第五節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù)

1．冪函數(shù)
(1)冪函數(shù)的定義
一般地，形如y＝xα(α∈R)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α為常數(shù)．
(2)常見的5種冪函數(shù)的圖象

排列特點(diǎn)：第一象限內(nèi)，在直線x＝1右側(cè)，其指數(shù)越大，圖象越高，即“指大圖高”.
圖象規(guī)律：冪函數(shù)的圖象一定會(huì)出現(xiàn)在第一象限，一定不會(huì)出現(xiàn)在第四象限．圖象若與坐標(biāo)軸有交點(diǎn)，一定交于坐標(biāo)原點(diǎn)．
三點(diǎn)注意：(1)當(dāng)α＜0時(shí)，函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸沒(méi)有交點(diǎn)，類似于y＝x－1的圖象，且在第一象限內(nèi)，逆時(shí)針?lè)较蛑笖?shù)在增大；
(2)當(dāng)0＜α＜1時(shí)，函數(shù)圖象傾向x軸，類似于y＝x的圖象；
(3)當(dāng)α>1時(shí)，函數(shù)圖象傾向y軸，類似于y＝x3的圖象，且在第一象限內(nèi)，逆時(shí)針?lè)较蛑笖?shù)在增大.
(3)冪函數(shù)的性質(zhì)
①冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義；
②當(dāng)α>0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過(guò)點(diǎn)(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；
③當(dāng)α＜0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過(guò)點(diǎn)(1,1)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．
對(duì)于形如f(x)＝x(其中m∈N*，n∈Z，m與n互質(zhì))的冪函數(shù)：
(1)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，f(x)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；
(2)當(dāng)m，n都為奇數(shù)時(shí)，f(x)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
(3)當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，x>0(或x≥0)，f(x)是非奇非偶函數(shù)，圖象只在第一象限(或第一象限及原點(diǎn)處)．
2．二次函數(shù)
(1)二次函數(shù)解析式的3種形式
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
②頂點(diǎn)式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(m，n)．
③零點(diǎn)式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2為f(x)的零點(diǎn)．
(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)
函數(shù)
y＝ax2＋bx＋c(a>0)
y＝ax2＋bx＋c(a＜0)
圖象(拋物線)


定義域
R

值域


對(duì)稱軸
x＝－
頂點(diǎn)坐標(biāo)

奇偶性
當(dāng)b＝0時(shí)是偶函數(shù)，當(dāng)b≠0時(shí)是非奇非偶函數(shù)
單調(diào)性
在上是減函數(shù)；
在上是增函數(shù)
在上是增函數(shù)；
在上是減函數(shù)
[熟記常用結(jié)論]

關(guān)于二次函數(shù)的幾個(gè)常用結(jié)論
(1)關(guān)于函數(shù)f(x)＝a(x－h(huán))2＋k(a>0)，x∈[p，q]的最值問(wèn)題
若h∈[p，q]，則x＝h時(shí)有最小值k，最大值是f(p)與f(q)中較大者；若h?[p，q]，則f(p)，f(q)中較小者為最小值，較大者為最大值．
(2)根的分布問(wèn)題
設(shè)函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若對(duì)區(qū)間[a，b]有f(a)≥0，f(b)≤0，則曲線必與x軸相交(至少有一個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)必在[a，b]上)．
設(shè)x1，x2是實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的兩根，根的分布對(duì)照y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象，知其等價(jià)不等式組的關(guān)系是：
①若x1＜x2＜m，則
②若m＜x1＜x2，則
③若x1＜m＜x2，則
④若x1，x2∈(m1，m2)，則
⑤若x1，x2有且僅有一個(gè)在(m1，m2)內(nèi)，
則
[小題查驗(yàn)基礎(chǔ)]
一、判斷題(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”)
(1)函數(shù)y＝2x是冪函數(shù)．(　　)
(2)當(dāng)n>0時(shí)，冪函數(shù)y＝xn在(0，＋∞)上是增函數(shù)．(　　)
(3)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函數(shù)．(　　)
(4)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是.(　　)
(5)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a決定了圖象的開口方向和在同一直角坐標(biāo)系中的開口大?。?　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√
二、選填題
1．已知冪函數(shù)y＝f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則f(2)＝(　　)
A.　　　　　　　　 B．4
C. D.
解析：選C　設(shè)f(x)＝xα，
∵圖象過(guò)點(diǎn)，∴f(4)＝4α＝，解得α＝－，
∴f(2)＝2＝.故選C.
2．若四個(gè)冪函數(shù)y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐標(biāo)系中的圖象如圖，則a，b，c，d的大小關(guān)系是(　　)

