2020版高考理科數(shù)學（人教版）一輪復習講義：第九章第九節(jié)解析幾何壓軸大題突破策略第二課時　解題上—

第二課時　解題上——6大技法破解計算繁雜這一難題
（閱讀課——供學有余力的考生自主觀摩）
中學解析幾何是將幾何圖形置于直角坐標系中，用方程的觀點來研究曲線，體現(xiàn)了用代數(shù)的方法解決幾何問題的優(yōu)越性，但有時運算量過大，或需繁雜的討論，這些都會影響解題的速度，甚至會中止解題的過程，達到“望題興嘆”的地步．特別是高考過程中，在規(guī)定的時間內(nèi)，保質(zhì)保量完成解題的任務，計算能力是一個重要的方面．為此，從以下幾個方面探索減輕運算量的方法和技巧，合理簡化解題過程，優(yōu)化思維過程．

回歸定義，以逸待勞
回歸定義的實質(zhì)是重新審視概念，并用相應的概念解決問題，是一種樸素而又重要的策略和思想方法．圓錐曲線的定義既是有關(guān)圓錐曲線問題的出發(fā)點，又是新知識、新思維的生長點．對于相關(guān)的圓錐曲線中的數(shù)學問題，若能根據(jù)已知條件，巧妙靈活應用定義，往往能達到化難為易、化繁為簡、事半功倍的效果．
[典例]　如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C1：＋y2＝1與雙曲線C2的公共焦點，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的公共點．若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
[解題觀摩]　由已知，得F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，
設(shè)雙曲線C2的實半軸長為a，
由橢圓及雙曲線的定義和已知，
可得解得a2＝2，
故a＝.所以雙曲線C2的離心率e＝＝.
[答案]　D

本題巧妙運用橢圓和雙曲線的定義建立|AF1|，|AF2|的等量關(guān)系，從而快速求出雙曲線實半軸長a的值，進而求出雙曲線的離心率，大大降低了運算量．　　　　
[對點訓練]
1.如圖，設(shè)拋物線y2＝4x的焦點為F，不經(jīng)過焦點的直線上有三個不同的點A，B，C，其中點A，B在拋物線上，點C在y軸上，則△BCF與△ACF的面積之比是(　　)
A. B.
C. D.
解析：選A　由題意可得＝＝＝＝.
2．拋物線y2＝4mx(m＞0)的焦點為F，點P為該拋物線上的動點，若點A(－m,0)，則的最小值為________．
解析：設(shè)點P的坐標為(xP，yP)，由拋物線的定義，知|PF|＝xP＋m，又|PA|2＝(xP＋m)2＋y＝(xP＋m)2＋4mxP，則2＝＝≥＝(當且僅當xP＝m時取等號)，所以≥，所以的最小值為.
答案：

設(shè)而不求，金蟬脫殼

設(shè)而不求是解析幾何解題的基本手段，是比較特殊的一種思想方法，其實質(zhì)是整體結(jié)構(gòu)意義上的變式和整體思想的應用．設(shè)而不求的靈魂是通過科學的手段使運算量最大限度地減少，通過設(shè)出相應的參數(shù)，利用題設(shè)條件加以巧妙轉(zhuǎn)化，以參數(shù)為過渡，設(shè)而不求．
[典例]　已知橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦點為F(3，0)，過點F的直線交E于A，B兩點．若AB的中點坐標為(1，－1)，則E的標準方程為(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
[解題觀摩]　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，

