第三課時(shí)　題型上——高考3大題型逐一精研
題型一　定點(diǎn)、定值問題

定點(diǎn)問題
[例1]　已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)F(，0)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的比值為2.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)不經(jīng)過點(diǎn)B(0,1)的直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)M，N，若點(diǎn)B在以線段MN為直徑的圓上，證明直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．
[解]　(1)由題意得，c＝，＝2，a2＝b2＋c2，
∴a＝2，b＝1，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1.
(2)證明：當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋m(m≠1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由消去y可得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
∴Δ＝16(4k2＋1－m2)＞0，x1＋x2＝，x1x2＝.
∵點(diǎn)B在以線段MN為直徑的圓上，∴·＝0.
∵·＝(x1，kx1＋m－1)·(x2，kx2＋m－1)＝(k2＋1)x1x2＋k(m－1)(x1＋x2)＋(m－1)2＝0，
∴(k2＋1)＋k(m－1)＋(m－1)2＝0，
整理，得5m2－2m－3＝0，
解得m＝－或m＝1(舍去)．
∴直線l的方程為y＝kx－.
易知當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不符合題意．
故直線l過定點(diǎn)，且該定點(diǎn)的坐標(biāo)為.

圓錐曲線中定點(diǎn)問題的兩種解法
(1)引進(jìn)參數(shù)法：引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒有關(guān)系，找到定點(diǎn)．
(2)特殊到一般法，根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān)．　　　　
[過關(guān)訓(xùn)練]
1.如圖，已知直線l：y＝kx＋1(k＞0)關(guān)于直線y＝x＋1對(duì)稱的直線為l1，直線l，l1與橢圓E：＋y2＝1分別交于點(diǎn)A，M和A，N，記直線l1的斜率為k1.
(1)求k·k1的值；
(2)當(dāng)k變化時(shí)，試問直線MN是否恒過定點(diǎn)？若恒過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不恒過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．
解：(1)設(shè)直線l上任意一點(diǎn)P(x，y)關(guān)于直線y＝x＋1對(duì)稱的點(diǎn)為P0(x0，y0)，
直線l與直線l1的交點(diǎn)為(0,1)，
∴l(xiāng)：y＝kx＋1，l1：y＝k1x＋1，
k＝，k1＝，由＝＋1，
得y＋y0＝x＋x0＋2，①
由＝－1，得y－y0＝x0－x，②
由①②得
∴k·k1＝
＝＝1.
(2)由得(4k2＋1)x2＋8kx＝0，
設(shè)M(xM，yM)，N(xN，yN)，
∴xM＝，yM＝.
同理可得xN＝＝，yN＝＝.
kMN＝＝＝＝－，
直線MN：y－yM＝kMN(x－xM)，
即y－＝－，
即y＝－x－＋＝－x－.
∴當(dāng)k變化時(shí)，直線MN過定點(diǎn).

定值問題
[例2]　(2019·沈陽模擬)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，離心率為，點(diǎn)P為其上一動(dòng)點(diǎn)，且三角形PF1F2的面積最大值為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)求橢圓C的方程；
(2)若點(diǎn)M，N為C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求常數(shù)m，使·＝m時(shí)，點(diǎn)O到直線MN的距離為定值，求這個(gè)定值．
[解]　(1)當(dāng)點(diǎn)P位于短軸的端點(diǎn)時(shí)，△PF1F2的面積最大，即×2c×b＝，
則有解得
所以橢圓C的方程為＋＝1.
(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1x2＋y1y2＝m，
當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y＝kx＋n，則點(diǎn)O到直線MN的距離d＝ ＝ ，
聯(lián)立消去y，得(4k2＋3)x2＋8knx＋4n2－12＝0, 由Δ＞0得4k2－n2＋3＞0，
則x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以x1x2＋(kx1＋n)(kx2＋n)＝(k2＋1)x1x2＋kn(x1＋x2)＋n2＝m，整理得＝12＋.
因?yàn)閐＝ 為常數(shù)，則m＝0，d＝ ＝，
此時(shí)＝12滿足Δ＞0.
當(dāng)MN⊥x軸時(shí)，由m＝0得kOM＝±1，
聯(lián)立消去y，得x2＝，
點(diǎn)O到直線MN的距離d＝|x|＝亦成立．
綜上可知，當(dāng)m＝0時(shí)，點(diǎn)O到直線MN的距離為定值，這個(gè)定值是.