A．d>c>b>a B．a(chǎn)>b>c>d
C．d>c>a>b D．a(chǎn)>b>d>c
解析：選B　根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)及圖象知選B.
3．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋x＋5的圖象在x軸上方，則a的取值范圍是(　　)
A. B.
C. D.
解析：選C　∵函數(shù)f(x)＝ax2＋x＋5的圖象在x軸上方，
∴解得a>.
4．函數(shù)f(x)＝(m2－m－1)xm是冪函數(shù)，且在x∈(0，＋∞)上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為________．
解析：∵f(x)＝(m2－m－1)xm是冪函數(shù)，
∴m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2.
又∵f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，
∴m＝2.
答案：2
5．已知f(x)＝4x2－mx＋5在[2，＋∞)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．
解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝4x2－mx＋5的單調(diào)遞增區(qū)間為，所以≤2，即m≤16.
答案：(－∞，16]

考點(diǎn)一
[基礎(chǔ)自學(xué)過(guò)關(guān)]
冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)
[題組練透]
1．已知冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(9,3)，則f(2)－f(1)＝(　　)
A．3　　　　　　　　 B．1－
C.－1 D．1
解析：選C　設(shè)冪函數(shù)f(x)＝xα，則f(9)＝9α＝3，即α＝，所以f(x)＝x＝，所以f(2)－f(1)＝－1，故選C.
2．當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，冪函數(shù)y＝(m2＋m－1)x－5m－3為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為(　　)
A．－2 B．1
C．1或－2 D．m≠
解析：選B　因?yàn)楹瘮?shù)y＝(m2＋m－1)x－5m－3既是冪函數(shù)又是(0，＋∞)上的減函數(shù)，所以解得m＝1.
3.冪函數(shù)y＝x (m∈Z)的圖象如圖所示，則m的值為(　　)

A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：選C　從圖象上看，由于圖象不過(guò)原點(diǎn)，且在第一象限下降，故m2－2m－3＜0，即－1＜m＜3；又從圖象看，函數(shù)是偶函數(shù)，故m2－2m－3為負(fù)偶數(shù)，將m＝0,1,2分別代入，可知當(dāng)m＝1時(shí)，m2－2m－3＝－4，滿足要求．
4．已知a＝3，b＝4，c＝12，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　)
A．b＜a＜c B．a(chǎn)＜b＜c
C．c＜b＜a D．c＜a＜b
解析：選C　因?yàn)閍＝81，b＝16，c＝12，由冪函數(shù)y＝x在(0，＋∞)上為增函數(shù)，知a>b>c，故選C.
5．若(a＋1)＜(3－2a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
解析：易知函數(shù)y＝x的定義域?yàn)閇0，＋∞)，在定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以解得－1≤a＜.
答案：
[名師微點(diǎn)]
(1)冪函數(shù)y＝xα的形式特點(diǎn)是“冪指數(shù)坐在x的肩膀上”，圖象都過(guò)點(diǎn)(1,1)．它們的單調(diào)性要牢記第一象限的圖象特征：當(dāng)α>0時(shí)，第一象限圖象是上坡遞增；當(dāng)α＜0時(shí)，第一象限圖象是下坡遞減．然后根據(jù)函數(shù)的奇偶性確定y軸左側(cè)的增減性即可．
(2)在比較冪值的大小時(shí)，必須結(jié)合冪值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較，既不同底又不同次數(shù)的冪函數(shù)值比較大小：常找到一個(gè)中間值，通過(guò)比較冪函數(shù)值與中間值的大小進(jìn)行判斷．準(zhǔn)確掌握各個(gè)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

