2020版高考數(shù)學(xué)（理）新創(chuàng)新一輪復(fù)習(xí)通用版講義：第十章第一節(jié)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理

?第一節(jié)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理


兩個(gè)計(jì)數(shù)原理

完成一件事的策略
完成這件事共有的方法
分類加法
計(jì)數(shù)原理　
有兩類不同方案?，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法
N＝m＋n種不同的方法
分步乘法
計(jì)數(shù)原理　
需要兩個(gè)步驟?，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法
N＝m×n種不同的方法

(1)每類方法都能獨(dú)立完成這件事，它是獨(dú)立的、一次的，且每次得到的是最后結(jié)果，只需一種方法就可完成這件事.
(2)各類方法之間是互斥的、并列的、獨(dú)立的.
(1)每一步得到的只是中間結(jié)果，任何一步都不能獨(dú)立完成這件事，只有各個(gè)步驟都完成了才能完成這件事.
(2)各步之間是相互依存的，并且既不能重復(fù)也不能遺漏.
[熟記常用結(jié)論]
1.完成一件事可以有n類不同方案，各類方案相互獨(dú)立，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法……在第n類方案中有mn種不同的方法.那么，完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法.
2.完成一件事需要經(jīng)過n個(gè)步驟，缺一不可，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法.那么，完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法.
[小題查驗(yàn)基礎(chǔ)]
一、判斷題(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”)
(1)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同.(　　)
(2)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事.(　　)
(3)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，每個(gè)步驟中完成這個(gè)步驟的方法是各不相同的.(　　)
(4)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個(gè)單獨(dú)的步驟都能完成這件事.(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
二、選填題
1.已知某公園有4個(gè)門，從一個(gè)門進(jìn)，另一個(gè)門出，則不同的走法共有(　　)
A.16種　　　　　　　　 B.13種
C.12種 D.10種
答案：C
2.小王有70元錢，現(xiàn)有面值分別為20元和30元的兩種IC電話卡.若他至少買一張，則不同的買法共有(　　)
A.7種 B.8種
C.6種 D.9種
解析：選A　要完成的“一件事”是“至少買一張IC電話卡”，分3類完成：買1張IC電話卡、買2張IC電話卡、買3張IC電話卡，而每一類都能獨(dú)立完成“至少買一張IC電話卡”這件事.買1張IC電話卡有2種方法，買2張IC電話卡有3種方法，買3張IC電話卡有2種方法.不同的買法共有2＋3＋2＝7(種).
3.將3張不同的奧運(yùn)會(huì)門票分給10名同學(xué)中的3人，每人1張，則不同分法的種數(shù)是(　　)
A.2 160 B.720
C.240 D.120
解析：選B　分步來完成此事.第1張有10種分法；第2張有9種分法；第3張有8種分法，共有10×9×8＝720(種)分法.
4.從0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字中，任取兩個(gè)不同數(shù)字相加，其和為偶數(shù)的不同取法的種數(shù)是________.
解析：從0,1,2,3,4,5六個(gè)數(shù)字中，任取兩數(shù)和為偶數(shù)可分為兩類，①取出的兩數(shù)都是偶數(shù)，共有3種方法；②取出的兩數(shù)都是奇數(shù)，共有3種方法，故由分類加法計(jì)數(shù)原理得共有N＝3＋3＝6(種).
答案：6
5.書架的第1層放有4本不同的語文書，第2層放有5本不同的數(shù)學(xué)書，第3層放有6本不同的體育書.從第1,2,3層分別各取1本書，則不同的取法種數(shù)為________.
解析：由分步乘法計(jì)數(shù)原理，從1,2,3層分別各取1本書不同的取法共有4×5×6＝120(種).
答案：120

考點(diǎn)一 分類加法計(jì)數(shù)原理 [基礎(chǔ)自學(xué)過關(guān)]
[題組練透]
1.在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)為________.
