0
解析?、僦挟?dāng)α與β不平行時(shí)，也可能存在符合題意的l，m；②中l(wèi)與m也可能異面；③中?l∥n，同理，l∥m，則m∥n，正確.
答案　C
14.如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別是棱AA1，CC1的中點(diǎn)，過EF的平面與棱BB1，DD1分別交于點(diǎn)G，H.設(shè)BG＝x，x∈[0，1].
①四邊形EGFH一定是菱形；②AC∥平面EGFH；③四邊形EGFH的面積S＝f(x)在區(qū)間[0，1]上具有單調(diào)性；④四棱錐A－EGFH的體積為定值.以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是(　　)
A.4 B.3
C.2 D.1
解析　由正方體的性質(zhì)易得D1H＝BG＝x，則四邊形A1D1HE、四邊形ABGE、四邊形CBGF、四邊形C1D1HF為四個(gè)全等的直角梯形，則HE＝EG＝GF＝FH，即四邊形EGFH為菱形，①正確；因?yàn)锳C∥EF，EF?平面EGFH，AC?平面EGFH，所以AC∥平面EGFH，②正確；在線段DD1上取DM＝x，則易得△HMG為直角三角形，且HM＝1－2x，則GH＝＝，則菱形EGFH的面積S＝f(x)＝EF·GH＝，易得其在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在[0，1]上不具有單調(diào)性，③錯(cuò)誤；V四棱錐A－EGFH＝V三棱錐A－EFH＋V三棱錐A－EGF＝V三棱錐F－AEH＋V三棱錐F－AEG＝×1××1×＋×1××1×＝，為定值，④正確.綜上所述，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是3，故選B.
答案　B
15.如圖所示，棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)面BCC1B1是菱形，設(shè)D是A1C1上的點(diǎn)且A1B∥平面B1CD，則A1D∶DC1的值為________.

解析　設(shè)BC1∩B1C＝O，連接OD.
∵A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD＝OD，
∴A1B∥OD，
∵四邊形BCC1B1是菱形，
∴O為BC1的中點(diǎn)，
∴D為A1C1的中點(diǎn)，則A1D∶DC1＝1.
答案　1
16.已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面：
①若m∥α，m∥β，則α∥β；②若m⊥α，m∥β，則α∥β；③若m⊥α，n∥α，則m∥n；④若m⊥α，n⊥α，則m∥n.
則以上命題錯(cuò)誤的是________(填序號(hào)).
解析　若m∥α，m∥β，則α，β可能平行或相交，①錯(cuò)誤；若m⊥α，m∥β，則α⊥β，②錯(cuò)誤；若m⊥α，n∥α，則m⊥n，③錯(cuò)誤； 若m⊥α，n⊥α，則m∥n，④正確.
答案　①②③
17.(2020·無錫調(diào)研)如圖，ABCD是菱形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝2AF.

(1)求證：AC⊥平面BDE；
(2)求證：AC∥平面BEF.
證明　(1)因?yàn)镈E⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以DE⊥AC.
因?yàn)锳BCD是菱形，所以AC⊥BD，
因?yàn)镈E∩BD＝D，BD?平面BDE，DE?平面BDE，
所以AC⊥平面BDE.
(2)如圖，設(shè)AC∩BD＝O，取BE中點(diǎn)G，連接FG，OG，
所以，OG∥DE且OG＝DE.
因?yàn)锳F∥DE，DE＝2AF，所以AF∥OG且AF＝OG，
從而四邊形AFGO是平行四邊形，F(xiàn)G∥AO.
因?yàn)镕G?平面BEF，AO?平面BEF，
所以AO∥平面BEF，
即AC∥平面BEF.
18.如圖，在四棱臺(tái)ABCD－A1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，AB＝2AD，AD＝A1B1，∠BAD＝60°.
(1)證明：AA1⊥BD；
(2)證明：CC1∥平面A1BD.
證明　(1)因?yàn)镈1D⊥平面ABCD，且BD?平面ABCD，所以D1D⊥BD.
又AB＝2AD，∠BAD＝60°，在△ABD中，由余弦定理，得BD＝AD，
所以AD2＋BD2＝AB2，即AD⊥BD.又AD∩D1D＝D，所以BD⊥平面ADD1A1.
又AA1?平面ADD1A1，所以AA1⊥BD.
(2)如圖，連接AC，A1C1.
設(shè)AC∩BD＝E，連接EA1.
因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，
所以EC＝AC.
由棱臺(tái)定義及AB＝2AD＝2A1B1知，A1C1∥EC且A1C1＝EC，
所以四邊形A1ECC1為平行四邊形，
因此CC1∥EA1.
又EA1?平面A1BD，CC1?平面A1BD，
所以CC1∥平面A1BD.

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