圓錐曲線中定值問題的特點(diǎn)及兩大解法
(1)特點(diǎn)：待證幾何量不受動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的影響而有固定的值．
(2)兩大解法：
①?gòu)奶厥馊胧?，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；
②引起變量法：其解題流程為

[過關(guān)訓(xùn)練]
2．(2019·昆明調(diào)研)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的焦距為4，P是橢圓C上的點(diǎn)．
(1)求橢圓C的方程；
(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B是橢圓C上不關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，設(shè)＝＋，證明：直線AB的斜率與OD的斜率的乘積為定值．
解：(1)由題意知2c＝4，即c＝2，
則橢圓C的方程為＋＝1，
因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C上，
所以＋＝1，解得a2＝5或a2＝(舍去)，
所以橢圓C的方程為＋y2＝1.
(2)證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2且x1＋x2≠0，
由＋＝，得D(x1＋x2，y1＋y2)，
所以直線AB的斜率kAB＝，
直線OD的斜率kOD＝，
由得(x1＋x2)(x1－x2)＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0，即·＝－，
所以kAB·kOD＝－.
故直線AB的斜率與OD的斜率的乘積為定值－.
題型二　最值、范圍問題

最值問題
[例1]　(2018·南昌模擬)已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過焦點(diǎn)F的直線交C于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，y1y2＝－4.
(1)求拋物線C的方程；
(2)如圖，點(diǎn)B在準(zhǔn)線l上的正投影為E，D是C上一點(diǎn)，且AD⊥EF，求△ABD面積的最小值及此時(shí)直線AD的方程．
[解]　(1)依題意知F，
當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，y1y2＝－p2＝－4，
解得p＝2.
當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)lAB：y＝k(k≠0)，
由消去x并整理，得y2－y－p2＝0，
則y1y2＝－p2，
由y1y2＝－4，得p2＝4，解得p＝2.
綜上所述，拋物線C的方程為y2＝4x.
(2)設(shè)D(x0，y0)，B，
則E(－1，t)，又由y1y2＝－4，可得A.
因?yàn)閗EF＝－，AD⊥EF，所以kAD＝，
則直線lAD的方程為y＋＝，
化簡(jiǎn)得2x－ty－4－＝0.
由消去x并整理，得y2－2ty－8－＝0，Δ＝(－2t)2－4＝4t2＋＋32＞0恒成立，
所以y1＋y0＝2t，y1y0＝－8－.
于是|AD|＝|y1－y0|＝＝ ，
設(shè)點(diǎn)B到直線AD的距離為d，則d＝＝.
所以S△ABD＝|AD|·d＝≥16，
當(dāng)且僅當(dāng)t4＝16，即t＝±2時(shí)取等號(hào)，即△ABD面積的最小值為16.
當(dāng)t＝2時(shí)，直線AD的方程為x－y－3＝0；當(dāng)t＝－2時(shí)，直線AD的方程為x＋y－3＝0.

圓錐曲線中的最值問題類型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：一是利用幾何法，即通過利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解；二是利用代數(shù)法，即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為某個(gè)(些)參數(shù)的函數(shù)(解析式)，然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進(jìn)行求解．　　　　
[過關(guān)訓(xùn)練]
1．(2018·安康質(zhì)檢)已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1和F2，由M(－a，b)，N(a，b)，F(xiàn)2和F1這4個(gè)點(diǎn)構(gòu)成了一個(gè)高為，面積為3的等腰梯形．
(1)求橢圓的方程；
(2)過點(diǎn)F1的直線和橢圓交于A，B兩點(diǎn)，求△F2AB面積的最大值．
解：(1)由已知條件，得b＝，且×＝3，
∴a＋c＝3.又a2－c2＝3，∴a＝2，c＝1，
∴橢圓的方程為＋＝1.
(2)顯然，直線的斜率不能為0，
設(shè)直線的方程為x＝my－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
聯(lián)立方程，得消去x得，
(3m2＋4)y2－6my－9＝0.
∵直線過橢圓內(nèi)的點(diǎn)，
∴無論m為何值，直線和橢圓總相交．
∴y1＋y2＝，y1y2＝－.
∴＝|F1F2||y1－y2|＝|y1－y2|
＝＝12
＝4＝4，
令t＝m2＋1≥1，設(shè)f(t)＝t＋，易知t∈時(shí)，函數(shù)f(t)單調(diào)遞減，t∈時(shí)，函數(shù)f(t)單調(diào)遞增，
∴當(dāng)t＝m2＋1＝1，即m＝0時(shí)，f(t)取得最小值，f(t)min＝，此時(shí)，取得最大值3.

