2020版高考理科數(shù)學（人教版）一輪復習講義：第十章第五節(jié)古典概型與幾何概型

第五節(jié)古典概型與幾何概型1.古典概型(1)古典概型的特征：①有限性：在一次試驗中，可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限的，即只有有限個不同的基本事件；,②等可能性：每個基本事件出現(xiàn)的可能性是相等的.一個試驗是否為古典概型，在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特征——有限性和等可能性. (2)古典概型的概率計算的基本步驟：①判斷本次試驗的結(jié)果是否是等可能的，設(shè)出所求的事件為A；②分別計算基本事件的總數(shù)n和所求的事件A所包含的基本事件個數(shù)m；③利用古典概型的概率公式P(A)＝，求出事件A的概率.(3)頻率的計算公式與古典概型的概率計算公式的異同名稱不同點相同點頻率計算公式頻率計算中的m，n均隨隨機試驗的變化而變化，但隨著試驗次數(shù)的增多，它們的比值逐漸趨近于概率值都計算了一個比值古典概型的概率計算公式是一個定值，對同一個隨機事件而言，m，n都不會變化2.幾何概型(1)概念：如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型.(2)幾何概型的基本特點：①試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無限多個；②每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等.(3)計算公式：P(A)＝.幾何概型應用中的關(guān)注點?1?關(guān)鍵是要構(gòu)造出隨機事件對應的幾何圖形，利用圖形的幾何度量來求隨機事件的概率.?2?確定基本事件時一定要選準度量，注意基本事件的等可能性. [小題查驗基礎(chǔ)]一、判斷題(對的打“√”，錯的打“×”)(1)與面積有關(guān)的幾何概型的概率與幾何圖形的形狀有關(guān).(　　)(2)幾何概型與古典概型中的基本事件發(fā)生的可能性都是相等的，其基本事件個數(shù)都有限.(　　)(3)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個正面”“一正一反”“兩個反面”，這三個事件是等可能事件.(　　)(4)在古典概型中，如果事件A中基本事件構(gòu)成集合A，所有的基本事件構(gòu)成集合I，則事件A的概率為.(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√二、選填題1.一枚硬幣連擲2次，只有一次出現(xiàn)正面的概率為(　　)A.　　　　　　　　　 B.C. D.解析：選D　一枚硬幣連擲2次可能出現(xiàn)(正，正)、(反，反)、(正，反)、(反，正)四種情況，只有一次出現(xiàn)正面的情況有兩種，故P＝＝.2.某路公共汽車每5分鐘發(fā)車一次，某乘客到乘車點的時刻是隨機的，則他候車時間不超過2分鐘的概率是(　　)A.　　　　　　　　　 B.C. D.解析：選C　試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長度為5，所求事件的區(qū)域長度為2，故所求概率為P＝.3.已知四邊形ABCD為長方形，AB＝2，BC＝1，O為AB的中點，在長方形ABCD內(nèi)隨機取一點，取到的點到O的距離大于1的概率為(　　)A. B.1－C. D.1－解析：選B　如圖，依題意可知所求概率為圖中陰影部分與長方形的面積比，即所求概率P＝＝＝1－.4.從1,2,3,4,5中任意取出兩個不同的數(shù)，其和為5的概率是________.解析：兩數(shù)之和等于5有兩種情況(1,4)和(2,3)，總的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10種，故所求概率P＝＝.答案：5.袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球.從中一次隨機摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為________.解析：P＝1－＝1－＝.答案：[典例精析](1)(2018·全國卷Ⅱ)我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如30＝7＋23.