第7節(jié)　空間向量與線面位置關(guān)系
考試要求　1.理解直線的方向向量與平面的法向量，會用向量方法證明直線、平面的位置關(guān)系；2.了解向量法求點到面的距離.

知 識 梳 理
1.直線的方向向量與平面的法向量的確定
(1)直線的方向向量：在直線上任取一非零向量作為它的方向向量.
(2)平面的法向量可利用方程組求出：設(shè)a，b是平面α內(nèi)兩不共線向量，n為平面α的法向量，則求法向量的方程組為
2.用向量證明空間中的平行關(guān)系
(1)設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1∥l2(或l1與l2重合)?v1∥v2.
(2)設(shè)直線l的方向向量為v，與平面α共面的兩個不共線向量v1和v2，則l∥α或l?α?存在兩個實數(shù)x，y，使v＝xv1＋yv2.
(3)設(shè)直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，則l∥α或l?α?v⊥u.
(4)設(shè)平面α和β的法向量分別為u1，u2，則α∥β?u1∥u2.
3.用向量證明空間中的垂直關(guān)系
(1)設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1⊥l2?v1⊥v2?v1·v2＝0.
(2)設(shè)直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，則l⊥α?v∥u.
(3)設(shè)平面α和β的法向量分別為u1和u2，則α⊥β?u1⊥u2?u1·u2＝0.
4.點面距的求法
如圖，設(shè)AB為平面α的一條斜線段，n為平面α的法向量，則B到平面α的距離d＝.

[常用結(jié)論與易錯提醒]
1.直線l1，l2的方向向量分別為v1，v2，且v1∥v2，若l1，l2有公共點，則l1，l2重合；若l1，l2沒有公共點，則l1∥l2.
2.直線l的方向向量v與平面α內(nèi)不共線的向量a，b滿足v＝λa＋μb，若直線l與α無公共點，則l∥α，若直線l與α有公共點，則l?α.
3.直線l的方向向量v與平面α的法向量u垂直，若直線l與平面α有公共點，則l?α，若直線l與平面α無公共點，則l∥α.
診 斷 自 測
1.判斷下列說法的正誤.
(1)兩直線的方向向量平行，則兩直線平行.(　　)
(2)如果一條直線的方向向量與平面內(nèi)一直線的方向向量共線，則這條直線與該平面平行.(　　)
(3)如果一條直線的方向向量與平面的法向量垂直，則這條直線與該平面平行.(　　)
(4)一條直線的方向向量有無窮多個，平面的法向量也有無窮多個.(　　)
解析　(1)不正確，兩直線也可能重合；(2)不正確，直線也可能在平面內(nèi)；(3)不正確，直線也可能在平面內(nèi).
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，則下列向量是平面ABC法向量的是(　　)
A.(－1，1，1) B.(1，－1，1)
C. D.
解析　設(shè)平面ABC的法向量n＝(x，y，z)，＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1)，由得∴x＝y(tǒng)＝z.故選C.
答案　C
3.已知平面α的法向量為n＝(2，－2，4)，＝(－1，1，－2)，則直線AB與平面α的位置關(guān)系為(　　)
A.AB⊥α B.AB?α
C.AB與α相交但不垂直 D.AB∥α
解析　由題意易得n＝－2，所以向量也為平面α的一個法向量，則直線AB與平面α垂直，故選A.
答案　A
4.平面α的法向量u＝(2，－2，2)，平面β的法向量v＝(1，2，1)，則下列命題正確的是(　　)
A.α，β平行 B.α，β垂直
C.α，β重合 D.α，β不垂直
解析　∵平面α的法向量與平面β的法向量的數(shù)量積為u·v＝2×1＋(－2)×2＋2×1＝0，∴平面α，β垂直，故選B.
答案　B
5.設(shè)u，v分別是平面α，β的法向量，u＝(－2，2，5)，當v＝(3，－2，2)時，α與β的位置關(guān)系為________；當v＝(4，－4，－10)時，α與β的位置關(guān)系為________.
解析　當v＝(3，－2，2)時，由于u·v＝0，即u⊥v，∴α⊥β；當v＝(4，－4，－10)時，由于v＝－2u≠0，∴α∥β.
答案　α⊥β　α∥β
6.設(shè)直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n＝(2，2，4)，若a＝(1，1，2)，則直線l與平面α的位置關(guān)系為________；
若a＝(－1，－1，1)，則直線l與平面α的位置關(guān)系為________.
解析　當a＝(1，1，2)時，a＝n，則l⊥α；
當a＝(－1，－1，1)時，a·n＝(－1，－1，1)·(2，2，4)＝0，則l∥α或l?α.
答案　l⊥α　l∥α或l?α