①－②得＋＝0，
所以kAB＝＝－＝.
又kAB＝＝，所以＝.
又9＝c2＝a2－b2，
解得b2＝9，a2＝18，
所以橢圓E的方程為＋＝1.
[答案]　D

(1)本題設(shè)出A，B兩點的坐標，卻不求出A，B兩點的坐標，巧妙地表達出直線AB的斜率，通過將直線AB的斜率“算兩次”建立幾何量之間的關(guān)系，從而快速解決問題．
(2)在運用圓錐曲線問題中的設(shè)而不求方法技巧時，需要做到：①凡是不必直接計算就能更簡潔地解決問題的，都盡可能實施“設(shè)而不求”；②“設(shè)而不求”不可避免地要設(shè)參、消參，而設(shè)參的原則是宜少不宜多．　　　　
[對點訓練]
1．已知O為坐標原點，F(xiàn)是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦點，A，B分別為C的左、右頂點．P為C上一點，且PF⊥x軸．過點A的直線l與線段PF交于點M，與y軸交于點E，若直線BM經(jīng)過OE的中點，則C的離心率為(　　)
A. B.
C. D.
解析：選A　設(shè)OE的中點為G，由題意設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋a)，
分別令x＝－c與x＝0得|FM|＝k(a－c)，|OE|＝ka，
由△OBG∽△FBM，得＝，
即＝，
整理得＝，所以橢圓C的離心率e＝.
2．過點M(1,1)作斜率為－的直線與橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)相交于A，B兩點，若M是線段AB的中點，則橢圓C的離心率等于________．
解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則
∴＋＝0，
∴＝－·.
∵＝－，x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
∴－＝－，∴a2＝2b2.
又∵b2＝a2－c2，
∴a2＝2(a2－c2)，∴a2＝2c2，∴＝.
即橢圓C的離心率e＝.
答案：

巧設(shè)參數(shù)，變換主元

換元引參是一種重要的數(shù)學方法，特別是解析幾何中的最值問題、不等式問題等，利用換元引參使一些關(guān)系能夠相互聯(lián)系起來，激活了解題的方法，往往能化難為易，達到事半功倍．
常見的參數(shù)可以選擇點的坐標、直線的斜率、直線的傾斜角等．在換元過程中，還要注意代換的等價性，防止擴大或縮小原來變量的取值范圍或改變原題條件．
[典例]　設(shè)橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右頂點分別為A，B，點P在橢圓上且異于A，B兩點，O為坐標原點．若|AP|＝|OA|，證明直線OP的斜率k滿足|k|＞.
[解題觀摩]　法一：依題意，直線OP的方程為y＝kx，設(shè)點P的坐標為(x0，y0)．
由條件得
消去y0并整理，得x＝.①
由|AP|＝|OA|，A(－a,0)及y0＝kx0，
得(x0＋a)2＋k2x＝a2，
整理得(1＋k2)x＋2ax0＝0.
而x0≠0，于是x0＝，
代入①，整理得(1＋k2)2＝4k22＋4.
又a＞b＞0，故(1＋k2)2＞4k2＋4，
即k2＋1＞4，因此k2＞3，所以|k|＞.
法二：依題意，直線OP的方程為y＝kx，
可設(shè)點P的坐標為(x0，kx0)．
由點P在橢圓上，得＋＝1.
因為a＞b＞0，kx0≠0，所以＋＜1，
即(1＋k2)x＜a2.②
由|AP|＝|OA|及A(－a,0)，得(x0＋a)2＋k2x＝a2，
整理得(1＋k2)x＋2ax0＝0，于是x0＝，
代入②，得(1＋k2)·＜a2，
解得k2＞3，所以|k|＞.
法三：設(shè)P(acos θ，bsin θ)(0≤θ＜2π)，
則線段OP的中點Q的坐標為.
|AP|＝|OA|?AQ⊥OP?kAQ×k＝－1.
又A(－a,0)，所以kAQ＝，
即bsin θ－akAQcos θ＝2akAQ.
從而可得|2akAQ|≤ ＜a，
解得|kAQ|＜，故|k|＝＞.

求解本題利用橢圓的參數(shù)方程，可快速建立各點之間的聯(lián)系，降低運算量．　　　　
[對點訓練]
　設(shè)直線l與拋物線y2＝4x相交于A，B兩點，與圓C：(x－5)2＋y2＝r2(r＞0)相切于點M，且M為線段AB的中點，若這樣的直線l恰有4條，求r的取值范圍．
解：當斜率不存在時，有兩條，當斜率存在時，不妨設(shè)直線l的方程為x＝ty＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
代入拋物線y2＝4x并整理得y2－4ty－4m＝0，
則有Δ＝16t2＋16m＞0，y1＋y2＝4t，y1y2＝－4m，
那么x1＋x2＝(ty1＋m)＋(ty2＋m)＝4t2＋2m，
可得線段AB的中點M(2t2＋m,2t)，
而由題意可得直線AB與直線MC垂直，
即kMC·kAB＝－1，
可得·＝－1，整理得m＝3－2t2(當t≠0時)，
把m＝3－2t2代入Δ＝16t2＋16m＞0，
可得3－t2＞0，即0＜t2＜3，
又由于圓心到直線的距離等于半徑，
即d＝＝＝2＝r，
而由0＜t2＜3可得2＜r＜4.
故r的取值范圍為(2,4)．