解析：按十位數(shù)字分類，十位可為1,2,3,4,5,6,7,8，共分成8類，在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別有8個(gè)，7個(gè)，6個(gè)，5個(gè)，4個(gè)，3個(gè)，2個(gè)，1個(gè)，則共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36個(gè)兩位數(shù).
答案：36
2.如圖，從A到O有________種不同的走法(不重復(fù)過一點(diǎn)).
解析：分3類：第一類，直接由A到O，有1種走法；
第二類，中間過一個(gè)點(diǎn)，有A→B→O和A→C→O 2種不同的走法；
第三類，中間過兩個(gè)點(diǎn)，有A→B→C→O和A→C→B→O 2種不同的走法.
由分類加法計(jì)數(shù)原理可得共有1＋2＋2＝5種不同的走法.
答案：5
3.若橢圓＋＝1的焦點(diǎn)在y軸上，且m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，則這樣的橢圓的個(gè)數(shù)為________.
解析：當(dāng)m＝1時(shí)，n＝2,3,4,5,6,7，共6個(gè)；
當(dāng)m＝2時(shí)，n＝3,4,5,6,7，共5個(gè)；
當(dāng)m＝3時(shí)，n＝4,5,6,7，共4個(gè)；
當(dāng)m＝4時(shí)，n＝5,6,7，共3個(gè)；
當(dāng)m＝5時(shí)，n＝6,7，共2個(gè).
故共有6＋5＋4＋3＋2＝20個(gè)滿足條件的橢圓.
答案：20
4.如果一個(gè)三位正整數(shù)如“a1a2a3”滿足a1＜a2且a2＞a3，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120,343,275等)，那么所有凸數(shù)的個(gè)數(shù)為________.
解析：若a2＝2，則百位數(shù)字只能選1，個(gè)位數(shù)字可選1或0，“凸數(shù)”為120與121，共2個(gè).若a2＝3，則百位數(shù)字有兩種選擇，個(gè)位數(shù)字有三種選擇，則“凸數(shù)”有2×3＝6(個(gè)).若a2＝4，滿足條件的“凸數(shù)”有3×4＝12(個(gè))，…，若a2＝9，滿足條件的“凸數(shù)”有8×9＝72(個(gè)).所以所有凸數(shù)有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(個(gè)).
答案：240
[名師微點(diǎn)]
應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理解決實(shí)際問題的步驟
(1)審題：認(rèn)真閱讀題設(shè)條件，理清題目要求.
(2)分類：依據(jù)題設(shè)條件選擇分類標(biāo)準(zhǔn)，做到不重不漏.
(3)整合：整合各類情況得出結(jié)論.
考點(diǎn)二 分步乘法計(jì)數(shù)原理[師生共研過關(guān)]
[典例精析]
(1)已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)(a，b∈M)表示平面上的點(diǎn)，則P可表示坐標(biāo)平面上第二象限的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(　　)
A.6　　　　　　　　　 B.12
C.24 D.36
(2)有6名同學(xué)報(bào)名參加三個(gè)智力項(xiàng)目，每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多參加一項(xiàng)，則共有________種不同的報(bào)名方法.
[解析]　(1)確定第二象限的點(diǎn)，可分兩步完成：
第一步確定a，由于a＜0，所以有3種方法；
第二步確定b，由于b＞0，所以有2種方法.
由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得到第二象限的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是3×2＝6.
(2)每項(xiàng)限報(bào)一個(gè)，且每人至多參加一項(xiàng)，因此可由項(xiàng)目選人，第一個(gè)項(xiàng)目有6種選法，第二個(gè)項(xiàng)目有5種選法，第三個(gè)項(xiàng)目有4種選法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的報(bào)名方法共有6×5×4＝120(種).
[答案]　(1)A　(2)120
[解題技法]
利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問題的策略
(1)利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問題時(shí)要注意按事件發(fā)生的過程來合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個(gè)步驟是相互依存的，只有各個(gè)步驟都完成了，才算完成這件事.