考點(diǎn)二
[師生共研過(guò)關(guān)]
求二次函數(shù)的解析式
[典例精析]
已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，求二次函數(shù)f(x)的解析式．
[解]　法一：(利用二次函數(shù)的一般式)
設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由題意得解得
故所求二次函數(shù)為f(x)＝－4x2＋4x＋7.
法二：(利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式)
設(shè)f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
∵f(2)＝f(－1)，∴拋物線對(duì)稱軸為x＝＝.
∴m＝，又根據(jù)題意函數(shù)有最大值8，∴n＝8，
∴y＝f(x)＝a2＋8.
∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解得a＝－4，
∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.
法三：(利用二次函數(shù)的零點(diǎn)式)
由已知f(x)＋1＝0的兩根為x1＝2，x2＝－1，
故可設(shè)f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函數(shù)有最大值ymax＝8，
即＝8.
解得a＝－4或a＝0(舍去)，
故所求函數(shù)解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7.
[解題技法]
求二次函數(shù)解析式的策略

[過(guò)關(guān)訓(xùn)練]
1．已知二次函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且f(4)＝4f(2)＝16，則函數(shù)f(x)的解析式為____________．
解析：由題意可設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2＋c(a≠0)，則f(4)＝16a＋c＝16,4f(2)＝4(4a＋c)＝16a＋4c＝16，所以a＝1，c＝0，故f(x)＝x2.
答案：f(x)＝x2
2．已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R，若函數(shù)f(x)的最小值為f(－1)＝0，則f(x)＝________.
解析：設(shè)函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝a(x＋1)2＝ax2＋2ax＋a，又f(x)＝ax2＋bx＋1，所以a＝1，故f(x)＝x2＋2x＋1.
答案：x2＋2x＋1
3．已知二次函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,3)，它在x軸上截得的線段長(zhǎng)為2，并且對(duì)任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式．
解：∵f(2－x)＝f(2＋x)對(duì)x∈R恒成立，
∴f(x)的對(duì)稱軸為x＝2.
又∵f(x)的圖象被x軸截得的線段長(zhǎng)為2，
∴f(x)＝0的兩根為1和3.
設(shè)f(x)的解析式為f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．
又∵f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(4,3)，∴3a＝3，a＝1.
∴所求f(x)的解析式為f(x)＝(x－1)(x－3)，
即f(x)＝x2－4x＋3.
考點(diǎn)三
[全析考法過(guò)關(guān)]
二次函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
[考法全析]
考法(一)　二次函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題
[例1]　(1)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在區(qū)間[－1，＋∞)上是遞減的，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．[－3,0)　　　　　　　 B．(－∞，－3]
C．[－2,0] D．[－3,0]
(2)函數(shù)f(x)＝x2－bx＋c滿足f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3，則f(bx)與f(cx)的大小關(guān)系是(　　)
A．f(bx)≤f(cx) B．f(bx)≥f(cx)
C．f(bx)>f(cx) D．與x有關(guān)，不確定
[解析]　(1)當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上遞減，滿足題意．
當(dāng)a≠0時(shí)，f(x)的對(duì)稱軸為x＝，
由f(x)在[－1，＋∞)上遞減知解得－3≤a＜0.
綜上，a的取值范圍為[－3,0]．
(2)由題意知，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，∴b＝2，又f(0)＝3，∴c＝3，則bx＝2x，cx＝3x.易知f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞減，在[1，＋∞)上單調(diào)遞增．若x≥0，則3x≥2x≥1，∴f(3x)≥f(2x)；若x＜0，則3x＜2x＜1，∴f(3x)>f(2x)．∴f(3x)≥f(2x)，即f(bx)≤f(cx)．故選A.
[答案]　(1)D　(2)A
考法(二)　二次函數(shù)的最值問(wèn)題
[例2]　若函數(shù)f(x)＝ax2＋2ax＋1在[1,2]上有最大值4，則a的值為________．
[解析]　f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.
①當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上的值為常數(shù)1，不符合題意，舍去；
②當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù)，最大值為f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝；
③當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù)，最大值為f(1)＝3a＋1＝4，解得a＝1，不符合題意，舍去．
綜上可知，a的值為.
[答案]　
考法(三)　二次函數(shù)中的恒成立問(wèn)題
[例3]　已知函數(shù)f(x)＝x2－x＋1，在區(qū)間[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．
[解析]　f(x)>2x＋m等價(jià)于x2－x＋1>2x＋m，
即x2－3x＋1－m>0，
令g(x)＝x2－3x＋1－m，
要使g(x)＝x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立，
只需使函數(shù)g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可．
∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上單調(diào)遞減，
∴g(x)min＝g(1)＝－m－1.
由－m－1>0，得m＜－1.
因此滿足條件的實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－∞，－1)．
[答案]　(－∞，－1)
[規(guī)律探求]
看個(gè)性
考法(一)是研究二次函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，二次函數(shù)的單調(diào)性在其圖象對(duì)稱軸的兩側(cè)不同，因此研究二次函數(shù)的單調(diào)性時(shí)要依據(jù)其圖象的對(duì)稱軸進(jìn)行分類討論．
考法(二)是研究二次函數(shù)的最值問(wèn)題．對(duì)于含參數(shù)的二次函數(shù)最值問(wèn)題，無(wú)論對(duì)稱軸還是區(qū)間含有參數(shù)，都把對(duì)稱軸看作靜止不動(dòng)的參照物，即“動(dòng)兮定兮對(duì)稱軸，看作靜止參照物”，然后利用十字法求解即可．