范圍問題
[例2]　(2019·合肥模擬)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，且以原點(diǎn)為圓心，橢圓的焦距為直徑的圓與直線xsin θ＋ycos θ－1＝0相切(θ為常數(shù))．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2作直線l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，求·的取值范圍．
[解]　(1)由題意，得解得
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1.
(2)由(1)得F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)．
①若直線l的斜率不存在，則直線l⊥x軸，直線l的方程為x＝1，不妨記M，N，
∴＝，＝，
故·＝.
②若直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝k(x－1)，
由消去y得，
(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，
設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，
則x1＋x2＝，x1x2＝.①
＝(x1＋1，y1)，＝(x2＋1，y2)，
則·＝(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝(x1＋1)(x2＋1)＋k(x1－1)·k(x2－1)＝(1＋k2)x1x2＋(1－k2)(x1＋x2)＋1＋k2，
結(jié)合①可得·＝＋＋1＋k2＝＝－，
由k2≥0可得·∈.
綜上可知，·的取值范圍是.

解決圓錐曲線中的取值范圍問題應(yīng)考慮的五個(gè)方面
(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；
(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系；
(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；
(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；
(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍．　　　　
[過關(guān)訓(xùn)練]
2．(2019·惠州調(diào)研)如圖，橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的右頂點(diǎn)為A(2,0)，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過點(diǎn)A且斜率為的直線與y軸交于點(diǎn)P，與橢圓交于另一個(gè)點(diǎn)B，且點(diǎn)B在x軸上的射影恰好為點(diǎn)F1.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點(diǎn)P且斜率大于的直線與橢圓交于M，N兩點(diǎn)(|PM|＞|PN|)，若S△PAM∶S△PBN＝λ，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．
解：(1)因?yàn)锽F1⊥x軸，所以點(diǎn)B，
所以解得
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是＋＝1.
(2)因?yàn)椋剑剑溅?＝(λ＞2)，
所以＝－.
由(1)可知P(0，－1)，
設(shè)直線MN的方程為y＝kx－1，
M(x1，y1)，N(x2，y2)，
聯(lián)立方程，得
化簡(jiǎn)得，(4k2＋3)x2－8kx－8＝0.
得(*)
又＝(x1，y1＋1)，＝(x2，y2＋1)，有x1＝－x2，
將x1＝－x2代入(*)可得，＝.
因?yàn)閗＞，所以＝∈(1,4)，
則1＜＜4且λ＞2，解得4＜λ＜4＋2.
綜上所述，實(shí)數(shù)λ的取值范圍為(4,4＋2)．
題型三　證明、探索性問題


證明問題
[例1]　(2018·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)橢圓C：＋y2＝1的右焦點(diǎn)為F，過F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0)．
(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線AM的方程；
(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：∠OMA＝∠OMB.
[解]　(1)由已知得F(1,0)，直線l的方程為x＝1.
則點(diǎn)A的坐標(biāo)為或.
又M(2,0)，
所以直線AM的方程為y＝－x＋或y＝x－，
即x＋y－2＝0或x－y－2＝0.
(2)證明：當(dāng)l與x軸重合時(shí)，∠OMA＝∠OMB＝0°.
當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，OM為AB的垂直平分線，
所以∠OMA＝∠OMB.
當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為
y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1＜，x2＜，直線MA，MB的斜率之和為
kMA＋kMB＝＋.
由y1＝kx1－k，y2＝kx2－k，
得kMA＋kMB＝.
將y＝k(x－1)代入＋y2＝1，
得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
則2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k
＝＝0.
從而kMA＋kMB＝0，故MA，MB的傾斜角互補(bǔ)．
所以∠OMA＝∠OMB.綜上，∠OMA＝∠OMB成立．

