題型一　直線與橢圓的位置關系
1．若直線y＝kx＋1與橢圓＋＝1總有公共點，則m的取值范圍是(　　)
A．m>1 B．m>0
C．00)，e＝，其中F是橢圓的右焦點，焦距為2，直線l與橢圓C交于點A，B，線段AB的中點橫坐標為，且＝λ(其中λ>1)．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)求實數(shù)λ的值．
解　(1)由橢圓的焦距為2，知c＝1，又e＝，∴a＝2，
故b2＝a2－c2＝3，
∴橢圓C的標準方程為＋＝1.
(2)由＝λ，可知A，B，F(xiàn)三點共線，
設點A(x1，y1)，點B(x2，y2)．
若直線AB⊥x軸，則x1＝x2＝1，不符合題意；
當AB所在直線l的斜率k存在時，
設l的方程為y＝k(x－1)．
由消去y得
(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0.①
①的判別式Δ＝64k4－4(4k2＋3)(4k2－12)
＝144(k2＋1)>0.
∵
∴x1＋x2＝＝2×＝，∴k2＝.
將k2＝代入方程①，得4x2－2x－11＝0，
解得x＝.
又＝(1－x1，－y1)，＝(x2－1，y2)，＝λ，
即1－x1＝λ(x2－1)，λ＝，又λ>1，∴λ＝.
思維升華 一般地，在橢圓與向量等知識的綜合問題中，平面向量只起“背景”或“結論”的作用，幾乎都不會在向量的知識上設置障礙，所考查的核心內(nèi)容仍然是解析幾何的基本方法和基本思想．
跟蹤訓練2 已知橢圓C的兩個焦點分別為F1(－1,0)，F(xiàn)2(1，0)，短軸的兩個端點分別為B1，B2.
(1)若△F1B1B2為等邊三角形，求橢圓C的方程；
(2)若橢圓C的短軸長為2，過點F2的直線l與橢圓C相交于P，Q兩點，且⊥，求直線l的方程．
解　(1)△F1B1B2為等邊三角形，
則??
橢圓C的方程為＋3y2＝1.
(2)易知橢圓C的方程為＋y2＝1，
當直線l的斜率不存在時，其方程為x＝1，不符合題意；
當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y＝k(x－1)，
由得(2k2＋1)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，
由已知得Δ>0，
設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
則x1＋x2＝，x1x2＝，
＝(x1＋1，y1)，＝(x2＋1，y2)，
因為⊥，
所以·＝0，
即(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋k2(x1－1)(x2－1)＝(k2＋1)x1x2－(k2－1)(x1＋x2)＋k2＋1＝＝0，
解得k2＝，即k＝±，
故直線l的方程為x＋y－1＝0或x－y－1＝0.


1．若直線mx＋ny＝4與⊙O：x2＋y2＝4沒有交點，則過點P(m，n)的直線與橢圓＋＝1的交點個數(shù)是(　　)
A．至多為1 B．2 C．1 D．0
答案　B
解析　由題意知，>2，即b>0)的一條弦所在的直線方程是x－y＋5＝0，弦的中點坐標是M(－4,1)，則橢圓的離心率是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　設直線與橢圓交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，分別代入橢圓方程，由點差法可知yM＝－xM，代入k＝1，M(－4，1)，解得＝，e＝ ＝，
故選C.
3．已知橢圓＋＝1以及橢圓內(nèi)一點P(4,2)，則以P為中點的弦所在直線的斜率為(　　)
A. B．－ C．2 D．－2
答案　B
解析　設弦的端點A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，
兩式相減，得
＋＝0，
所以＝－，
所以k＝＝－.故選B.
4．已知F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)是橢圓C的兩個焦點，過F2且垂直于x軸的直線與橢圓C交于A，B兩點，且|AB|＝3，則C的方程為(　　)
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　C
解析　設橢圓C的方程為＋＝1(a>b>0)，則c＝1.因為過F2且垂直于x軸的直線與橢圓交于A，B兩點，且|AB|＝3，所以＝，b2＝a2－c2，所以a2＝4，b2＝a2－c2＝4－1＝3，橢圓的方程為＋＝1.
5．(2018·錦州質檢)經(jīng)過橢圓＋y2＝1的一個焦點作傾斜角為45°的直線l，交橢圓于A，B兩點．設O為坐標原點，則·等于(　　)
A．－3 B．－ C．－或－3 D．±
答案　B
解析　依題意，當直線l經(jīng)過橢圓的右焦點(1,0)時，其方程為y－0＝tan 45°(x－1)，即y＝x－1.代入橢圓方程＋y2＝1并整理得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝.所以兩個交點坐標為A(0，－1)，B，所以·＝(0，－1)·＝－.同理，直線l經(jīng)過橢圓的左焦點時，也可得·＝－.
6．設F1，F(xiàn)2分別是橢圓＋y2＝1的左、右焦點，若橢圓上存在一點P，使(＋)·＝0(O為坐標原點)，則△F1PF2的面積是(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
答案　D
解析　∵(＋)·＝(＋)·
＝·＝0，
∴PF1⊥PF2，∠F1PF2＝90°.
設|PF1|＝m，|PF2|＝n，
則m＋n＝4，m2＋n2＝12,2mn＝4，mn＝2，
∴＝mn＝1.
7．直線y＝kx＋k＋1與橢圓＋＝1的位置關系是________．
答案　相交
解析　由于直線y＝kx＋k＋1＝k(x＋1)＋1過定點(－1，1)，而(－1,1)在橢圓內(nèi)，故直線與橢圓必相交．
8．橢圓Γ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c.若直線y＝(x＋c)與橢圓Γ的一個交點M滿足∠MF1F2＝2∠MF2F1，則該橢圓的離心率等于____________．
答案　－1
解析　直線y＝(x＋c)過點F1(－c,0)，且傾斜角為60°，所以∠MF1F2＝60°，從而∠MF2F1＝30°，所以MF1⊥MF2.在Rt△MF1F2中，|MF1|＝c，|MF2|＝c，

