2020版江蘇高考數(shù)學(xué)名師大講壇一輪復(fù)習(xí)教程學(xué)案：第33課__三角函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用

____第33課__三角函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用____1. 會利用三角函數(shù)的概念和性質(zhì)以及解三角形等知識解決有關(guān)三角函數(shù)的實際問題．2. 能靈活利用代數(shù)、幾何知識建立三角函數(shù)模型，綜合利用三角函數(shù)、不等式等知識解決實際問題1. 閱讀：必修5第18～20頁；必修4第41～44 頁，第116～117 頁，第122頁．2. 解悟：①正余弦定理的內(nèi)容是什么？三角形的面積公式是什么？②實際應(yīng)用中常用的術(shù)語，如仰角、俯角、方位角、坡度、方向角，你清楚含義嗎？3. 踐習(xí)：在教材空白處，完成必修 4 第116 頁例5、第122頁例5；完成必修 5第18～19頁例2、例4，第20頁練習(xí)第4題，第21頁習(xí)題第6、7、8題.　基礎(chǔ)診斷　1. 海面上有A，B，C三個燈塔，AB＝10 n mile，從A望C和B成60°視角，從B望C和A成75°視角，則BC＝__5__n mile.解析：由題意得在△ABC中，AB＝10，A＝60°，B＝75°，所以C＝45°.由正弦定理可得＝，即BC＝·sinA＝5.2. 如圖，測量河對岸的塔高AB時，選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點C，D，測得∠BCD＝30°，∠BDC＝120°，CD＝10m，并在點C測得塔頂A的仰角為60°，則塔高AB＝__30__m.解析：在△BCD中，由正弦定理得＝，即BC＝·sin120°＝10.在Rt△ABC中，AB＝BC·tan∠ACB＝10×＝30，故AB＝30m.3. 如圖，一艘船上午9：30在A處測得燈塔S在它的北偏東30°的方向，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達B處，此時又測得燈塔S在它的北偏東75°的方向，且與它相距8n mile，則此船的航速是__32__n mile/h.解析：由題可知，∠S＝75°－30°＝45°，由正弦定理可得＝，即AB＝16.又因為此船航行了0.5h，所以此船的航速為16÷0.5＝32(nmile/h). 4. 如圖所示，為了測量某湖泊兩側(cè)A，B間的距離，李寧同學(xué)首先選定了與A，B不共線的一點C，然后給出了三種測量方案(△ABC的角A，B，C所對的邊分別記為a，b，c)：①測量A，C，b；②測量a，b，C；③測量A，B，a.則一定能確定A，B間距離的所有方案為①②③．(填序號)解析：對于①③可以利用正弦定理確定唯一的A，B兩點間的距離；對于②直接利用余弦定理即可確定A，B兩點間的距離． 　范例導(dǎo)航　考向?  距離、高度問題例1　如圖，點M在A城的南偏西19°的方向上，現(xiàn)有一輛汽車在點B處沿公路向A城直線行駛，公路的走向是A城的南偏東41°.開始時，汽車B到M的距離為9km，汽車前進6km到達點C時，到M的距離縮短了4km.(1) 求△BCM的面積S；(2) 汽車還要行駛多遠才能到達A城. 解析：(1) 在△BCM中，BM＝9，MC＝5，BC＝6.由余弦定理得cos∠BCM＝＝－，則sin∠BCM＝，所以S＝MC·BC·sin∠MCB＝×5×6×＝10(km2)．(2) 由條件得∠MAC＝.由(1)得cos∠BCM＝－，sin∠BCM＝則cos∠ACM＝cos(π－∠BCM)＝－cos∠BCM＝，sin∠ACM＝，所以sin∠AMC＝sin＝sin(－∠ACM)＝cos∠ACM＋sin∠ACM＝.在△AMC中，由正弦定理得＝，則AC＝＝(km)．故汽車還要行駛 km才能到達A城．如圖，一棟建筑物AB的高為(30－10) m，在該建筑物的正東方向有一個通信塔CD，在它們之間的點M(B，M，D三點共線)處測得樓頂A，塔頂C的仰角分別是15°和60°，在樓頂A處測得塔頂C的仰角是30°，則通信塔CD的高為__60__m.解析：在Rt△ABM中，AM＝·sin90°＝＝20，過點A作AN⊥CD，垂足為點N，在Rt△ACN中，因為∠CAN＝30°，所以∠ACN＝60°.