2020版江蘇高考數(shù)學(xué)名師大講壇一輪復(fù)習(xí)教程學(xué)案：第32課__三角函數(shù)綜合問(wèn)題

____第32課__三角函數(shù)綜合問(wèn)題____1. 能靈活運(yùn)用三角函數(shù)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值、求取值范圍等．2. 能綜合應(yīng)用函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)解決與三角函數(shù)相關(guān)的問(wèn)題.1. 閱讀：必修 4 第103～122頁(yè)；必修5第5～16頁(yè)．2. 解悟：①三角函數(shù)中的同角三角函數(shù)關(guān)系，誘導(dǎo)公式，兩角和與差的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式、輔助角公式；②解三角形中的正余弦定理，三角形的面積公式；③重解必修4第109頁(yè)例3，體會(huì)輔助角公式的應(yīng)用；第110頁(yè)例5，體會(huì)整體代換思想；第116頁(yè)例5，這是三角函數(shù)應(yīng)用題中的一個(gè)重要模型，體會(huì)角的拆分與合成；第121頁(yè)例3，體會(huì)降冪擴(kuò)角公式．3. 踐習(xí)：在教材空白處完成必修4第109頁(yè)練習(xí)第8題；第111頁(yè)練習(xí)第5題；第116頁(yè)練習(xí)第4、5、6題；第117頁(yè)練習(xí)第5題.　基礎(chǔ)診斷　1. 若α是三角形的一個(gè)內(nèi)角，且sinαcosα＝，則cosα＋sinα的值為____．解析：因?yàn)?/span>α是三角形的一個(gè)內(nèi)角，且sinαcosα＝，所以α為銳角，所以cosα＋sinα＝＝.2. 已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，則sin(α＋β)＝__－__．解析：因?yàn)?/span>sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，平方相加得sin2α＋2sinαcosβ＋cos2β＋cos2α＋2cosαsinβ＋sin2β＝1，所以2sin(α＋β)＝－1，sin(α＋β)＝－.3. 已知角α，β，γ構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，若cosβ＝－，則cosα＋cosγ＝__－__．解析：因?yàn)?/span>α，β，γ構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，所以α＝β－，γ＝β＋，所以cosα＋cosγ＝cos＋cos＝2cosβcos＝－.4. 在銳角三角形ABC中，若tanA＝t＋1，tanB＝t－1，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是__(，＋∞)__．解析：因?yàn)樵?/span>△ABC中，A＋B＋C＝π，所以tanC＝－tan(A＋B)＝－＝.因?yàn)?/span>△ABC為銳角三角形，所以tanA>0，tan B>0，tan C>0，即解得t>.　范例導(dǎo)航　考向?  三角恒等變換與解三角形例1　在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對(duì)的邊，且2cosAcosC(tanAtanC－1)＝1.(1) 求角B的大??；(2) 若a＋c＝，b＝，求△ABC的面積．解析：(1) 由2cosAcosC(tanAtanC－1)＝1得2(sinAsinC－cosAcosC)＝1，即cos(A＋C)＝－，所以cosB＝－cos(A＋C)＝.又0<B<π，所以B＝.(2) 由余弦定理得cosB＝＝，所以＝.又a＋c＝，b＝，所以－2ac－3＝ac，即ac＝，所以S△ABC＝acsinB＝××＝. 【變式1】 若本題(2)條件變?yōu)?/span>“若b＝，S△ABC＝”，求a＋c的值．解析：由已知S△ABC＝acsinB＝，所以ac×＝，則ac＝6.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－3ac，所以(a＋c)2＝b2＋3ac＝21，所以a＋c＝. 【變式2】 在本例條件下，若b＝，求△ABC面積的最大值．解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac，則3＝a2＋c2－ac≥2ac－ac，所以ac≤3(當(dāng)且僅當(dāng)a＝c＝時(shí)取等號(hào))，所以S△ABC＝acsinB≤×3×sin＝.故△ABC面積的最大值為.在△ABC中，已知tanA＝，tanB＝.(1) 求角C的大小；(2) 若△ABC的最大邊長(zhǎng)為，求最小邊長(zhǎng)．解析：(1) 因?yàn)?/span>A＋B＋C＝π，所以tanC＝－tan(A＋B)＝－＝－＝－1.因?yàn)?/span>0<C<π，所以C＝.(2) 因?yàn)?/span>C＝，所以最大邊為AB＝，因?yàn)?/span>tanA＝<＝tanB，A，B∈，所以A<B<C，所以角A最小，即邊BC最?。?/span>由tanA＝，sin2A＋cos2A＝1得sinA＝，由＝得BC＝sinA·＝，所以最小的邊長(zhǎng)為.【注】 本例訓(xùn)練三角函數(shù)基本關(guān)系、正余弦定理及兩角和與差公式的簡(jiǎn)單綜合運(yùn)用，注意三角形基本知識(shí)的運(yùn)用.考向?  