所以該橢圓的離心率e＝＝＝－1.
9．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左焦點為F，橢圓C與過原點的直線相交于A，B兩點，連接AF，BF，若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，則橢圓C的離心率e＝________.
答案　
解析　設橢圓的右焦點為F1，在△ABF中，由余弦定理可解得|BF|＝8，所以△ABF為直角三角形，且∠AFB＝90°，又因為斜邊AB的中點為O，所以|OF|＝c＝5，連接AF1，因為A，B關于原點對稱，所以|BF|＝|AF1|＝8，所以2a＝14，a＝7，所以離心率e＝.
10．已知直線MN過橢圓＋y2＝1的左焦點F，與橢圓交于M，N兩點．直線PQ過原點O與MN平行，且PQ與橢圓交于P，Q兩點，則＝________.
答案　2
解析　不妨取直線MN⊥x軸，橢圓＋y2＝1的左焦點F(－1,0)，令x＝－1，得y2＝，
所以y＝±，所以|MN|＝，此時|PQ|＝2b＝2，
則＝＝2.
11．(2018·呼和浩特質檢)設F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，E的離心率為，點(0,1)是E上一點．
(1)求橢圓E的方程；
(2)過點F1的直線交橢圓E于A，B兩點，且＝2，求直線BF2的方程．
解　(1)由題意知，b＝1，且e2＝＝＝，
解得a2＝2，所以橢圓E的方程為＋y2＝1.
(2)由題意知，直線AB的斜率存在且不為0，故可設直線AB的方程為x＝my－1，設A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得(m2＋2)y2－2my－1＝0，
則y1＋y2＝，①
y1y2＝－，②
因為F1(－1,0)，
所以＝(－1－x2，－y2)，＝(x1＋1，y1)，
由＝2可得，－y2＝2y1，③
由①②③可得B，
則＝或－，
所以直線BF2的方程為
y＝x－或y＝－x＋.
12．設橢圓＋＝1(a>b>0)的左焦點為F，離心率為，過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為.
(1)求橢圓的方程；
(2)設A，B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且斜率為k的直線與橢圓交于C，D兩點，若·＋·＝8，O為坐標原點，求△OCD的面積．
解　(1)過焦點且垂直于長軸的直線被橢圓截得的線段長為，
所以＝.
因為橢圓的離心率為，所以＝，
又a2＝b2＋c2，可解得b＝，c＝1，a＝.
所以橢圓的方程為＋＝1.
(2)由(1)可知F(－1,0)，
則直線CD的方程為y＝k(x＋1)．
聯(lián)立
消去y得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.
設C(x1，y1)，D(x2，y2)，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝.
又A(－，0)，B(，0)，
所以·＋·
＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1)
＝6－2x1x2－2y1y2
＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)
＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2
＝6＋＝8，
解得k＝±.
從而x1＋x2＝－＝－，x1x2＝＝0.
所以|x1－x2|＝
＝ ＝，
|CD|＝|x1－x2|
＝×＝.
而原點O到直線CD的距離為
d＝＝＝，
所以△OCD的面積為S＝|CD|×d＝××＝.

13．正方形ABCD的四個頂點都在橢圓＋＝1上，若橢圓的焦點在正方形的內(nèi)部，則橢圓的離心率的取值范圍是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　設正方形的邊長為2m，∵橢圓的焦點在正方形的內(nèi)部，∴m>c，又正方形ABCD的四個頂點都在橢圓＋＝1上，∴＋＝1>＋＝e2＋，即e4－3e2＋1>0，e2b>0)上的動點M作圓x2＋y2＝的兩條切線，切點分別為P和Q，直線PQ與x軸和y軸的交點分別為E和F，求△EOF面積的最小值．
解　設M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由題意知PQ斜率存在，且不為0，所以x0y0≠0，
則直線MP和MQ的方程分別為x1x＋y1y＝，x2x＋y2y＝.因為點M在MP和MQ上，所以有x1x0＋y1y0＝，x2x0＋y2y0＝，則P，Q兩點的坐標滿足方程x0x＋y0y＝，所以直線PQ的方程為x0x＋y0y＝，可得E和F，
所以S△EOF＝·|OE||OF|＝，
因為b2y＋a2x＝a2b2，b2y＋a2x≥2ab|x0y0|，
所以|x0y0|≤，所以S△EOF＝≥，
當且僅當b2y＝a2x＝時取“＝”，
故△EOF面積的最小值為.

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