2020版江蘇高考數(shù)學(xué)名師大講壇一輪復(fù)習(xí)教程學(xué)案：第30課__正余弦定理及其簡(jiǎn)單應(yīng)用

第30課__正余弦定理及其簡(jiǎn)單應(yīng)用____1. 掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問題．2. 能運(yùn)用正余弦定理解決三角形中的有關(guān)問題.1. 閱讀：必修5第5～17 頁．2. 解悟：①正余弦定理的內(nèi)容是什么？三角形的面積公式是什么？你會(huì)證明嗎？②正余弦定理可以解決哪些類型的斜三角形；③第10頁例5中所證明的結(jié)論是一個(gè)什么定理？你會(huì)證明嗎？你會(huì)使用嗎？④重解第16頁例5和例6，體會(huì)方法和規(guī)范．3. 踐習(xí)：在教材空白處，完成第10頁練習(xí)第4、5題；第15頁練習(xí)第3、4、5題；第16頁練習(xí)第1、2、3題；第17頁習(xí)題第5、6、10題.　基礎(chǔ)診斷　1. 在△ABC中，若b＝2，A＝，B＝，則BC＝____．解析：因?yàn)?/span>b＝2，A＝，B＝，所以由正弦定理得BC＝＝＝.2. 在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，bc＝4，則△ABC的面積為____．解析：因?yàn)?/span>a2＝b2＋c2－bc，所以cosA＝，A＝.又bc＝4，所以△ABC的面積為bcsinA＝.3. 在△ABC中，已知A＝，c＝a，則△ABC的形狀是__等腰三角形或直角三角形__．解析：A＝，c＝a，所以sinC＝sinA＝.因?yàn)?/span>0<C<π，所以C＝或.當(dāng)C＝時(shí)，△ABC為直角三角形，當(dāng)C＝時(shí)，△ABC為等腰三角形．4. 在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足csinA＝acosC，則角C＝____．解析：由正弦定理可得＝，所以sinCsinA＝sinAcosC.又因?yàn)?/span>A∈(0，π)，所以sinA≠0，所以sinC＝cosC，即tanC＝1.因?yàn)?/span>C∈(0，π)，所以C＝.　范例導(dǎo)航　考向?  直接用正、余弦定理解三角形例1　在平面四邊形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.(1) 求cos∠ADB；(2) 若DC＝2，求BC.解析：(1) 在△ABD中，由正弦定理得＝.　由題設(shè)知＝，所以sin∠ADB＝.由題設(shè)知0°<∠ADB<90°，所以cos∠ADB＝＝.(2) 由題設(shè)及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝.在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2·BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×2×＝25，所以BC＝5. 在△ABC中，a＝7，b＝8，cosB＝－.(1) 求角A的大??；(2) 求AC邊上的高．解析：(1) 在△ABC中，因?yàn)?/span>cosB＝－，所以B∈，所以sinB＝＝.由正弦定理得＝，即＝，所以sinA＝.因?yàn)?/span>B∈，所以A∈，所以A＝.(2) 在△ABC中，sinC＝sin(A＋B)＝sinA·cosB＋sinBcosA＝×＋×＝.如圖所示，在△ABC中，因?yàn)?/span>sinC＝，所以h＝BC·sinC＝7×＝，所以AC邊上的高為. 【注】 本例主要訓(xùn)練解三角形時(shí)，已知兩邊及其一邊所對(duì)的角時(shí)用正弦定理；已知兩邊及其夾角時(shí)用余弦定理. 另外，注意互余的兩個(gè)角的正余弦關(guān)系.考向?  邊角互化例2　在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，bsinC＋2csinBcosA＝0.(1) 求A大??；(2) 若a＝2，c＝2，求△ABC面積S的大?。?/span>解析：(1) 方法一(邊化角)：由bsinC＋2csinBcosA＝0得sinBsinC＋2sinCsinBcosA＝0.因?yàn)?/span>B，C∈(0，π)，所以sinB≠0，sinC≠0，所以cosA＝－.又A∈(0，π)，所以A＝.方法二(角化邊)：由bsinC＋2csinBcosA＝0得bc＋2bc＝0，所以bc＋b2＋c2－a2＝0，所以cosA＝－.又A∈(0，π)，所以A＝.(2) 由余弦定理得cosA＝，即－＝，解得b＝2或b＝－4(舍去)，所以S△ABC＝bcsinA＝×2×2sin＝.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且bcosA－acosB＝2c.(1) 證明： tanB＝－3tanA；(2) 若b2＋c2＝a2＋bc，且△ABC的面積為，求a的值．