數(shù)形結(jié)合，偷梁換柱

著名數(shù)學家華羅庚說過：“數(shù)與形本是兩相倚，焉能分作兩邊飛．數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微．”在圓錐曲線的一些問題中，許多對應的長度、數(shù)式等都具有一定的幾何意義，挖掘題目中隱含的幾何意義，采用數(shù)形結(jié)合的思想方法，可解決一些相應問題．
[典例]　已知F是雙曲線C：x2－＝1的右焦點，P是C的左支上一點，A(0,6)．當△APF周長最小時，該三角形的面積為________．
[解題觀摩]　設(shè)雙曲線的左焦點為F1，根據(jù)雙曲線的定義可知|PF|＝2a＋|PF1|，
則△APF的周長為|PA|＋|PF|＋|AF|＝|PA|＋2a＋|PF1|＋|AF|＝|PA|＋|PF1|＋|AF|＋2a，
由于|AF|＋2a是定值，要使△APF的周長最小，
則|PA|＋|PF1|最小，即P，A，F(xiàn)1共線，
由于A(0,6)，F(xiàn)1(－3,0)，
則直線AF1的方程為＋＝1，即x＝－3，
代入雙曲線方程整理可得
y2＋6y－96＝0，
解得y＝2或y＝－8(舍去)，
所以點P的縱坐標為2，
所以＝×6×6－×6×2＝12.
[答案]　12

要求△APF的周長的最小值，其實就是轉(zhuǎn)化為求解三角形三邊長之和，根據(jù)已知條件與雙曲線定義加以轉(zhuǎn)化為已知邊的長度問題與已知量的等價條件來分析，根據(jù)直線與雙曲線的位置關(guān)系，通過數(shù)形結(jié)合確定點P的位置，通過求解點P的坐標進而利用三角形的面積公式來處理．　　　　
[對點訓練]
1．橢圓＋＝1的左焦點為F，直線x＝m與橢圓相交于點M，N，當△FMN的周長最大時，△FMN的面積是(　　)
A. B.
C. D.
解析：選C　如圖所示，設(shè)橢圓的右焦點為F′，連接MF′，NF′.
因為|MF|＋|NF|＋|MF′|＋|NF′|≥|MF|＋|NF|＋|MN|，所以當直線x＝m過橢圓的右焦點時，△FMN的周長最大．
此時|MN|＝＝，又c＝＝＝1，
所以此時△FMN的面積S＝×2×＝.故選C.
2．設(shè)P為雙曲線x2－＝1右支上一點，M，N分別是圓C1：(x＋4)2＋y2＝4和圓C2：(x－4)2＋y2＝1上的點，設(shè)|PM|－|PN|的最大值和最小值分別為m，n，則|m－n|＝(　　)
A．4 B.5
C．6 D．7
解析：選C　由題意得，圓C1：(x＋4)2＋y2＝4的圓心為(－4,0)，半徑為r1＝2；圓C2：(x－4)2＋y2＝1的圓心為(4,0)，半徑為r2＝1.
設(shè)雙曲線x2－＝1的左、右焦點分別為F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)．如圖所示，連接PF1，PF2，F(xiàn)1M，F(xiàn)2N，則|PF1|－|PF2|＝2.又|PM|max＝|PF1|＋r1，|PN|min＝|PF2|－r2，所以|PM|－|PN|的最大值m＝|PF1|－|PF2|＋r1＋r2＝5.又|PM|min＝|PF1|－r1，|PN|max＝|PF2|＋r2，所以|PM|－|PN|的最小值n＝|PF1|－|PF2|－r1－r2＝－1，所以|m－n|＝6.故選C.

妙借向量，無中生有
平面向量是銜接代數(shù)與幾何的紐帶，溝通“數(shù)”與“形”，融數(shù)、形于一體，是數(shù)形結(jié)合的典范，具有幾何形式與代數(shù)形式的雙重身份，是數(shù)學知識的一個交匯點和聯(lián)系多項知識的媒介．妙借向量，可以有效提升圓錐曲線的解題方向與運算效率，達到良好效果．
[典例]　如圖，在平面直角坐標系xOy中，F(xiàn)是橢圓＋＝1(a＞b＞0)的右焦點，直線y＝與橢圓交于B，C兩點，且∠BFC＝90°，則該橢圓的離心率是________．
[解題觀摩]　把y＝代入橢圓＋＝1，
可得x＝±a，則B，C，
而F(c,0)，
則FB＝，F(xiàn)C＝，
又∠BFC＝90°，
故有FB·FC＝·＝c2－a2＋b2＝c2－a2＋(a2－c2)＝c2－a2＝0，
則有3c2＝2a2，所以該橢圓的離心率e＝＝.
[答案]　