考法(三)是考法(一)和考法(二)的逆運(yùn)用，最終轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題求解
找共性
解決二次函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題應(yīng)注意的兩個(gè)關(guān)鍵
(1)拋物線的開口、對(duì)稱軸位置、定義區(qū)間三者相互制約，要注意分類討論．
(2)要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，尤其是給定區(qū)間上的二次函數(shù)最值問(wèn)題
[過(guò)關(guān)訓(xùn)練]
1．[口訣第1、2、3句]若二次函數(shù)y＝kx2－4x＋2在區(qū)間[1,2]上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為(　　)
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，2)
解析：選A　二次函數(shù)y＝kx2－4x＋2的對(duì)稱軸為x＝，當(dāng)k>0時(shí)，要使函數(shù)y＝kx2－4x＋2在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù)，只需≤1，解得k≥2.
當(dāng)k＜0時(shí)，＜0，此時(shí)拋物線的對(duì)稱軸在區(qū)間[1,2]的左側(cè)，該函數(shù)y＝kx2－4x＋2在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù)，不符合要求．綜上可得實(shí)數(shù)k的取值范圍是[2，＋∞)．
2．[口訣第1、2句]已知y＝f(x)是偶函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝(x－1)2，若當(dāng)x∈時(shí)，n≤f(x)≤m恒成立，則m－n的最小值為(　　)
A. B.
C. D．1
解析：選D　設(shè)x＜0，則－x>0.
有f(－x)＝(－x－1)2＝(x＋1)2，又∵f(－x)＝f(x)，
∴當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝(x＋1)2，
∴該函數(shù)在上的最大值為1，最小值為0，
依題意，n≤f(x)≤m恒成立，
則n≤0，m≥1，即m－n≥1，故m－n的最小值為1.
3．[口訣第4、5句]設(shè)函數(shù)f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函數(shù)f(x)的最小值．
解：f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x＝1.
當(dāng)t＋1＜1，即t＜0時(shí)，函數(shù)圖象如圖(1)所示，函數(shù)f(x)在區(qū)間[t，t＋1]上為減函數(shù)，所以最小值為f(t＋1)＝t2＋1；
當(dāng)t≤1≤t＋1，即0≤t≤1時(shí)，函數(shù)圖象如圖(2)所示，在對(duì)稱軸x＝1處取得最小值，最小值為f(1)＝1；

當(dāng)t>1時(shí)，函數(shù)圖象如圖(3)所示，函數(shù)f(x)在區(qū)間[t，t＋1]上為增函數(shù)，所以最小值為f(t)＝t2－2t＋2.
綜上可知，f(x)min＝

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