2020版高考理科數(shù)學(xué)（人教版）一輪復(fù)習(xí)講義：第九章第七節(jié)拋物線-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

[小題查驗(yàn)基礎(chǔ)]一、判斷題(對的打“√”，錯的打“×”)(1)平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡一定是拋物線．(　　)(2)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是4.(　　)(3)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形．(　　)(4)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，且其焦點(diǎn)坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是x＝－.(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×二、選填題1．拋物線y＝2x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(　　)A.　　　　　　　 B.C. D.解析：選C　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝y，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)是.2．若點(diǎn)P到點(diǎn)F(0,2)的距離比它到直線y＋4＝0的距離小2，則P的軌跡方程為(　　)A．y2＝8x B.y2＝－8xC．x2＝8y D．x2＝－8y解析：選C　點(diǎn)P到F(0,2)的距離比它到直線y＋4＝0的距離小2，因此P到F(0,2)的距離與它到直線y＋2＝0的距離相等，故P的軌跡是以F為焦點(diǎn)，y＝－2為準(zhǔn)線的拋物線，所以P的軌跡方程為x2＝8y.3．拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為x＝－2，則拋物線方程是(　　)A．y2＝－8x B.y2＝－4xC．y2＝8x D．y2＝4x解析：選C　由拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為x＝－2，知p＝4，且開口向右，故拋物線方程為y2＝8x.4．焦點(diǎn)在直線2x＋y＋2＝0上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________________．解析：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時，令方程2x＋y＋2＝0中的y＝0，得焦點(diǎn)為(－1,0)，故拋物線方程為y2＝－4x，當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時，令方程2x＋y＋2＝0中的x＝0，得焦點(diǎn)為(0，－2)，故拋物線方程為x2＝－8y.答案：y2＝－4x或x2＝－8y5．若拋物線y＝4x2上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是________．解析：M到準(zhǔn)線的距離等于M到焦點(diǎn)的距離，又準(zhǔn)線方程為y＝－，設(shè)M(x，y)，則y＋＝1，∴y＝.答案：考點(diǎn)一拋物線的定義及應(yīng)用[師生共研過關(guān)][典例精析](1)若拋物線y2＝4x上一點(diǎn)P到其焦點(diǎn)F的距離為2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OFP的面積為(　　)A.　　　　　　　　　 B．1C. D．2(2)設(shè)P是拋物線y2＝4x上的一個動點(diǎn)，F是拋物線的焦點(diǎn)．若B(3,2)，則|PB|＋|PF|的最小值為________．[解析]　(1)設(shè)P(xP，yP)，由題可得拋物線焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1.又點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離為2，∴由定義知點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為2.∴xP＋1＝2，∴xP＝1.代入拋物線方程得|yP|＝2，∴△OFP的面積為S＝·|OF|·|yP|＝×1×2＝1.(2)如圖，過點(diǎn)B作BQ垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)Q，交拋物線于點(diǎn)P1，則|P1Q|＝|P1F|.則有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值為4.[答案]　(1)B　(2)4　　1．(變條件)若將本例(2)中“B(3,2)”改為B(3,4)，則|PB|＋|PF|的最小值為________．解析：由題意可知點(diǎn)B(3,4)在拋物線的外部．∵|PB|＋|PF|的最小值即為B，F兩點(diǎn)間的距離，F(1,0)，∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝＝2，即|PB|＋|PF|的最小值為2.答案：22．(變設(shè)問)在本例(2)條件下，點(diǎn)P到點(diǎn)A(－1,1)的距離與點(diǎn)P到直線x＝－1的距離之和的最小值為________．