本題通過相關(guān)向量坐標的確定，結(jié)合∠BFC＝90°，巧妙借助平面向量的坐標運算來轉(zhuǎn)化圓錐曲線中的相關(guān)問題，從形入手轉(zhuǎn)化為相應數(shù)的形式，簡化運算．　　　　
[對點訓練]
設(shè)直線l是圓O：x2＋y2＝2上動點P(x0，y0)(x0y0≠0)處的切線，l與雙曲線x2－＝1交于不同的兩點A，B，則∠AOB為(　　)
A．90° B.60°
C．45° D．30°
解析：選A　∵點P(x0，y0)(x0y0≠0)在圓O：x2＋y2＝2上，∴x＋y＝2，圓在點P(x0，y0)處的切線方程為x0x＋y0y＝2.由及x＋y＝2得(3x－4)x2－4x0x＋8－2x＝0.∵切線l與雙曲線交于不同的兩點A，B，且0＜x＜2，∴3x－4≠0，且Δ＝16x－4(3x－4)·(8－2x)＞0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝.∵OA·OB＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(2－x0x1)(2－x0x2)＝x1x2＋[4－2x0(x1＋x2)＋xx1x2]＝＋＝0，∴∠AOB＝90°.

巧用“根與系數(shù)的關(guān)系”，化繁為簡

某些涉及線段長度關(guān)系的問題可以通過解方程、求坐標，用距離公式計算長度的方法來解；但也可以利用一元二次方程，使相關(guān)的點的同名坐標為方程的根，由根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根間的關(guān)系或有關(guān)線段長度間的關(guān)系．后者往往計算量小，解題過程簡捷．
[典例]　已知橢圓＋y2＝1的左頂點為A，過A作兩條互相垂直的弦AM，AN交橢圓于M，N兩點．
(1)當直線AM的斜率為1時，求點M的坐標；
(2)當直線AM的斜率變化時，直線MN是否過x軸上的一定點？若過定點，請給出證明，并求出該定點；若不過定點，請說明理由．
[解題觀摩]　(1)直線AM的斜率為1時，直線AM的方程為y＝x＋2，代入橢圓方程并化簡得5x2＋16x＋12＝0.
解得x1＝－2，x2＝－，所以M.
(2)設(shè)直線AM的斜率為k，直線AM的方程為y＝k(x＋2)，
聯(lián)立方程
化簡得(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0.
則xA＋xM＝，
xM＝－xA－＝2－＝.
同理，可得xN＝.
由(1)知若存在定點，則此點必為P.
證明如下：
因為kMP＝＝＝，
同理可得kPN＝.
所以直線MN過x軸上的一定點P.

本例在第(2)問中可應用根與系數(shù)的關(guān)系求出xM＝，這體現(xiàn)了整體思想．這是解決解析幾何問題時常用的方法，簡單易懂，通過設(shè)而不求，大大降低了運算量．　　　　
[對點訓練]
已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，且經(jīng)過點P，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2.
(1)求橢圓C的方程；
(2)過F1的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，若△AF2B的內(nèi)切圓半徑為，求以F2為圓心且與直線l相切的圓的方程．
解：(1)由＝，得a＝2c，所以a2＝4c2，b2＝3c2，
將點P的坐標代入橢圓方程得c2＝1，
故所求橢圓方程為＋＝1.
(2)由(1)可知F1(－1,0)，設(shè)直線l的方程為x＝ty－1，
代入橢圓方程，整理得(4＋3t2)y2－6ty－9＝0，
顯然判別式大于0恒成立，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，△AF2B的內(nèi)切圓半徑為r0，
則有y1＋y2＝，y1y2＝，r0＝，

＝r0(|AF1|＋|BF1|＋|BF2|＋|AF2|)
＝r0·4a＝×8×＝，
所以＝，解得t2＝1，
因為所求圓與直線l相切，所以半徑r＝＝，
所以所求圓的方程為(x－1)2＋y2＝2.