考點一　用空間向量證平行問題
【例1】 如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F(xiàn)，G分別是線段PA，PD，CD的中點.求證：PB∥平面EFG.

證明　因為平面PAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD，所以AB，AP，AD兩兩垂直，以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)－xyz，則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(xiàn)(0，1，1)，G(1，2，0).

所以＝(2，0，－2)，＝(0，－1，0)，＝(1，1，－1)，
設(shè)＝s＋t，
即(2，0，－2)＝s(0，－1，0)＋t(1，1，－1)，
所以解得s＝t＝2，
所以＝2＋2，
又因為與不共線，所以，與共面.
因為PB?平面EFG，所以PB∥平面EFG.
規(guī)律方法　(1)證明直線與平面平行，只須證明直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零，或證直線的方向向量與平面內(nèi)的不共線的兩個向量共面，或證直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行，然后說明直線在平面外即可.這樣就把幾何的證明問題轉(zhuǎn)化為向量運算.
(2)能建坐標系時，盡量建立坐標系.
【訓練1】 已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，用向量方法求證：

(1)E，F(xiàn)，G，H四點共面；
(2)BD∥平面EFGH.
證明　(1)連接BG，則＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋，又與不共線，由共面向量定理知E，F(xiàn)，G，H四點共面.

(2)因為＝－＝－＝(－)＝，因為E，H，B，D四點不共線，所以EH∥BD.
又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH，
所以BD∥平面EFGH.
考點二　用空間向量證垂直問題
【例2】 如圖所示，已知四棱錐P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，側(cè)面PBC⊥底面ABCD.證明：

(1)PA⊥BD；
(2)平面PAD⊥平面PAB.
證明　(1)取BC的中點O，連接PO，
∵平面PBC⊥底面ABCD，△PBC為等邊三角形，
∴PO⊥底面ABCD.
以BC的中點O為坐標原點，以BC所在直線為x軸，過點O與AB平行的直線為y軸，OP所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示.

不妨設(shè)CD＝1，則AB＝BC＝2，PO＝.
∴A(1，－2，0)，B(1，0，0)，D(－1，－1，0)，P(0，0，).
∴＝(－2，－1，0)，＝(1，－2，－).
∵·＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－)＝0，
∴⊥，∴PA⊥BD.
(2)取PA的中點M，連接DM，則M.
∵＝，＝(1，0，－)，
∴·＝×1＋0×0＋×(－)＝0，
∴⊥，即DM⊥PB.
∵·＝×1＋0×(－2)＋×(－)＝0，
∴⊥，即DM⊥PA.
又∵PA∩PB＝P，∴DM⊥平面PAB.
∵DM?平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.
規(guī)律方法　用向量證明垂直的方法
(1)線線垂直：證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零.
(2)線面垂直：證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或?qū)⒕€面垂直的判定定理用向量表示.
(3)面面垂直：證明兩個平面的法向量垂直，或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎?
【訓練2】 如圖所示，已知空間四邊形ABCD的各邊和對角線的長都等于a，點M，N分別是AB，CD的中點.