在不超過30的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是(　　)A.　　　　　　　　　 B.C. D.(2)(2019·武漢調(diào)研)將一枚質(zhì)地均勻的骰子投擲兩次，得到的點數(shù)依次記為a和b，則方程ax2＋bx＋1＝0有實數(shù)解的概率是(　　)A. B.C. D.[解析]　(1)不超過30的所有素數(shù)為2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10個，隨機選取兩個不同的數(shù)，共有C＝45種情況，而和為30的有7＋23,11＋19,13＋17這3種情況，所以所求概率P＝＝.(2)投擲骰子兩次，所得的點數(shù)a和b滿足的關(guān)系為所以a和b的組合有36種.若方程ax2＋bx＋1＝0有實數(shù)解，則Δ＝b2－4a≥0，所以b2≥4a.當b＝1時，沒有a符合條件；當b＝2時，a可取1；當b＝3時，a可取1,2；當b＝4時，a可取1,2,3,4；當b＝5時，a可取1,2,3,4,5,6；當b＝6時，a可取1,2,3,4,5,6.滿足條件的組合有19種，則方程ax2＋bx＋1＝0有實數(shù)解的概率P＝.[答案]　(1)C　(2)C[解題技法]1.古典概型的概率求解步驟(1)求出所有基本事件的個數(shù)n.(2)求出事件A包含的所有基本事件的個數(shù)m.(3)代入公式P(A)＝求解.2.基本事件個數(shù)的確定方法(1)列舉法：此法適合于基本事件個數(shù)較少的古典概型.(2)列表法：此法適合于從多個元素中選定兩個元素的試驗，也可看成坐標法.(3)樹狀圖法：樹狀圖是進行列舉的一種常用方法，適用于有順序的問題及較復雜問題中基本事件數(shù)的探求.(4)運用排列組合知識計算.[過關(guān)訓練]1.(2019·益陽、湘潭調(diào)研)已知a∈{－2,0,1,2,3}，b∈{3,5}，則函數(shù)f(x)＝(a2－2)ex＋b為減函數(shù)的概率是(　　)A. B.C. D.解析：選C　若函數(shù)f(x)＝(a2－2)ex＋b為減函數(shù)，則a2－2＜0，又a∈{－2,0,1,2,3}，故只有a＝0，a＝1滿足題意，又b∈{3,5}，所以函數(shù)f(x)＝(a2－2)ex＋b為減函數(shù)的概率是＝.2.從分別標有1,2，…，9的9張卡片中不放回地隨機抽取2次，每次抽取1張，則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是(　　)A. B.C. D.解析：選C　由題意得，所求概率P＝＝.3.將A，B，C，D這4名同學從左至右隨機地排成一排，則“A與B相鄰且A與C之間恰好有1名同學”的概率是(　　)A. B.C. D.解析：選B　A，B，C，D 4名同學排成一排有A＝24種排法.當A，C之間是B時，有2×2＝4種排法，當A，C之間是D時，有2種排法，所以所求概率P＝＝.[考法全析]類型(一)　與長度有關(guān)的幾何概型[例1]　(2019·濮陽模擬)在[－6,9]內(nèi)任取一個實數(shù)m，設(shè)f(x)＝－x2＋mx＋m，則函數(shù)f(x)的圖象與x軸有公共點的概率等于(　　)A.　　　　　　　　　 B.C. D.[解析]　∵f(x)＝－x2＋mx＋m的圖象與x軸有公共點，∴Δ＝m2＋4m≥0，∴m≤－4或m≥0，∴在[－6,9]內(nèi)取一個實數(shù)m，函數(shù)f(x)的圖象與x軸有公共點的概率P＝＝，故選D.[答案]　D類型(二)　與面積有關(guān)的幾何概型[例2]　(1)(2018·濰坊模擬)如圖，六邊形ABCDEF是一個正六邊形，若在正六邊形內(nèi)任取一點，則該點恰好在圖中陰影部分的概率是(　　)A.　　　　　　　 B.C. D.(2)(2019·洛陽聯(lián)考)如圖，圓O：x2＋y2＝π2內(nèi)的正弦曲線y＝sin x與x軸圍成的區(qū)域記為M(圖中陰影部分)，隨機往圓O內(nèi)投一個點A，則點A落在區(qū)域M內(nèi)的概率是(　　)A. B.C. D.[解析]　(1)設(shè)正六邊形的中心為點O，BD與AC交于點G，BC＝1，則BG＝CG，∠BGC＝120°，在△BCG中，由余弦定理得1＝BG2＋BG2－2BG2cos 120°，得BG＝，所以S△BCG＝×BG×BG×sin 120°＝×××＝，因為S六邊形ABCDEF＝S△BOC×6＝×1×1×sin 60°×6＝，所以該點恰好在圖中陰影部分的概率P＝1－＝.