2021屆浙江省高考數(shù)學(xué)一輪學(xué)案：第八章第6節(jié)　空間向量及其運(yùn)算-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

第6節(jié)　空間向量及其運(yùn)算
考試要求　1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，了解空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；2.了解空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示；3.了解空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示；4.掌握空間兩點(diǎn)間的距離公式，會求向量的長度、兩向量的夾角.

知識梳理
1.空間向量的有關(guān)概念
名稱
概念
表示
零向量
模為0的向量
0
單位向量
長度(模)為1的向量

相等向量
方向相同且模相等的向量
a＝b
相反向量
方向相反且模相等的向量
a的相反向量為－a
共線向量
表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量
a∥b
共面向量
平行于同一個平面的向量

2.空間向量中的有關(guān)定理
(1)共線向量定理
空間兩個向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa.
推論　如圖所示，點(diǎn)P在l上的充要條件是＝＋ta　　　　　　　　　?、?br />
其中a叫直線l的方向向量，t∈R，在l上取＝a，則①可化為＝＋t或＝(1－t)＋t.
(2)共面向量定理
共面向量定理的向量表達(dá)式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b為不共線向量，推論的表達(dá)式為＝x＋y或?qū)臻g任意一點(diǎn)O，有＝＋x＋y或＝x＋y＋z，其中x＋y＋z＝1.
(3)空間向量基本定理
如果向量e1，e2，e3是空間三個不共面的向量，a是空間任一向量，那么存在唯一一組實(shí)數(shù)λ1，λ2，λ3，使得a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3，空間中不共面的三個向量e1，e2，e3叫作這個空間的一個基底.
3.空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律
(1)數(shù)量積及相關(guān)概念
①兩向量的夾角
已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作＝a，＝b，則∠AOB叫做向量a與b的夾角，記作〈a，b〉，其范圍是[0，π]，若〈a，b〉＝，則稱a與b互相垂直，記作a⊥b.
②兩向量的數(shù)量積
已知空間兩個非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
(2)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律
①結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
②交換律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
4.空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用
設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).

向量表示
坐標(biāo)表示
數(shù)量積
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3
共線
a＝λb(b≠0，λ∈R)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直
a·b＝0(a≠0，b≠0)
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
|a|

夾角
〈a，b〉(a≠0，b≠0)
cos〈a，b〉＝
5.空間兩點(diǎn)間的距離公式
空間中點(diǎn)P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之間的距離|P1P2|＝.
[常用結(jié)論與易錯提醒]
1.a·b＝0?a＝0或b＝0或〈a，b〉＝.
2.a·b0不等價為〈a，b〉為銳角，因?yàn)椤碼，b〉可能為0°.
診斷自測
1.判斷下列說法的正誤.
(1)空間中任意兩非零向量a，b共面.(　　)
(2)對任意兩個空間向量a，b，若a·b＝0，則a⊥b.(　　)
(3)若{a，b，c}是空間的一個基底，則a，b，c中至多有一個零向量.(　　)
(4)若a·b＜0，則〈a，b〉是鈍角.(　　)
解析　對于(2)，因?yàn)?與任何向量數(shù)量積為0，所以(2)不正確；對于(3)，若a，b，c中有一個是0，則a，b，c共面，所以(3)不正確；對于(4)，若〈a，b〉＝π，則a·b