(2)分步必須滿足的兩個(gè)條件：一是各步驟相互獨(dú)立，互不干擾；二是步與步之間確保連續(xù)，逐步完成.
[過關(guān)訓(xùn)練]
1.如圖，某電子器件由3個(gè)電阻串聯(lián)而成，形成回路，其中有6個(gè)焊接點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，如果焊接點(diǎn)脫落，整個(gè)電路就會(huì)不通.現(xiàn)發(fā)現(xiàn)電路不通，那么焊接點(diǎn)脫落的可能情況共有________種.
解析：因?yàn)槊總€(gè)焊接點(diǎn)都有脫落與未脫落兩種情況，而只要有一個(gè)焊接點(diǎn)脫落，則電路就不通，故共有26－1＝63種可能情況.
答案：63
2.從－1,0,1,2這四個(gè)數(shù)中選三個(gè)不同的數(shù)作為函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的系數(shù)，則可組成________個(gè)不同的二次函數(shù)，其中偶函數(shù)有________個(gè)(用數(shù)字作答).
解析：一個(gè)二次函數(shù)對(duì)應(yīng)著a，b，c(a≠0)的一組取值，a的取法有3種，b的取法有3種，c的取法有2種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有3×3×2＝18(個(gè))二次函數(shù).若二次函數(shù)為偶函數(shù)，則b＝0，同上可知共有3×2＝6(個(gè))偶函數(shù).
答案：18　6
考點(diǎn)三 兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用[師生共研過關(guān)]
[典例精析]
(1)如圖所示的五個(gè)區(qū)域中，現(xiàn)有四種顏色可供選擇，要求每一個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為(　　)
A.24　　　　　　　　 B.48
C.72 D.96
(2)如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”.在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是(　　)
A.48 B.18
C.24 D.36
(3)如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“平行線面組”.在一個(gè)長(zhǎng)方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“平行線面組”的個(gè)數(shù)是(　　)
A.60 B.48
C.36 D.24
[解析]　(1)分兩種情況：
①A，C不同色，先涂A有4種，C有3種，E有2種，B，D各有1種，有4×3×2＝24種涂法.
②A，C同色，先涂A有4種，E有3種，C有1種，B，D各有2種，有4×3×2×2＝48種涂法.
故共有24＋48＝72種涂色方法.
(2)第1類，對(duì)于每一條棱，都可以與兩個(gè)側(cè)面構(gòu)成“正交線面對(duì)”，這樣的“正交線面對(duì)”有2×12＝24(個(gè))；第2類，對(duì)于每一條面對(duì)角線，都可以與一個(gè)對(duì)角面構(gòu)成“正交線面對(duì)”，這樣的“正交線面對(duì)”有12個(gè).所以正方體中“正交線面對(duì)”共有24＋12＝36(個(gè)).
(3)長(zhǎng)方體的6個(gè)表面構(gòu)成的“平行線面組”的個(gè)數(shù)為6×6＝36，另含4個(gè)頂點(diǎn)的6個(gè)面(非表面)構(gòu)成的“平行線面組”的個(gè)數(shù)為6×2＝12，故符合條件的“平行線面組”的個(gè)數(shù)是36＋12＝48.
[答案]　(1)C　(2)D　(3)B
[解題技法]
1.利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決應(yīng)用問題的一般思路
(1)弄清完成一件事是做什么.
(2)確定是先分類后分步，還是先分步后分類.
(3)弄清分步、分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么.
(4)利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理求解.
2.涂色、種植問題的解題關(guān)注點(diǎn)和關(guān)鍵
(1)關(guān)注點(diǎn)：首先分清元素的數(shù)目，其次分清在不相鄰的區(qū)域內(nèi)是否可以使用同類元素.