圓錐曲線中證明問題，常見位置關(guān)系方面的，如證明相切、垂直、過定點(diǎn)等；數(shù)量關(guān)系方面的，如存在定值、恒成立等．在熟悉圓錐曲線的定義和性質(zhì)的前提下，要多采用直接法證明，但有時(shí)也會(huì)用到反證法．　　　　
[過關(guān)訓(xùn)練]
1．(2018·全國(guó)卷Ⅲ)已知斜率為k的直線l與橢圓C：＋＝1交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M(1，m)(m＞0)．
(1)證明：k＜－；
(2)設(shè)F為C的右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且＋＋＝0.證明：||，||，||成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差．
證明：(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則＋＝1，＋＝1.
兩式相減，并由＝k得＋·k＝0.
由題設(shè)知＝1，＝m，于是k＝－.①
由題設(shè)得0＜m＜，故k＜－.
(2)由題意得F(1,0)．設(shè)P(x3，y3)，
則(x3－1，y3)＋(x1－1，y1)＋(x2－1，y2)＝(0,0)．
由(1)及題設(shè)得x3＝3－(x1＋x2)＝1，
y3＝－(y1＋y2)＝－2m＜0.
又點(diǎn)P在C上，所以m＝，
從而P，||＝，
于是||＝＝＝2－.
同理||＝2－.
所以||＋||＝4－(x1＋x2)＝3.
故2||＝||＋||，
即||，||，||成等差數(shù)列．
設(shè)該數(shù)列的公差為d，
則2|d|＝|||－|||＝|x1－x2|
＝ .②
將m＝代入①得k＝－1，
所以l的方程為y＝－x＋，
代入C的方程，并整理得7x2－14x＋＝0.
故x1＋x2＝2，x1x2＝，代入②解得|d|＝.
所以該數(shù)列的公差為或－.


探索性問題
[例2]　(2019·合肥質(zhì)檢)
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)F(－1，0)，過直線l：x＝－2右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)P作PA⊥l于點(diǎn)A，∠APF的平分線交x軸于點(diǎn)B，|PA|＝|BF|.
(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
(2)過點(diǎn)F的直線q交曲線C于M，N，試問：x軸正半軸上是否存在點(diǎn)E，直線EM，EN分別交直線l于R，S兩點(diǎn)，使∠RFS為直角？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．
[解]　(1)設(shè)P(x，y)，由平面幾何知識(shí)得＝，
即＝，化簡(jiǎn)得＋y2＝1，
所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為＋y2＝1(x≠)．
(2)假設(shè)滿足條件的點(diǎn)E(n,0)(n＞0)存在，設(shè)直線q的方程為x＝my－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，R(－2，y3)，S(－2，y4)．聯(lián)立消去x，得(m2＋2)y2－2my－1＝0，y1＋y2＝，y1y2＝－，
x1x2＝(my1－1)(my2－1)＝m2y1y2－m(y1＋y2)＋1＝－－＋1＝，
x1＋x2＝m(y1＋y2)－2＝－2＝－，
由條件知＝，y3＝－，
同理y4＝－，
kRF＝＝－y3，kSF＝－y4.
因?yàn)椤蟁FS為直角，所以y3y4＝－1，
所以(2＋n)2y1y2＝－[x1x2－n(x1＋x2)＋n2]，
(2＋n)2＝＋＋n2，
所以(n2－2)(m2＋1)＝0，n＝，
故滿足條件的點(diǎn)E存在，其坐標(biāo)為(，0)．

存在性問題的求解方法
(1)存在性問題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化．其步驟為：假設(shè)滿足條件的元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實(shí)數(shù)解，則元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))不存在．
(2)反證法與驗(yàn)證法也是求解存在性問題常用的方法．　　　　
[過關(guān)訓(xùn)練]
2．(2019·福州四校聯(lián)考)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為P，△PF1F2內(nèi)切圓的半徑為，設(shè)過點(diǎn)F2的直線l被橢圓C截得的線段為RS，當(dāng)l⊥x軸時(shí)，|RS|＝3.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)在x軸上是否存在一點(diǎn)T，使得當(dāng)l變化時(shí)，總有TS與TR所在直線關(guān)于x軸對(duì)稱？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
解：(1)由內(nèi)切圓的性質(zhì)，
得×2c×b＝×(2a＋2c)×，得＝.
將x＝c代入＋＝1，得y＝±，所以＝3.
又a2＝b2＋c2，所以a＝2，b＝，
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.
(2)當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，顯然x軸上任意一點(diǎn)T都滿足TS與TR所在直線關(guān)于x軸對(duì)稱．
當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，假設(shè)存在T(t,0)滿足條件，設(shè)l的方程為y＝k(x－1)，R(x1，y1)，S(x2，y2)．
聯(lián)立
得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
由根與系數(shù)的關(guān)系得①
其中Δ＞0恒成立，
由TS與TR所在直線關(guān)于x軸對(duì)稱，得kTS＋kTR＝0(顯然TS，TR的斜率存在)，
即＋＝0.②
因?yàn)镽，S兩點(diǎn)在直線y＝k(x－1)上，
所以y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，代入②得

＝＝0，
即2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0，③
將①代入③得
＝＝0，④
則t＝4，綜上所述，存在T(4,0)，使得當(dāng)l變化時(shí)，總有TS與TR所在直線關(guān)于x軸對(duì)稱．

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