(1)求證：MN⊥AB，MN⊥CD；
(2)求MN的長.
(1)證明　設(shè)＝p，＝q，＝r.
由題意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p，q，r三向量兩兩夾角均為60°.
＝－＝(＋)－＝(q＋r－p)，
∴·＝(q＋r－p)·p＝(q·p＋r·p－p2)
＝(a2cos 60°＋a2cos 60°－a2)＝0.
∴⊥，即MN⊥AB.
同理可證MN⊥CD.
(2)解　由(1)可知＝(q＋r－p)，
∴||2＝(q＋r－p)2
＝[q2＋r2＋p2＋2(q·r－p·q－r·p)]
＝
＝×2a2＝.
∴||＝a.∴MN的長為a.
考點三　利用空間向量求解探索性問題
【例3】 如圖，在四棱錐E－ABCD中，平面ABE⊥底面ABCD，側(cè)面AEB為等腰直角三角形，∠AEB＝，底面ABCD為直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD＝2BC.
線段EA上是否存在點F，使EC∥平面FBD？若存在，求出；若不存在，說明理由.

解　存在點F，且＝時，有EC∥平面FBD.
證明如下：取AB中點O為坐標原點，OB，OD，OE分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，設(shè)CD＝1，則E(0，0，1)，A(－1，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，所以＝(－1，0，－1)，＝(－1，1，0)，＝(1，1，－1).
由＝＝，得F，
所以＝.
設(shè)平面FBD的法向量為v＝(a，b，c)，
則所以
取a＝1，得v＝(1，1，2)，
因為·v＝(1，1，－1)·(1，1，2)＝0，
且EC?平面FBD，所以EC∥平面FBD，
即當點F滿足＝時，有EC∥平面FBD.
規(guī)律方法　空間向量最適合于解決這類立體幾何中的探索性問題，它無需進行復(fù)雜的作圖、論證、推理，只需通過坐標運算進行判斷.解題時，把要成立的結(jié)論當作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問題轉(zhuǎn)化為“點的坐標是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等，所以為使問題的解決更簡單、有效，應(yīng)善于運用這一方法.
【訓練3】 在四棱錐P－ABCD中，△ABP是等邊三角形，底面ABCD是直角梯形，∠DAB＝90°，AD∥BC，E是線段AB的中點，PE⊥底面ABCD，已知DA＝AB＝2BC＝2.試在平面PCD上找一點M，使得EM⊥平面PCD.

解　因為PE⊥底面ABCD，過E作ES∥BC，則ES⊥AB，以E為坐標原點，EB方向為x軸的正半軸，
ES方向為y軸的正半軸，EP方向為z軸的正半軸建立空間直角坐標系，
則E(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，A(－1，0，0)，D(－1，2，0)，P(0，0，)，＝(－2，1，0)，＝(1，1，－).
設(shè)M點的坐標為(x1，y1，z1)，平面PCD的法向量為n＝(x，y，z)，
則令x＝1，得n＝(1，2，).
因為EM⊥平面PCD，所以∥n，即＝＝，也即y1＝2x1，z1＝x1，又＝(x1，y1，z1－)，＝(－1，2，－)，＝(1，1，－)，
所以＝λ＋μ＝(λ－μ，λ＋2μ，－λ－μ)，
所以得x1＝λ－μ，y1＝λ＋2μ＝2x1＝2(λ－μ)，即λ＝4μ，
z1－＝－λ－μ，λ＝，所以μ＝，
所以M點的坐標為.

基礎(chǔ)鞏固題組
1.正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是C1C，B1C1的中點.求證：MN∥平面A1BD.
證明　如圖所示，以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.

設(shè)正方體的棱長為1，則M，N，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，
于是＝，＝(1，0，1)，＝(1，1，0).
設(shè)平面A1BD的法向量為n＝(x，y，z)，
則n·＝0，且n·＝0，
得
取x＝1，得y＝－1，z＝－1.
所以n＝(1，－1，－1).
又·n＝·(1，－1，－1)＝0，
所以⊥n.
又MN?平面A1BD，所以MN∥平面A1BD.
2.如圖所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面為平行四邊形，以頂點A為端點的三條棱長都為1，且兩兩夾角為60°.
求證：AC1⊥BD.