(2)關(guān)鍵：是對(duì)每個(gè)區(qū)域逐一進(jìn)行，選擇下手點(diǎn)，分步處理.
[過關(guān)訓(xùn)練]
1.如圖所示，用4種不同的顏色涂入圖中的矩形A，B，C，D中，要求相鄰的矩形涂色不同，則不同的涂法有________種.
解析：按要求涂色至少需要3種顏色，故分兩類：一是4種顏色都用，這時(shí)A有4種涂法，B有3種涂法，C有2種涂法，D有1種涂法，共有4×3×2×1＝24(種)涂法；二是用3種顏色，這時(shí)A，B，C的涂法有4×3×2＝24(種)，D只要不與C同色即可，故D有2種涂法，所以不同的涂法共有24＋24×2＝72(種).
答案：72
2.如圖所示，在連接正八邊形的三個(gè)頂點(diǎn)而成的三角形中，與正八邊形有公共邊的三角形有________個(gè)(用數(shù)字作答).
解析：把與正八邊形有公共邊的三角形分為兩類：第一類，有一條公共邊的三角形共有8×4＝32(個(gè)).第二類，有兩條公共邊的三角形共有8個(gè).由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有32＋8＝40(個(gè)).
答案：40

一、題點(diǎn)全面練
1.集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P?Q.把滿足上述條件的一對(duì)有序整數(shù)對(duì)(x，y)作為一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，則這樣的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是(　　)
A.9　　　　　　　　　 B.14
C.15 D.21
解析：選B　當(dāng)x＝2時(shí)，x≠y，點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1×7＝7.當(dāng)x≠2時(shí)，∵P?Q，∴x＝y(tǒng).∴x可從3,4,5,6,7,8,9中取，有7種方法.因此滿足條件的點(diǎn)共有7＋7＝14(個(gè)).
2.某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的6個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了3個(gè)新節(jié)目，如果將這3個(gè)新節(jié)目插入節(jié)目單中，那么不同的插法種數(shù)為(　　)
A.504 B.210
C.336 D.120
解析：選A　分三步，先插第一個(gè)新節(jié)目，有7種方法，再插第二個(gè)新節(jié)目，有8種方法，最后插第三個(gè)節(jié)目，有9種方法.故共有7×8×9＝504種不同的插法.
3.已知兩條異面直線a，b上分別有5個(gè)點(diǎn)和8個(gè)點(diǎn)，則這13個(gè)點(diǎn)可以確定不同的平面?zhèn)€數(shù)為(　　)
A.40 B.16
C.13 D.10
解析：選C　分兩類情況討論：
第1類，直線a分別與直線b上的8個(gè)點(diǎn)可以確定8個(gè)不同的平面；
第2類，直線b分別與直線a上的5個(gè)點(diǎn)可以確定5個(gè)不同的平面.
根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知，共可以確定8＋5＝13個(gè)不同的平面.
4.從集合{1,2,3,4，…，10}中，選出5個(gè)數(shù)組成子集，使得這5個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)數(shù)的和都不等于11，則這樣的子集有(　　)
A.32個(gè) B.34個(gè)
C.36個(gè) D.38個(gè)
解析：選A　將和等于11的放在一組：1和10,2和9,3和8,4和7,5和6.從每一小組中取一個(gè)，有C＝2(種).共有2×2×2×2×2＝32(個(gè))子集.
5.從集合{1,2,3，…，10}中任意選出三個(gè)不同的數(shù)，使這三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，這樣的等比數(shù)列的個(gè)數(shù)為(　　)
A.3 B.4
C.6 D.8
解析：選D　當(dāng)公比為2時(shí)，等比數(shù)列可為1,2,4或2,4,8；當(dāng)公比為3時(shí)，等比數(shù)列可為1,3,9；當(dāng)公比為時(shí)，等比數(shù)列可為4,6,9.同理，公比為，，時(shí)，也有4個(gè).故共有8個(gè)等比數(shù)列.



