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考情考向分析
能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實(shí)際問題.
以利用正弦定理、余弦定理測量距離、高度、角度等實(shí)際問題為主，常與三角恒等變換、三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合考查，加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用性．題型主要為選擇題和填空題，中檔難度.



實(shí)際測量中的常見問題
求AB
圖形
需要測量的元素
解法
求豎直高度
底部可達(dá)

∠ACB＝α，
BC＝a
解直角三角形AB＝atan α
底部
不可達(dá)

∠ACB＝α，
∠ADB＝β，
CD＝a
解兩個直角三角形AB＝
求水平距離
山兩側(cè)

∠ACB＝α，
AC＝b，
BC＝a
用余弦定理AB＝
河兩岸

∠ACB＝α，
∠ABC＝β，
CB＝a
用正弦定理AB＝
河對岸

∠ADC＝α，
∠BDC＝β，
∠BCD＝δ，
∠ACD＝γ，
CD＝a
在△ADC中，AC＝；在△BDC中，BC＝；
在△ABC中，應(yīng)用余弦定理求AB

概念方法微思考
在實(shí)際測量問題中有哪幾種常見類型，解決這些問題的基本思想是什么？
提示　實(shí)際測量中有高度、距離、角度等問題，基本思想是根據(jù)已知條件，構(gòu)造三角形(建模)，利用正弦定理、余弦定理解決問題．

題組一　思考辨析
1．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β的關(guān)系為α＋β＝180°.(　×　)
(2)俯角是鉛垂線與視線所成的角，其范圍為.(　×　)
(3)方位角與方向角其實(shí)質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)之間的位置關(guān)系．(　√　)
(4)方位角大小的范圍是[0,2π)，方向角大小的范圍一般是.(　√　)
題組二　教材改編
2.如圖所示，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定一點(diǎn)C，測出A，C的距離為50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以計算出A，B兩點(diǎn)的距離為________m.

答案　50
解析　由正弦定理得＝，
又B＝30°，
∴AB＝＝＝50(m)．
3.如圖，在山腳A測得山頂P的仰角為30°，沿傾斜角為15°的斜坡向上走a米到B，在B處測得山頂P的仰角為60°，則山高h(yuǎn)＝______米．

答案　a
解析　由題圖可得∠PAQ＝α＝30°，
∠BAQ＝β＝15°，在△PAB中，∠PAB＝α－β＝15°，
又∠PBC＝γ＝60°，
∴∠BPA＝－＝γ－α＝30°，
∴在△PAB中，＝，∴PB＝a，
∴PQ＝PC＋CQ＝PB·sin γ＋asin β
＝a×sin 60°＋asin 15°＝a.
題組三　易錯自糾
4．要測量底部不能到達(dá)的電視塔AB的高度，在C點(diǎn)測得塔頂A的仰角是45°，在D點(diǎn)測得塔頂A的仰角30°，并測得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，則電視塔的高度為(　　)

A．10 m B．20 m
C．20 m D．40 m
答案　D
解析　設(shè)電視塔的高度為x m，則BC＝x，BD＝x.在△BCD中，由余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos 120°，即x2－20x－800＝0，解得x＝－20(舍去)或x＝40.故電視塔的高度為40 m.
5．在某次測量中，在A處測得同一半平面方向的B點(diǎn)的仰角是60°，C點(diǎn)的俯角是70°，則∠BAC＝________.
答案　130°
解析　60°＋70°＝130°.
6．海上有A，B，C三個小島，A，B相距5 海里，從A島望C和B成45°視角，從B島望C和A成75°視角，則B，C兩島間的距離是________海里．
答案　5
解析　由題意可知∠ACB＝60°，由正弦定理得＝，即＝，得BC＝5.



題型一　測量距離問題
1．(2018·營口檢測)江岸邊有一炮臺高30 m，江中有兩條船，船與炮臺底部在同一水平面上，由炮臺頂部測得俯角分別為45°和60°，而且兩條船與炮臺底部連線成30°角，則兩條船相距____m.
答案　10
解析　如圖，

OM＝AOtan 45°＝30(m)，
ON＝AOtan 30°＝×30
＝10(m)，
在△MON中，由余弦定理得
MN＝
＝＝10 (m)．
2.如圖，A，B兩點(diǎn)在河的同側(cè)，且A，B兩點(diǎn)均不可到達(dá)，要測出A，B的距離，測量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C，D，若測得CD＝ km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，
∠ACB＝45°，則A，B兩點(diǎn)間的距離為________ km.

答案　
解析　∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，
∴∠DAC＝60°，
∴AC＝DC＝ km.
在△BCD中，∠DBC＝45°，
由正弦定理，得BC＝·sin∠BDC＝·sin 30°＝(km)．
在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 45°＝＋－2×××＝.
∴AB＝ km.∴A，B兩點(diǎn)間的距離為 km.
3．如圖，為了測量兩座山峰上P，Q兩點(diǎn)之間的距離，選擇山坡上一段長度為300 m且和P，Q兩點(diǎn)在同一平面內(nèi)的路段AB的兩個端點(diǎn)作為觀測點(diǎn)，現(xiàn)測得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，則P，Q兩點(diǎn)間的距離為________ m.