三角函數(shù)與解三角形　例2　已知函數(shù)f(x)＝sinωxsin－(ω>0)，且其圖象的相鄰對(duì)稱軸間的距離為.(1) 求f(x)在區(qū)間上的值域；(2) 在銳角三角形ABC中，若f＝，a＝1，b＋c＝2，求△ABC的面積．解析：(1) f(x)＝sinωx(sinωx＋cosωx)－＝sin2ωx＋sinωxcosωx－＝(1－cos2ωx)＋sin2ωx－＝sin2ωx－cos2ωx＝sin.由條件知T＝.又T＝，所以ω＝2，所以f(x)＝sin.因?yàn)?/span>x∈，所以4x－∈，所以sin∈，所以f(x)的值域是[－，]．(2) 由f＝得 A＝.由 a＝1，b＋c＝2及余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA得bc＝1，所以△ABC的面積S＝bcsinA＝.在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對(duì)的邊，且b2＋c2－a2＝bc.(1) 求角A的大?。?/span>(2) 設(shè)函數(shù)f(x)＝sincos＋cos2，當(dāng)f(B)取得最大值時(shí)，判斷△ABC的形狀．解析：(1) 因?yàn)樵?/span>△ABC中，b2＋c2－a2＝bc，所以由余弦定理可得cosA＝＝.因?yàn)?/span>A∈(0，π)，所以A＝.(2) f(x)＝sincos＋cos2＝sinx＋cosx＋＝sin＋，所以f(B)＝sin＋.因?yàn)?/span>B∈，所以B＋∈.當(dāng)B＋＝時(shí)，即B＝時(shí)，f(B)取最大值，此時(shí)C＝，所以△ABC是直角三角形．【注】 本例通過(guò)輔助角公式將三角函數(shù)化同名同角進(jìn)而研究三角形中三角函數(shù)性質(zhì).考向?  平面向量與解三角形例3　已知向量m＝(2sinωx，cos2ωx－sin2ωx)，n＝(cosωx，1)，其中ω>0，x∈R，若函數(shù)f(x)＝m·n的最小正周期為π.(1) 求ω的值；(2) 在△ABC中，若f(B)＝－2，BC＝，sinB＝sinA，求·的值．解析：(1) f(x)＝m·n＝2sinωxcosωx＋cos2ωx－sin2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＝2sin.因?yàn)?/span>f(x)的最小正周期為π，所以T＝＝π，所以ω＝1.(2) 因?yàn)?/span>f(B)＝－2，所以2sin＝－2，即sin＝－1.因?yàn)?/span>0<B<π，所以2B＋∈，所以2B＋＝，所以B＝.因?yàn)?/span>BC＝，即a＝，因?yàn)?/span>sinB＝sinA，所以b＝a＝3.由正弦定理＝，所以sinA＝.因?yàn)?/span>0<A<，所以A＝，所以C＝，c＝，所以·＝cacosB＝－.設(shè)△ABC的面積為S，且2S＋·＝0.(1) 求角A的大小；(2) 若||＝，且角B不是最小角，求S的取值范圍．解析：(1) 設(shè)△ABC中角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，由2S＋·＝0，得2×bcsinA＋bccosA＝0，即sinA＋cosA＝0，tanA＝－.又因?yàn)?/span>A∈(0，π)，所以A＝.  (2) 因?yàn)?/span>a＝， 由正弦定理得＝＝，所以b＝2sinB，c＝2sinC，從而S＝bcsinA＝sinBsinC＝sinBsin＝sinB＝＝sin－.又B∈，2B＋∈，所以S∈. 【注】 本例突出訓(xùn)練平面向量數(shù)量積、三角函數(shù)與正余弦定理相結(jié)合在解三角形中的綜合應(yīng)用．　自測(cè)反饋　1. 函數(shù)f(x)＝(sinx－cosx)2的最大值為__2__．解析：f(x)＝(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝1－sin2x.因?yàn)?/span>sin2x∈[－1，1]，所以f(x)max＝2.2. 在△ABC中，若a＝2，c＝3，tanB＝－，則b＝__4__．解析：因?yàn)?/span>tanB＝－＝，sin2B＋cos2B＝1，解得cosB＝－.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝4＋9－2×2×3×＝16，所以b＝4.3. 若方程sinx＋cosx＋a＝0在(0，2π)內(nèi)有相異的兩解α，β，則α＋β＝__或__．解析：因?yàn)榉匠?/span>sinx＋cosx＋a＝0在(0，2π)內(nèi)有相異的兩解α，β，所以sinα＋cosα＋a＝0，sinβ＋cosβ＋a＝0，兩式相減得(sinα－sinβ)＋(cosα－cosβ)＝0，sin－sin(－)＋[cos(＋)－cos(－)]＝0，化簡(jiǎn)整理得2sincos－2sinsin＝0.又因?yàn)?/span>sin≠0，所以tan＝，所以＝kπ＋，k∈Z，則α＋β＝2kπ＋，k∈Z.因?yàn)?/span>α，β∈(0，2π)，所以α＋β＝或.4. 已知△ABC外接圓的半徑是R，C＝，則的取值范圍是____．解析：由正弦定理得＝2R，則＝＝＝2(sinA＋sinB)＝2[sinA＋sin]＝2(sinA＋·cosA)＝2sin，又因?yàn)?/span>A∈，所以A＋∈，所以2sin∈(，2]，即∈(，2]． 1. 在三角形中研究三角函數(shù)，應(yīng)與正余弦定理結(jié)合，注意角的范圍，特別是銳角三角形中角的范圍．2. 三角函數(shù)與向量的結(jié)合，向量的夾角問(wèn)題或向量的坐標(biāo)化可化為三角函數(shù)形式進(jìn)行處理．3. 你還有哪些體悟，寫下來(lái)：