3
4




6.將1,2,3，…，9這9個(gè)數(shù)字填在如圖所示的空格中，要求每一行從左到右、每一列從上到下分別依次增大，當(dāng)3,4固定在圖中的位置時(shí)，填寫空格的方法為(　　)
A.6種 B.12種
C.18種 D.24種
1
2
D
3
4
A
C
B
9
解析：選A　根據(jù)數(shù)字的大小關(guān)系可知，1,2,9的位置是固定的，如圖所示，則剩余5,6,7,8這4個(gè)數(shù)字，而8只能放在A或B處，若8放在B處，則可以從5,6,7這3個(gè)數(shù)字中選一個(gè)放在C處，剩余兩個(gè)位置固定，此時(shí)共有3種方法，同理，若8放在A處，也有3種方法，所以共有6種方法.
7.(2019·郴州模擬)用六種不同的顏色給如圖所示的六個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，則不同的涂色方法共有(　　)
A.4 320種 B.2 880種
C.1 440種 D.720種
解析：選A　分步進(jìn)行：1區(qū)域有6種不同的涂色方法，2區(qū)域有5種不同的涂色方法，3區(qū)域有4種不同的涂色方法，4區(qū)域有3種不同的涂色方法，6區(qū)域有4種不同的涂色方法，5區(qū)域有3種不同的涂色方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有6×5×4×3×3×4＝4 320(種)不同的涂色方法.
8.(2019·惠州調(diào)研)我們把各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)稱為“六合數(shù)”(如2 013是“六合數(shù)”)，則“六合數(shù)”中首位為2的“六合數(shù)”共有(　　)
A.18個(gè) B.15個(gè)
C.12個(gè) D.9個(gè)
解析：選B　由題意知，這個(gè)四位數(shù)的百位數(shù)，十位數(shù)，個(gè)位數(shù)之和為4.由4,0,0組成3個(gè)數(shù)，分別為400,040,004；由3,1,0組成6個(gè)數(shù)，分別為310,301,130,103,013,031；由2,2,0組成3個(gè)數(shù)，分別為220,202,022；由2,1,1組成3個(gè)數(shù)，分別為211,121,112，共有3＋6＋3＋3＝15(個(gè)).
9.在某一運(yùn)動(dòng)會(huì)百米決賽上，8名男運(yùn)動(dòng)員參加100米決賽.其中甲、乙、丙三人必須在1,2,3,4,5,6,7,8八條跑道的奇數(shù)號(hào)跑道上，則安排這8名運(yùn)動(dòng)員比賽的方式共有________種.
解析：分兩步安排這8名運(yùn)動(dòng)員.
第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四條跑道可安排.故安排方式有4×3×2＝24(種).
第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一條奇數(shù)號(hào)跑道上安排，所以安排方式有5×4×3×2×1＝120(種).
故安排這8人的方式共有24×120＝2 880(種).
答案：2 880
10.有A，B，C型高級(jí)電腦各一臺(tái)，甲、乙、丙、丁4個(gè)操作人員的技術(shù)等級(jí)不同，甲、乙會(huì)操作三種型號(hào)的電腦，丙不會(huì)操作C型電腦，而丁只會(huì)操作A型電腦.從這4個(gè)操作人員中選3人分別去操作這三種型號(hào)的電腦，則不同的選派方法有________種(用數(shù)字作答).
解析：由于丙、丁兩位操作人員的技術(shù)問題，要完成“從4個(gè)操作人員中選3人去操作這三種型號(hào)的電腦”這件事，則甲、乙兩人至少要選派一人，可分四類：
第1類，選甲、乙、丙3人，由于丙不會(huì)操作C型電腦，分2步安排這3人操作的電腦的型號(hào)，有2×2＝4種方法；
第2類，選甲、乙、丁3人，由于丁只會(huì)操作A型電腦，這時(shí)安排3人分別去操作這三種型號(hào)的電腦，有2種方法；
第3類，選甲、丙、丁3人，這時(shí)安排3人分別去操作這三種型號(hào)的電腦，只有1種方法；
第4類，選乙、丙、丁3人，同樣也只有1種方法.