答案　900
解析　由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°.
又∠PBA＝∠PBQ＝60°，
∴∠AQB＝30°，∴AB＝BQ.
又PB為公共邊，∴△PAB≌△PQB，
∴PQ＝PA.
在Rt△PAB中，AP＝AB·tan 60°＝900，故PQ＝900，
∴P，Q兩點(diǎn)間的距離為900 m.
思維升華 求距離問題的兩個策略
(1)選定或確定要創(chuàng)建的三角形，首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知則直接求解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解．
(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計算的定理．
題型二　測量高度問題
例1 (2018·赤峰測試)如圖，小明同學(xué)在山頂A處觀測到一輛汽車在一條水平的公路上沿直線勻速行駛，小明在A處測得公路上B，C兩點(diǎn)的俯角分別為30°，45°，且∠BAC＝135°，若山高AD＝100 m，汽車從B點(diǎn)到C點(diǎn)歷時14 s，則這輛汽車的速度約為________ m/s.(精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈2.236)

答案　22.6
解析　因?yàn)樾∶髟贏處測得公路上B，C兩點(diǎn)的俯角分別為30°，45°，所以∠BAD＝60°，∠CAD＝45°，設(shè)這輛汽車的速度為v m/s，則BC＝14v，在Rt△ADB中，AB＝＝＝200.在Rt△ADC中，AC＝＝＝100.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC，所以(14v)2＝(100)2＋2002－2×100×200×cos 135°，所以v＝≈22.6，所以這輛汽車的速度約為22.6 m/s.
思維升華 (1)高度也是兩點(diǎn)之間的距離，其解法同測量水平面上兩點(diǎn)間距離的方法是類似的，基本思想是把要求的高度(某線段的長度)納入到一個可解的三角形中．
(2)在實(shí)際問題中，可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯．
跟蹤訓(xùn)練1 如圖所示，在山頂鐵塔上B處測得地面上一點(diǎn)A的俯角為α，在塔底C處測得A處的俯角為β.已知鐵塔BC部分的高為h，則山高CD＝____________.

答案　
解析　由已知得∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠CAD＝β.
在△ABC中，由正弦定理得＝，
即＝，
∴AC＝＝.
在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝ACsin β＝.
故山高CD為.
題型三　角度問題
例2 如圖所示，一艘巡邏船由南向北行駛，在A處測得山頂P在北偏東15°(∠BAC＝15°)的方向，勻速向北航行20分鐘后到達(dá)B處，測得山頂P位于北偏東60°的方向，此時測得山頂P的仰角為60°，已知山高為2 千米．

(1)船的航行速度是每小時多少千米？
(2)若該船繼續(xù)航行10分鐘到達(dá)D處，問此時山頂位于D處南偏東多少度的方向？
解　(1)在△BCP中，由tan∠PBC＝，
得BC＝＝2，
在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝，
所以AB＝2(＋1)，
故船的航行速度是每小時6(＋1)千米．
(2)在△BCD中，BD＝＋1，BC＝2，∠CBD＝60°，
則由余弦定理得CD＝，
在△BCD中，由正弦定理得＝，
即＝，
所以sin∠CDB＝，
所以，山頂位于D處南偏東45°的方向．
思維升華 解決測量角度問題的注意事項
(1)首先應(yīng)明確方位角和方向角的含義．
(2)分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步．
(3)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題后，注意正弦、余弦定理的“聯(lián)袂”使用．
跟蹤訓(xùn)練2 (2018·襄陽模擬)如圖，兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40°，燈塔B在觀察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的(　　)

A．北偏東10° B．北偏西10°
C．南偏東80° D．南偏西80°
答案　D
解析　由條件及圖可知，∠A＝∠CBA＝40°，
又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，
所以∠DBA＝10°，因此燈塔A在燈塔B的南偏西80°.


1．(2018·沈陽調(diào)研)已知A，B兩地間的距離為10 km，B，C兩地間的距離為20 km，現(xiàn)測得∠ABC＝120°，則A，C兩地間的距離為(　　)
A．10 km B．10 km
C．10 km D．10 km
答案　D
解析　如圖所示，由余弦定理可得AC2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700，∴AC＝10.

2.如圖所示，在坡度一定的山坡A處測得山頂上一建筑物CD的頂端C對于山坡的斜度為15°，向山頂前進(jìn)100 m到達(dá)B處，又測得C對于山坡的斜度為45°，若CD＝50 m，山坡對于地平面的坡度為θ，則cos θ等于(　　)

A. B. C.－1 D.－1
答案　C
解析　在△ABC中，由正弦定理得＝，
∴AC＝100.
在△ADC中，＝，
∴cos θ＝sin(θ＋90°)＝＝－1.
3．一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是(　　)
A．10 海里 B．10 海里
C．20 海里 D．20 海里
答案　A
解析　如圖所示，易知，

在△ABC中，AB＝20，
∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，
根據(jù)正弦定理得
＝，
解得BC＝10.
4.如圖，兩座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分別為20 m，50 m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為(　　)

A．30° B．45° C．60° D．75°
答案　B
解析　依題意可得AD＝20，AC＝30，
又CD＝50，所以在△ACD中，
由余弦定理得cos∠CAD＝
＝＝＝，
又0°

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