最新考綱
考情考向分析
1.會用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式．
2.會用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式．
3.會用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系．
4.能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡單的恒等變換(包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但對這三組公式不要求記憶).
三角恒等變換是三角變換的工具，主要考查利用兩角和與差的三角函數(shù)公式、二倍角公式進(jìn)行三角函數(shù)的化簡與求值，重在考查化簡、求值，公式的正用、逆用以及變式運(yùn)用，可單獨(dú)考查，也可與三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、向量等知識綜合考查，加強(qiáng)轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用意識．選擇、填空、解答題均有可能出現(xiàn)，中低檔難度.



1．兩角和與差的余弦、正弦、正切公式
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C(α－β))
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C(α＋β))
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S(α－β))
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S(α＋β))
tan(α－β)＝(T(α－β))
tan(α＋β)＝(T(α＋β))
2．倍角公式
sin 2α＝2sin αcos α；
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan 2α＝.


3．半角公式
cos ＝±，
sin ＝±，
tan ＝±，

概念方法微思考
1．誘導(dǎo)公式與兩角和差的三角函數(shù)公式有何關(guān)系？
提示　誘導(dǎo)公式可以看成和差公式中β＝k·(k∈Z)時的特殊情形．
2．怎樣研究形如f(x)＝asin x＋bcos x函數(shù)的性質(zhì)？
提示　先根據(jù)輔助角公式asin x＋bcos x＝·sin(x＋φ)，將f(x)化成f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再結(jié)合圖象研究函數(shù)的性質(zhì)．

題組一　思考辨析
1．判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?
(1)存在實(shí)數(shù)α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　√　)
(2)對任意角α都有1＋sin α＝2.(　√　)
(3)y＝3sin x＋4cos x的最大值是7.(　×　)
(4)公式tan(α＋β)＝可以變形為tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且對任意角α，β都成立．(　×　)
題組二　教材改編
2．若cos α＝－，α是第三象限的角，則sin等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案　C
解析　∵α是第三象限角，∴sin α＝－＝－，
∴sin＝－×＋×＝－.
3．sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝ .
答案　
解析　sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°
＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58°
＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58°
＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77°
＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝.
4．tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50°＝ .
答案　
解析　∵tan 60°＝tan(10°＋50°)＝，
∴tan 10°＋tan 50°＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°)
＝－tan 10°tan 50°，
∴原式＝－tan 10°tan 50°＋tan 10°tan 50°＝.
題組三　易錯自糾
5．化簡：＝ .
答案　
解析　原式＝
＝＝＝.
6．(2018·撫順模擬)已知θ∈，且sin＝，則tan 2θ＝ .
答案　－
解析　方法一　sin＝，得sin θ－cos θ＝，①
θ∈，①平方得2sin θcos θ＝，
可求得sin θ＋cos θ＝，∴sin θ＝，cos θ＝，
∴tan θ＝，tan 2θ＝＝－.
方法二　∵θ∈且sin＝，
∴cos＝，
∴tan＝＝，
∴tan θ＝.
故tan 2θ＝＝－.
7．化簡：＝ .
答案　4sin α
解析?。剑剑?sin α.

第1課時　兩角和與差的正弦、余弦和正切公式
題型一　和差公式的直接應(yīng)用
1．(2018·呼和浩特質(zhì)檢)若sin(π－α)＝，且≤α≤π，則sin 2α的值為(　　)
A．－ B．－ C. D.
答案　A
解析　因?yàn)閟in(π－α)＝sin α＝，≤α≤π，
所以cos α＝－＝－，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－.
2．已知tan＝，tan＝，則tan(α＋β)的值為(　　)
A. B. C. D．1
答案　D
解析　∵tan＝，tan＝，
∴tan(α＋β)＝tan
＝
＝＝1.
3．(2018·遼陽調(diào)研)已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，則tan(α－β)的值為(　　)
A．－ B. C. D．－
答案　A
解析　∵α∈，∴cos α＝－，tan α＝－，
又tan β＝－，
∴tan(α－β)＝
＝＝－.
4．計(jì)算的值為 ．
答案　
解析?。?br /> ＝＝＝.
思維升華 (1)使用兩角和與差的三角函數(shù)公式，首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征．
(2)使用公式求值，應(yīng)先求出相關(guān)角的函數(shù)值，再代入公式求值．








題型二　和差公式的靈活應(yīng)用

命題點(diǎn)1　角的變換
例1 (1)設(shè)α，β都是銳角，且cos α＝，sin(α＋β)＝，則cos β＝ .
答案　
解析　依題意得sin α＝＝，
因?yàn)閟in(α＋β)＝α，
所以α＋β∈，所以cos(α＋β)＝－.
于是cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝－×＋×＝.
(2)設(shè)α為銳角，若cos＝，則sin的值為(　　)
A. B. C．－ D．－
答案　B
解析　因?yàn)棣翞殇J角，且cos＝，
所以sin＝＝，
所以sin＝sin 2
＝2sincos＝2××＝，故選B.
命題點(diǎn)2　三角函數(shù)式的變換
例2 (1)化簡： (0b
答案　D
解析　a＝sin 40°cos 127°＋cos 40°sin 127°
＝sin(40°＋127°)＝sin 167°＝sin 13°，
b＝(sin 56°－cos 56°)＝sin 56°－cos 56°
＝sin(56°－45°)＝sin 11°，
c＝＝cos239°－sin239°＝cos 78°＝sin 12°，
∵sin 13°>sin 12°>sin 11°，∴a>c>b.
8.的值是 ．
答案　
解析　原式＝
＝
＝＝.

9.＝ .
答案　
解析?。?br /> ＝＝.
10．已知sin α＋cos α＝，則sin2＝ .
答案　
解析　由sin α＋cos α＝，兩邊平方得1＋sin 2α＝，
解得sin 2α＝－，
所以sin2＝
＝＝＝.
11．化簡：·＝ .
答案　
解析　原式＝tan(90°－2α)·
＝··
＝··＝.
12．(2018·營口模擬)已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，則sin＝ .
答案　
解析　依題意可將已知條件變形為
sin[(α－β)－α]＝－sin β＝，sin β＝－.
又β是第三象限角，所以cos β＝－.
所以sin＝－sin
＝－sin βcos －cos βsin
＝×＋×＝.

13．若α∈，且3cos 2α＝sin，則sin 2α的值為(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案　C
解析　由3cos 2α＝sin可得
3(cos2α－sin2α)＝(cos α－sin α)，
又由α∈可知，cos α－sin α≠0，
于是3(cos α＋sin α)＝，
所以1＋2sin αcos α＝，故sin 2α＝－.故選C.
14．已知coscos＝，則sin4θ＋cos4θ的值為 ．
答案　
解析　因?yàn)閏oscos
＝
＝(cos2θ－sin2θ)＝cos 2θ＝.
所以cos 2θ＝.
故sin4θ＋cos4θ＝2＋2
＝＋＝.



15．化簡：·＝ .
答案?。?
解析　原式＝·＝·
＝－4·tan(45°＋15°)＝－4.
16．已知α，β∈，且sin ＋cos ＝，sin(α－β)＝－，則sin β＝ .
答案　
解析　由sin ＋cos＝，平方可得sin α＝.
∵α∈，
∴cos α＝－.
又∵－

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