解析：(1) 根據(jù)正弦定理，由已知得：sinBcosA－cosBsinA＝2sinC＝2sin(A＋B)，展開得sinBcosA－cosBsinA＝2(sinBcosA＋cosBsinA)，整理得sinBcosA＝－3cosBsinA，由題意知cosB≠0，cosA≠0，所以tanB＝－3tanA.(2) 由已知得b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝＝＝，由0<A<π得A＝，所以tanA＝.由(1)知tanB＝－.由0<B<π得B＝，所以C＝，故該三角形是頂角為的等腰三角形，且a＝c.由S＝acsin＝×a2＝得a＝2.【注】 本例主要用于訓(xùn)練條件中既有邊又有角時(shí)，統(tǒng)一角(邊)，可采用角化邊或邊化角思想. 另外，條件中有切有弦時(shí)用切化弦的思想. 在化簡(jiǎn)式子過程中約去一個(gè)式子(數(shù))，根據(jù)角的范圍來確定式子(數(shù))是否為零．考向?  含角平分線或中線的邊角求解　　例3　在△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分∠BAC，BD＝2DC.(1) 求；(2) 若∠BAC＝60°，求角B的大?。?/span>解析：(1) 由正弦定理得＝，＝.因?yàn)?/span>AD平分∠BAC，BD＝2DC，所以＝＝.(2) 因?yàn)?/span>C＝π－(∠BAC＋∠B)，∠BAC＝，所以sinC＝sin(∠BAC＋∠B)＝cosB＋sinB.由(1)知2sinB＝sinC，所以tanB＝.因?yàn)?/span>0<B<π，所以B＝.如圖，在△ABC中，BC邊上的中線AD長(zhǎng)為3，且cosB＝，cos∠ADC＝－.(1) 求sin∠BAD的值；(2) 求AC邊的長(zhǎng). 解析：(1) 因?yàn)?/span>cosB＝，所以sinB＝.又cos∠ADC＝－，所以sin∠ADC＝，所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB＝×－×＝.(2) 在△ABD中，由正弦定理得＝，即＝，解得BD＝2，故DC＝2.在△ADC中，由余弦定理得AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC＝32＋22－2×3×2×＝16，所以AC＝4.【注】 本例以必修5第10頁例5和第16頁例6為模型．考察三角形中遇角平分線或中線如何解三角形．　自測(cè)反饋　1. 在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，則最大角的余弦值為__－__．解析：因?yàn)?/span>sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，所以根據(jù)正弦定理得a∶b∶c＝2∶3∶4，可得C為最大邊，則C為最大角，設(shè)a＝2k，b＝3k，c＝4k(k>0)，所以cosC＝＝＝－，即最大角的余弦值為－.2. 在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a＝3，C＝120°，△ABC的面積S＝，則c＝__7__．解析：因?yàn)?/span>a＝3，C＝120°，△ABC的面積S＝，所以＝absinC＝×3bsin120°，解得b＝5.由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcosC＝9＋25－2×15×＝49，則c＝7.3. 已知在△ABC中，AB＝，BC＝1，A＝30°，則AC＝__1或2__．解析：因?yàn)樵?/span>△ABC中，AB＝，BC＝1，A＝30°，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA，即AC2－3AC＋2＝0解得AC＝1或2.4. 在△ABC中，已知a2tanB＝b2tanA，則△ABC的形狀是__等腰三角形或直角三角形__．解析：因?yàn)?/span>a2tanB＝b2tanA，所以a2·＝b2，由正弦定理可得sin2A·＝sin2B·.又因?yàn)?/span>A，B∈(0，π)，所以sinAsinB≠0，所以＝，即sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，因?yàn)?/span>A，B∈(0，π)，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，所以△ABC為等腰三角形或直角三角形． 1. 已知三角形的三邊或兩邊和它們的夾角，適合用余弦定理求解，同時(shí)要注意方程思想的運(yùn)用．若已知條件中涉及邊的平方關(guān)系或角的余弦，通常也用余弦定理．2. 正弦定理一般解決兩類問題：①已知兩角和任一邊，求解三角形；②已知兩邊及其中一邊的對(duì)角，求解三角形．第②類問題也可以用余弦定理解．用正弦定理解，需注意對(duì)解的情況的討論．3. 解三角形時(shí)要合理地進(jìn)行邊角互化，若已知條件中有邊、角混合的式子，通常要化異為同，體會(huì)等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．4. 你還有哪些體悟，寫下來：