證明　記＝a，＝b，＝c，∵＝a＋b＋c，＝b－a，
∴·＝(a＋b＋c)·(b－a)
＝a·b＋|b|2＋b·c－|a|2－a·b－a·c＝b·c－a·c
＝|b||c|cos 60°－|a||c|cos 60°＝0.
∴⊥，∴AC1⊥BD.
3.(一題多解)如圖，在四面體A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2，M是AD的中點，P是BM的中點，點Q在線段AC上，且AQ＝3QC.
證明：PQ∥平面BCD.

證明　法一　如圖，取BD的中點O，以O(shè)為原點，OD，OP所在射線分別為y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標系Oxyz.
由題意知，A(0，，2)，B(0，－，0)，D(0，，0).
設(shè)點C的坐標為(x0，y0，0).
因為＝3，
所以Q.
因為M為AD的中點，故M(0，，1).
又P為BM的中點，故P，
所以＝.
又平面BCD的一個法向量為a＝(0，0，1)，故·a＝0.
又PQ?平面BCD，所以PQ∥平面BCD.
法二　在線段CD上取點F，使得DF＝3FC，連接OF，同法一建立空間直角坐標系，寫出點A，B，D的坐標，設(shè)點C坐標為(x0，y0，0).
∵＝，設(shè)點F坐標為(x，y，0)，則
(x－x0，y－y0，0)＝(－x0，－y0，0)，
∴∴＝
又由法一知＝，
∴＝，∴PQ∥OF.
又PQ?平面BCD，OF?平面BCD，
∴PQ∥平面BCD.
4.如圖所示，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F(xiàn)分別為B1A，C1C，BC的中點.求證：