(2)由題意知圓O的面積為π3，正弦曲線y＝sin x，x∈[－π，π]與x軸圍成的區(qū)域記為M，根據(jù)圖形的對稱性得區(qū)域M的面積S＝2  sin xdx＝－2cos x ＝4，由幾何概型的概率計算公式可得，隨機往圓O內(nèi)投一個點A，則點A落在區(qū)域M內(nèi)的概率P＝.[答案]　(1)C　(2)B類型(三)　與體積有關(guān)的幾何概型[例3]　已知在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA＝AB＝2，現(xiàn)在該四棱錐內(nèi)部或表面任取一點O，則四棱錐O -ABCD的體積不小于的概率為________.[解析]　當四棱錐O -ABCD的體積為時，設(shè)O到平面ABCD的距離為h，則×22×h＝，解得h＝.如圖所示，在四棱錐P-ABCD內(nèi)作平面EFGH平行于底面ABCD，且平面EFGH與底面ABCD的距離為.因為PA⊥底面ABCD，且PA＝2，所以＝，又四棱錐P-ABCD與四棱錐P-EFGH相似，所以四棱錐O -ABCD的體積不小于的概率P＝＝3＝3＝.[答案]　類型(四)　與角度有關(guān)的幾何概型[例4]　如圖，四邊形ABCD為矩形，AB＝，BC＝1，以A為圓心，1為半徑作四分之一個圓弧，在∠DAB內(nèi)任作射線AP，則射線AP與線段BC有公共點的概率為________.[解析]　連接AC，如圖，因為tan∠CAB＝＝，所以∠CAB＝，滿足條件的事件是直線AP在∠CAB內(nèi)，且AP與AC相交時，即直線AP與線段BC有公共點，所以射線AP與線段BC有公共點的概率P＝＝＝.[答案]　[規(guī)律探求]看個性類型(一)與類型(四)分別講的是與長度有關(guān)和與角度有關(guān)的幾何概型.要特別注意“長度型”與“角度型”的不同.解題的關(guān)鍵是構(gòu)建事件的區(qū)域(長度或角度).類型(二)是與面積有關(guān)的幾何概型.求解與面積有關(guān)的幾何概型時，關(guān)鍵是弄清某事件對應的面積，必要時可根據(jù)題意構(gòu)造兩個變量，把變量看成點的坐標，找到全部試驗結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解.類型(三)是與體積有關(guān)的幾何概型.對于與體積有關(guān)的幾何概型問題，關(guān)鍵是計算問題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對于某些較復雜的問題也可利用其對立事件求解找共性建立相應的幾何概型，將試驗構(gòu)成的總區(qū)域和所求事件構(gòu)成的區(qū)域轉(zhuǎn)化為幾何圖形，并加以度量.(1)若一個連續(xù)變量可建立與長度有關(guān)的幾何概型，則只需把這個變量放在數(shù)軸上即可；(2)若一個隨機事件需要用兩個連續(xù)變量來描述，則可用這兩個變量組成的有序?qū)崝?shù)對來表示它的基本事件，然后利用平面直角坐標系即可建立與面積有關(guān)的幾何概型；(3)若一個隨機事件需要用三個連續(xù)變量來描述，則可用這三個變量組成的有序數(shù)組來表示基本事件，利用空間直角坐標系即可建立與體積有關(guān)的幾何概型[過關(guān)訓練]1.(2019·豫東名校聯(lián)考)一個多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，點M是AB的中點，一只蝴蝶在幾何體ADF-BCE內(nèi)自由飛翔，則它飛入幾何體F-AMCD內(nèi)的概率為(　　)A.　　　　　　　　　 B.C. D.解析：選D　由題圖可知VF-AMCD＝×S四邊形AMCD×DF＝a3，VADF-BCE＝a3，所以它飛入幾何體F-AMCD內(nèi)的概率P＝＝.2.在區(qū)間[0，π]上隨機取一個數(shù)x，則事件“sin x＋cos x≥”發(fā)生的概率為________.解析：由題意可得即解得0≤x≤，故所求的概率為＝.答案：3.(2018·唐山模擬)向圓(x－2)2＋(y－)2＝4內(nèi)隨機投擲一點，則該點落在x軸下方的概率為________.解析：如圖，連接CA，CB，依題意，圓心C到x軸的距離為，所以弦AB的長為2.又圓的半徑為2，所以弓形ADB的面積為×π×2－×2×＝π－，所以向圓(x－2)2＋(y－)2＝4內(nèi)隨機投擲一點，則該點落在x軸下方的概率P＝－.答案：－