解析：如圖，易知拋物線的焦點(diǎn)為F(1，0)，準(zhǔn)線是x＝－1，由拋物線的定義知點(diǎn)P到直線x＝－1的距離等于點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離．于是，問題轉(zhuǎn)化為在拋物線上求一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A(－1,1)的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)F(1,0)的距離之和最小，顯然，連接AF與拋物線相交的點(diǎn)即為滿足題意的點(diǎn)，此時最小值為＝.答案：[解題技法]與拋物線有關(guān)的最值問題，一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)．“看到準(zhǔn)線想焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想準(zhǔn)線”，這是解決與過拋物線焦點(diǎn)的弦有關(guān)問題的重要途徑．[提醒]　注意靈活運(yùn)用拋物線上一點(diǎn)P(x，y)到焦點(diǎn)F的距離|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋.[過關(guān)訓(xùn)練]1．若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,2)，F是拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線上移動時，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐標(biāo)為________．解析：過點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足是N，則|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，當(dāng)A，M，N三點(diǎn)共線時，|MF|＋|MA|取得最小值，此時M(2,2)．答案：(2,2)2．(2019·襄陽測試)已知拋物線y＝x2的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，M在l上，線段MF與拋物線交于N點(diǎn)，若|MN|＝|NF|，則|MF|＝________.解析：如圖，過N作準(zhǔn)線的垂線NH，垂足為H.根據(jù)拋物線的定義可知|NH|＝|NF|，在Rt△NHM中，|NM|＝|NH|，則∠NMH＝45°.在△MFK中，∠FMK＝45°，所以|MF|＝|FK|.而|FK|＝1.所以|MF|＝.答案：考點(diǎn)二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)[師生共研過關(guān)][典例精析](1)已知拋物線y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線經(jīng)過點(diǎn)(－1,1)，則該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(　　)A．(－1,0)　　　　　　　 B．(1,0)C．(0，－1) D．(0,1)(2)設(shè)拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，|MF|＝5.若以MF為直徑的圓過點(diǎn)A(0,2)，則C的方程為(　　)A．y2＝4x或y2＝8x B.y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x[解析]　(1)拋物線y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線為x＝－且過點(diǎn)(－1,1)，故－＝－1，解得p＝2.所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)．(2)由已知得拋物線的焦點(diǎn)F設(shè)點(diǎn)M(x0，y0)，則＝，＝.由已知得，·＝0，即y－8y0＋16＝0，因而y0＝4，M.由|MF|＝5，得＝5.又p＞0，解得p＝2或p＝8.故C的方程為y2＝4x或y2＝16x.[答案]　(1)B　(2)C[解題技法]1．求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)定義法：若題目已給出拋物線的方程(含有未知數(shù)p)，那么只需求出p即可．(2)待定系數(shù)法：若題目未給出拋物線的方程，對于焦點(diǎn)在x軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可統(tǒng)一設(shè)為y2＝ax(a≠0)，a的正負(fù)由題設(shè)來定；焦點(diǎn)在y軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為x2＝ay(a≠0)，這樣就減少了不必要的討論．2．拋物線性質(zhì)的應(yīng)用技巧(1)利用拋物線方程確定及應(yīng)用其焦點(diǎn)、準(zhǔn)線時，關(guān)鍵是將拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)要結(jié)合圖形分析，靈活運(yùn)用平面圖形的性質(zhì)簡化運(yùn)算．[過關(guān)訓(xùn)練]1．(2019·武漢調(diào)研)如圖，過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，則此拋物線方程為(　　)A．y2＝9x　　　　　　 B．