又在Rt△CMD中，∠CMD＝60°，所以∠MCD＝30°，所以∠ACM＝30°.在△AMC中，∠AMC＝105°，所以＝＝， 所以AC＝60＋20，CN＝30＋10，所以CD＝DN＋CN＝AB＋CN＝30－10＋30＋10＝60(m). 【注】 本例訓(xùn)練將實際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題后，求距離或高度實際就是選定或確定要創(chuàng)建的三角形，選擇正弦定理還是余弦定理解三角形的邊長.考向?  角度問題例2　如圖，兩座建筑物AB，CD的底部都在同一個水平面上，且均與水平面垂直，它的高度分別是9m和15m，從建筑物AB的頂部A看建筑物CD的視角∠CAD＝45°.(1) 求BC的長度；(2) 在線段BC上取一點P(點P與點B，C不重合)，從點P看這兩座建筑物的視角為∠APB＝α，∠DPC＝β，問當(dāng)點P在何處時，α＋β最?。?/span>解析：(1) 過點A作AE⊥CD，垂足為E，則CE＝9，DE＝6，設(shè)BC＝x，則tan∠CAD＝tan(∠CAE＋∠DAE)＝＝＝1，　化簡得x2－15x－54＝0，解得x＝18或x＝－3(舍)．故BC的長度為18m.(2) 設(shè)BP＝t，則CP＝18－t(0<t<18)，tan(α＋β)＝＝＝＝.設(shè)f(t)＝，則f′(t)＝令f′(t)＝＝0.因為0<t<18，所以t＝15－27，當(dāng)t∈(0，15－27)時，f′(t)<0，f(t)是減函數(shù)；當(dāng)t∈(15－27，18)，f′(t)>0，f(t)是增函數(shù)，所以當(dāng)t＝15－27時f(t)取得最小值，即tan(α＋β)取得最小值．因為－t2＋18t－135<0恒成立，所以f(t)<0，所以tan(α＋β)<0，α＋β∈，因為y＝tanx在(，π)上是增函數(shù)，所以當(dāng)t＝15－27時，α＋β取得最小值，即當(dāng)BP為15－27 m時，α＋β取得最小值． 游客從某旅游景區(qū)的景點A處至景點C處有兩條線路. 線路1是從A沿直線步行到C，線路2是先從A沿直線步行到景點B處，然后從B沿直線步行到C. 現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處同時出發(fā)勻速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走線路2，乙走線路1，最后他們同時到達C處．經(jīng)測量，AB＝1 040m，BC＝500m，求sin∠BAC. 解析：依題意設(shè)乙的速度為xm/s，則甲的速度為xm/s，因為AB＝1 040m，BC＝500m，所以＝，解得AC＝1 260m.在△ABC中由余弦定理可知cos∠BAC＝＝＝，所以sin∠BAC＝.【注】 本例訓(xùn)練將實際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題后，選定或確定要創(chuàng)建的三角形，要首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知則直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解．考向?  綜合問題　　例3　某農(nóng)場有一塊農(nóng)田，如圖所示，它的邊界由圓O的一段圓弧MPN(P為此圓弧的中點)和線段MN構(gòu)成．已知圓O的半徑為40米，點P到MN的距離為50米. 現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個溫室大棚，大棚Ⅰ內(nèi)的地塊形狀為矩形ABCD，大棚Ⅱ內(nèi)的地塊形狀為△CDP，要求A，B均在線段MN上，C，D均在圓弧上．設(shè)OC與MN所成的角為θ.(1) 用θ分別表示矩形ABCD和△CDP的面積，并確定sinθ的取值范圍；(2) 若大棚Ⅰ內(nèi)種植甲種蔬菜，大棚Ⅱ內(nèi)種植乙種蔬菜，且甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為4∶3.求當(dāng)θ為何值時，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大. 