(1)DE∥平面ABC；
(2)B1F⊥平面AEF.
證明　(1)以A為坐標原點，AB，AC，AA1所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系A(chǔ)－xyz，
令A(yù)B＝AA1＝4，
則A(0，0，0)，E(0，4，2)，F(xiàn)(2，2，0)，B(4，0，0)，B1(4，0，4).
設(shè)AB中點為N，連接CN，
則N(2，0，0)，C(0，4，0)，D(2，0，2)，
所以＝(－2，4，0)，＝(4，0，0)，＝(0，4，0)，
所以＝－＋，又與不共線，
所以與，共面，又DE?平面ABC，
故DE∥平面ABC.
(2)＝(－2，2，－4)，＝(2，－2，－2)，
＝(2，2，0).
·＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0，
·＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0.
所以⊥，⊥，即B1F⊥EF，B1F⊥AF，
又因為AF∩EF＝F，AF?平面AEF，EF?平面AEF，
所以B1F⊥平面AEF.
5.如圖，在多面體ABC－A1B1C1中，四邊形A1ABB1是正方形，AB＝AC，BC＝AB，B1C1綉B(tài)C，二面角A1－AB－C是直二面角.求證：
(1)A1B1⊥平面AA1C；
(2)AB1∥平面A1C1C.
證明　(1)因為二面角A1－AB－C是直二面角，四邊形A1ABB1為正方形，
所以AA1⊥平面BAC.
又因為AB＝AC，BC＝AB，
所以AB2＋AC2＝BC2，即∠CAB＝90°，即CA⊥AB，
所以AB，AC，AA1兩兩互相垂直.
建立如圖所示的空間直角坐標系，點A為坐標原點，
設(shè)AB＝2，則A(0，0，0)，B1(0，2，2)，A1(0，0，2)，C(2，0，0)，C1(1，1，2)，
所以＝(0，2，0)，＝(0，0，－2)，＝(2，0，0).
平面AA1C就是xOz平面，取一個法向量n＝(0，1，0).
所以＝2n，即∥n.
所以A1B1⊥平面AA1C.
(2)易知＝(0，2，2)，＝(1，1，0)，＝(2，0，－2)，
設(shè)平面A1C1C的一個法向量m＝(x1，y1，z1)，
則即
令x1＝1，則y1＝－1，z1＝1，即m＝(1，－1，1).
所以·m＝0×1＋2×(－1)＋2×1＝0，
所以⊥m.
又AB1?平面A1C1C，
所以AB1∥平面A1C1C.
6.(一題多解)如圖，在直三棱柱ADE－BCF中，面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直，點M為AB的中點，點O為DF的中點.運用向量方法證明：
(1)OM∥平面BCF；
(2)平面MDF⊥平面EFCD.
證明　法一　(1)由題意，得AB，AD，AE兩兩垂直，以點A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系.
設(shè)正方形邊長為1，則A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，F(xiàn)(1，0，1)，M，O.
＝，＝(－1，0，0)，
∴·＝0，∴⊥.
∵棱柱ADE－BCF是直三棱柱，
∴AB⊥平面BCF，∴是平面BCF的一個法向量，
且OM?平面BCF，∴OM∥平面BCF.
(2)設(shè)平面MDF與平面EFCD的一個法向量分別為n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2).
∵＝(1，－1，1)，＝，＝(1，0，0)，＝(0，－1，1)，
由得
令x1＝1，則n1＝.同理可得n2＝(0，1，1).
∵n1·n2＝0，∴平面MDF⊥平面EFCD.
法二　(1)＝＋＋＝－＋
＝(＋)－＋＝－－＋
＝－(＋)－＋
＝－－.
∴向量與向量，共面，
又OM?平面BCF，∴OM∥平面BCF.
(2)由題意知，BF，BC，BA兩兩垂直，
∵＝，＝－，
∴·＝·＝0，
·＝·(－)
＝－2＋2＝0.
∴OM⊥CD，OM⊥FC，
又CD∩FC＝C，CD，F(xiàn)C?平面EFCD，
∴OM⊥平面EFCD.
又OM?平面MDF，∴平面MDF⊥平面EFCD.
能力提升題組
7.如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，AA1＝2.以AB，BC為鄰邊作平行四邊形ABCD，連接DA1和DC1.
(1)求證：A1D∥平面BCC1B1；
(2)線段BC上是否存在點F，使平面DA1C1與平面A1C1F垂直？若存在，求出BF的長；若不存在，請說明理由.
(1)證明　∵AD∥BC，AA1∥CC1，
且AD∩AA1＝A，BC∩BB1＝B，
∴平面A1DA∥平面BCC1B1，
∵A1D?平面A1DA，A1D?平面BCC1B1，
∴A1D∥平面BCC1B1.
(2)解　以A為坐標原點，分別以射線AD，AC，AA1為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系.
假設(shè)在BC上存在這樣的點F，則由A1C1⊥平面BCC1B1推得A1C1⊥C1F.
又由(1)的結(jié)論A1D∥平面BCC1B1可推得A1C1⊥A1D.
綜上，要使平面DA1C1⊥平面FA1C1，只需A1D⊥C1F即可.
設(shè)BF＝x，則＝(x－3，0，－2)，＝(3，0，－2)，
由·＝0，得3(x－3)＋4＝0，x＝，
∴在BC上存在點F，使得兩個平面垂直，只需讓BF＝即可.
8.如圖所示，四棱錐P－ABCD的底面是邊長為1的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD＝，E為PD上一點，PE＝2ED.
(1)求證：PA⊥平面ABCD；
(2)在側(cè)棱PC上是否存在一點F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出F點的位置，并證明；若不存在，說明理由.
(1)證明　∵PA＝AD＝1，PD＝，
∴PA2＋AD2＝PD2，即PA⊥AD.
又PA⊥CD，AD∩CD＝D，∴PA⊥平面ABCD.
(2)解　以A為原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，
z軸建立空間直角坐標系.
則A(0，0，0)，B(1，0，0)，
C(1，1，0)，P(0，0，1)，
E，＝(1，1，0)，
＝.設(shè)平面AEC的法向量為n＝(x，y，z)，
則即令y＝1，
則n＝(－1，1，－2).
假設(shè)側(cè)棱PC上存在一點F，且＝λ(0≤λ≤1)，
使得BF∥平面AEC，則·n＝0.
又∵＝＋＝(0，1，0)＋(－λ，－λ，λ)＝(－λ，1－λ，λ)，
∴·n＝λ＋1－λ－2λ＝0，∴λ＝，
∴存在點F，使得BF∥平面AEC，且F為PC的中點.

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