根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有4＋2＋1＋1＝8種選派方法.
答案：8
二、專項(xiàng)培優(yōu)練
易錯(cuò)專練——不丟怨枉分
1.把3封信投到4個(gè)信箱，所有可能的投法共有(　　)
A.24種 B.4種
C.43種 D.34種
解析：選C　第1封信投到信箱中有4種投法；第2封信投到信箱中也有4種投法；第3封信投到信箱中也有4種投法.只要把這3封信投完，就做完了這件事情，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得共有43種投法.
2.用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40 000大的偶數(shù)共有(　　)
A.144個(gè) B.120個(gè)
C.96個(gè) D.72個(gè)
解析：選B　由題意可知，符合條件的五位數(shù)的萬位數(shù)字是4或5.當(dāng)萬位數(shù)字為4時(shí)，個(gè)位數(shù)字從0,2中任選一個(gè)，共有2×4×3×2＝48個(gè)偶數(shù)；當(dāng)萬位數(shù)字為5時(shí)，個(gè)位數(shù)字從0,2,4中任選一個(gè)，共有3×4×3×2＝72個(gè)偶數(shù).故符合條件的偶數(shù)共有48＋72＝120(個(gè)).
3.如圖是一個(gè)由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的大正方形，現(xiàn)在用四種顏色給這四個(gè)直角三角形區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，則不同的涂色方法有(　　)
A.24種 B.72種
C.84種 D.120種
解析：選C　如圖，設(shè)四個(gè)直角三角形順次為A，B，C，D，按A―→B―→ C―→D順序涂色，
下面分兩種情況：
(1)A，C不同色(注意：B，D可同色、也可不同色，D只要不與A，C同色，所以D可以從剩余的2種顏色中任意取一色)：有4×3×2×2＝48種不同的涂法.
(2)A，C同色(注意：B，D可同色、也可不同色，D只要不與A，C同色，所以D可以從剩余的3種顏色中任意取一色)：有4×3×1×3＝36種不同的涂法.
故共有48＋36＝84種不同的涂色方法.
4.(2018·湖南十二校聯(lián)考)若m，n均為非負(fù)整數(shù)，在做m＋n的加法時(shí)各位均不進(jìn)位(例如：134＋3 802＝3 936)，則稱(m，n)為“簡(jiǎn)單的”有序?qū)?，而m＋n稱為有序?qū)?m，n)的值，那么值為1 942的“簡(jiǎn)單的”有序?qū)Φ膫€(gè)數(shù)是________.
解析：第1步，1＝1＋0,1＝0＋1，共2種組合方式；
第2步，9＝0＋9,9＝1＋8,9＝2＋7,9＝3＋6，…，9＝9＋0，共10種組合方式；
第3步，4＝0＋4,4＝1＋3,4＝2＋2,4＝3＋1,4＝4＋0，共5種組合方式；
第4步，2＝0＋2,2＝1＋1,2＝2＋0，共3種組合方式.
根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，值為1 942的“簡(jiǎn)單的”有序?qū)Φ膫€(gè)數(shù)是2×10×5×3＝300.
答案：300
5.已知集合M＝，若a，b，c∈M，則：
(1)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少個(gè)不同的二次函數(shù)；
(2)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少個(gè)圖象開口向上的二次函數(shù).
解：(1)a的取值有5種情況，b的取值有6種情況，c的取值有6種情況，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示5×6×6＝180個(gè)不同的二次函數(shù).
(2)y＝ax2＋bx＋c的圖象開口向上時(shí)，a的取值有2種情況，b，c的取值均有6種情況，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示2×6×6＝72個(gè)圖象開口向上的二次函數(shù).