解析：(1) 連結(jié)PO并延長交MN于點H，則PH⊥MN，所以OH＝10.過點O作OE⊥BC，垂足為E，則OE∥MN，所以∠COE＝θ，故OE＝40cosθ，EC＝40sinθ，則矩形ABCD的面積為2×40cosθ(40sinθ＋10)＝800(4sinθcosθ＋cosθ)．△CDP的面積為×2×40cosθ(40－40sinθ)＝1 600(cosθ－sinθcosθ)．過點N作GN⊥MN，分別交圓弧和OE的延長線于點G和點K，則GK＝KN＝10.令∠GOK＝θ0，則sinθ0＝，θ0∈(0，)．當(dāng)θ∈時，才能作出滿足條件的矩形ABCD，所以sinθ的取值范圍是.故矩形ABCD的面積為800(4sinθcosθ＋cosθ)平方米，△CDP的面積為1 600(cosθ－sinθcosθ)平方米，sinθ的取值范圍是.(2) 因為甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為4∶3.所以設(shè)甲的單位面積的年產(chǎn)值為4k，乙的單位面積的年產(chǎn)值為3k(k>0)，則年總產(chǎn)值為4k×800(4sinθcosθ＋cosθ)＋3k×1 600(cosθ－sinθcosθ)＝8 000k(sinθcosθ＋cosθ)，θ∈.設(shè)f(θ)＝sinθcosθ＋cosθ，θ∈，則f′(θ)＝cos2θ－sin2θ－sinθ＝－(2sin2θ＋sinθ－1)＝－(2sinθ－1)(sinθ＋1)．令f′(θ)＝0，得θ＝，當(dāng)θ∈時，f′(θ)>0，所以f(θ)為增函數(shù)；當(dāng)θ∈時，f′(θ)<0，所以f(θ)為減函數(shù)，所以當(dāng)θ＝時，f(θ)取到最大值．故當(dāng)θ＝時，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大．【注】 本例重點訓(xùn)練三角函數(shù)及導(dǎo)數(shù)在應(yīng)用題中綜合應(yīng)用.　自測反饋　1. 已知A，B兩地間的距離為10km，B，C兩地間的距離為20km，現(xiàn)測得∠ACB＝30°，則A，C兩地間的距離為__10__km.解析：由題意知AB＝10km，BC＝20km，∠ABC＝30°，由正弦定理可得＝，則sin∠CAB＝1.又因為∠CAB∈(0，180°)，所以∠CAB＝90°，故∠ABC＝60°，則AC＝10km. 2. 某路邊一樹干被臺風(fēng)吹斷后折成與地面成30°角，樹干也傾斜成與地面成60°角，樹干底部與樹尖著地處相距10 m，樹干折斷方向與路垂直. 有一輛寬為2 m，高為3m的緊急救援車(縱截面近似矩形)__能__從樹下通過．(填“能”或“不能”)解析：如圖所示，四邊形EFGH為矩形，點E，H在邊AB上，點F在邊AC上，點G在邊BC上，CD⊥AB，垂足為D.由題意知當(dāng)EF＝3時，若FG≥2，則救援車能從樹下通過．因為EF＝3，所以AE＝＝.又因為GH＝EF＝3，所以BH＝＝3，所以FG＝EH＝10－－3＝10－4>2，所以救援車能從樹下通過．3. 海輪“和諧號”從A處以每小時21海里的速度出發(fā)，海輪“奮斗號”在A處北偏東45°的方向，且與A相距10海里的C處，沿北偏東105°的方向以每小時9海里的速度行駛，則海輪“和諧號”與海輪“奮斗號”相遇所需的最短時間為____小時．解析：設(shè)海輪“和諧號”與海輪“奮斗號”在B處相遇所需的最短時間為x小時，由已知得在△ABC中，AC＝10，AB＝21x，BC＝9x，∠ACB＝120°，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB，即(21x)2＝102＋(9x)2－2·10·9x·，整理得36x2－9x－10＝0，解得x＝或x＝－(舍)，所以海輪“和諧號”與海輪“奮斗號”相遇所需的最短時間為小時． 1. 理解題意中各類角的概念．2. 分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步．3. 將實際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題后，注意正、余弦定理的“聯(lián)袂”使用．4. 你還有哪些體悟，寫下來：