y2＝6xC．y2＝3x D．y2＝x解析：選B　如圖分別過點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線的垂線，分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)E，D，設(shè)|BF|＝a，則由已知得：|BC|＝2a，由拋物線定義得：|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因?yàn)?/span>|AE|＝|AF|＝6，|AC|＝6＋3a，2|AE|＝|AC|，所以6＋3a＝12，從而得a＝2，|FC|＝3a＝6，所以p＝|FG|＝|FC|＝3，因此拋物線方程為y2＝6x.2．(2018·合肥模擬)已知拋物線x2＝2py(p＞0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為拋物線上的動點(diǎn)，點(diǎn)M為其準(zhǔn)線上的動點(diǎn)，若△FPM為邊長是4的等邊三角形，則此拋物線的方程為________．解析：△FPM為等邊三角形，則|PM|＝|PF|，由拋物線的定義得PM垂直于拋物線的準(zhǔn)線，設(shè)P，則點(diǎn)M.因?yàn)榻裹c(diǎn)F，△FPM是等邊三角形，所以解得因此拋物線方程為x2＝4y.答案：x2＝4y考點(diǎn)三直線與拋物線的位置關(guān)系[師生共研過關(guān)][典例精析]設(shè)A，B為曲線C：y＝上兩點(diǎn)，A與B的橫坐標(biāo)之和為2.(1)求直線AB的斜率；(2)設(shè)M為曲線C上一點(diǎn)，曲線C在點(diǎn)M處的切線與直線AB平行，且AM⊥BM，求直線AB的方程．[解]　(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝2，故直線AB的斜率k＝＝＝1.(2)由y＝，得y′＝x.設(shè)M(x3，y3)，由題設(shè)知x3＝1，于是M.設(shè)直線AB的方程為y＝x＋m，故線段AB的中點(diǎn)為N(1,1＋m)，|MN|＝.將y＝x＋m代入y＝，得x2－2x－2m＝0.由Δ＝4＋8m＞0，得m＞－，x1,2＝1±.從而|AB|＝|x1－x2|＝2.由題設(shè)知|AB|＝2|MN|，即＝，解得m＝.所以直線AB的方程為y＝x＋.[解題技法]1．直線與拋物線交點(diǎn)問題的解題思路(1)求交點(diǎn)問題，通常解直線方程與拋物線方程組成的方程組．(2)與交點(diǎn)相關(guān)的問題通常借助根與系數(shù)的關(guān)系或用向量法解決．2．解決拋物線的弦及弦中點(diǎn)問題的常用方法(1)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用焦點(diǎn)弦公式，若不過焦點(diǎn)，則必須用一般弦長公式．(2)涉及拋物線的弦長、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問題時，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體代入”等解法．[提醒]　涉及弦的中點(diǎn)、斜率時，一般用“點(diǎn)差法”求解．[過關(guān)訓(xùn)練]1．(2018·全國卷Ⅲ)已知點(diǎn)M(－1,1)和拋物線C：y2＝4x，過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若∠AMB＝90°，則k＝________.解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則∴y－y＝4(x1－x2)，∴k＝＝.設(shè)AB中點(diǎn)為M′(x0，y0)，拋物線的焦點(diǎn)為F，分別過點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線x＝－1的垂線，垂足為A′，B′，則|MM′|＝|AB|＝(|AF|＋|BF|)＝(|AA′|＋|BB′|)．∵M′(x0，y0)為AB中點(diǎn)，∴M為A′B′的中點(diǎn)，∴MM′平行于x軸，∴y1＋y2＝2，∴k＝2.答案：22．已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，拋物線C與直線l1：y＝－x的一個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為8.(1)求拋物線C的方程；(2)不過原點(diǎn)的直線l2與l1垂直，且與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A，B，若線段AB的中點(diǎn)為P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面積．解：(1)易知直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(8，－8)，∴(－8)2＝2p×8，∴2p＝8，∴拋物線C的方程為y2＝8x.(2)直線l2與l1垂直，故可設(shè)直線l2：x＝y＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直線l2與x軸的交點(diǎn)為M.由得y2－8y－8m＝0，Δ＝64＋32m＞0，∴m＞－2.y1＋y2＝8，y1y2＝－8m，∴x1x2＝＝m2.由題意可知OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝m2－8m＝0，∴m＝8或m＝0(舍去)，∴直線l2：x＝y＋8，M(8,0)．故S△FAB＝S△FMB＋S△FMA＝·|FM|·|y1－y2|＝3＝24.