第六節(jié)雙曲線

1．雙曲線的定義
平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于非零?常數(shù)(小于|F1F2|)?的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a＞0，c＞0.
2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
圖形


性 質(zhì)
范圍
x≤－a或x≥a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
對稱性
對稱軸：坐標(biāo)軸
對稱中心：原點
頂點
頂點坐標(biāo)：A1(－a,0)，A2(a,0)
頂點坐標(biāo)：A1(0，－a)，A2(0，a)
漸近線
y＝±x
y＝±x
離心率
e＝，e∈(1，＋∞)
a，b，c的關(guān)系
c2＝a2＋b2
實虛軸
線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長|A1A2|＝2a；
線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|＝2b；
a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長

若將雙曲線的定義中的“差的絕對值等于常數(shù)”中的“絕對值”去掉，則點的集合是雙曲線的一支，具體是左支還是右支視情況而定．
設(shè)雙曲線上的點M到兩焦點F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對值為2a，則0＜2a＜|F1F2|，這一條件不能忽略．
①若2a＝|F1F2|，則點M的軌跡是分別以F1，F(xiàn)2為端點的兩條射線；
②若2a＞|F1F2|，則點M的軌跡不存在；
③若2a＝0，則點M的軌跡是線段F1F2的垂直平分線.
[熟記常用結(jié)論]
1．雙曲線的焦點到其漸近線的距離為b.
2．若P是雙曲線右支上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點，則|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
3．同支的焦點弦中最短的為通徑(過焦點且垂直于長軸的弦)，其長為；異支的弦中最短的為實軸，其長為2a.
4．若P是雙曲線上不同于實軸兩端點的任意一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點，則S△PF1F2＝，其中θ為∠F1PF2.
5．若P是雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)右支上不同于實軸端點的任意一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點，I為△PF1F2內(nèi)切圓的圓心，則圓心I的橫坐標(biāo)為定值a.
6．等軸雙曲線
(1)定義：中心在原點，以坐標(biāo)軸為對稱軸，實半軸長與虛半軸長相等的雙曲線叫做等軸雙曲線．
(2)性質(zhì)：①a＝b；②e＝；③漸近線互相垂直；④等軸雙曲線上任意一點到中心的距離是它到兩焦點距離的等比中項．
7．共軛雙曲線
(1)定義：如果一條雙曲線的實軸和虛軸分別是另一條雙曲線的虛軸和實軸，那么這兩條雙曲線互為共軛雙曲線．
(2)性質(zhì)：①它們有共同的漸近線；②它們的四個焦點共圓；③它們的離心率的倒數(shù)的平方和等于1.
[小題查驗基礎(chǔ)]
一、判斷題(對的打“√”，錯的打“×”)
(1)平面內(nèi)到點F1(0,4)，F(xiàn)2(0，－4)距離之差的絕對值等于8的點的軌跡是雙曲線．(　　)
(2)方程－＝1(mn＞0)表示焦點在x軸上的雙曲線．(　　)
(3)雙曲線方程－＝λ(m＞0，n＞0，λ≠0)的漸近線方程是－＝0，即±＝0.(　　)
(4)若雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)與－＝1(a＞0，b＞0)的離心率分別是e1，e2，則＋＝1.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
二、選填題
1．雙曲線2x2－y2＝8的實軸長是(　　)
A．2　　　　　　　 B．2
C．4 D．4
解析：選C　雙曲線2x2－y2＝8的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1，故實軸長為4.
2．若雙曲線方程為x2－2y2＝1，則它的右焦點坐標(biāo)為(　　)
A. B.
C. D．(，0)
解析：選C　∵原方程可化為－＝1，
∴a2＝1，b2＝，∴c2＝a2＋b2＝，
∴右焦點坐標(biāo)為.
3．若方程－＝1表示雙曲線，則m的取值范圍是
________.
解析：因為方程－＝1表示雙曲線，
所以(2＋m)(m＋1)＞0，即m＞－1或m＜－2.
答案：(－∞，－2)∪(－1，＋∞)
4．若雙曲線x2－＝1的離心率為，則實數(shù)m＝________.
解析：由已知可得a＝1，c＝，
所以e＝＝＝，解得m＝2.
答案：2
5．雙曲線C的焦點分別為(－6,0)，(6,0)，且經(jīng)過點(－5,2)，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________________．
解析：由題意得2a＝|－|＝4，所以a＝2，又c＝6，
所以b2＝c2－a2＝36－20＝16，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1.
答案：－＝1



[題組練透]
1．(2019·綿陽聯(lián)考)已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的漸近線方程為y＝±x，且其右焦點為(5,0)，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　)
A.－＝1　　　　　　　 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：選B　由題意得＝，c2＝a2＋b2＝25，所以a＝4，b＝3，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1.
2．與橢圓＋y2＝1共焦點且過點P(2,1)的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　)
A.－y2＝1 B.－y2＝1
C.－＝1 D．x2－＝1
解析：選B　法一：橢圓＋y2＝1的焦點坐標(biāo)是(±，0)．
設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1(a＞0，b＞0)，
因為雙曲線過點P(2,1)，
所以－＝1，又a2＋b2＝3，
解得a2＝2，b2＝1，所以所求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程是－y2＝1.
法二：設(shè)所求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(1＜λ＜4)，
將點P(2,1)的坐標(biāo)代入可得＋＝1，
解得λ＝2(λ＝－2舍去)，
所以所求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為－y2＝1.
3．過雙曲線C：－＝1(a＞b＞0)的右頂點作x軸的垂線，與C的一條漸近線相交于點A.若以C的右焦點F為圓心、半徑為4的圓經(jīng)過A，O兩點(O為坐標(biāo)原點)，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：選A　因為漸近線y＝x與直線x＝a交于點A(a，b)，c＝4且＝4，解得a2＝4，b2＝12，因此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1.
4．經(jīng)過點P(3,2)，Q(－6，7)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________．
解析：設(shè)雙曲線方程為mx2＋ny2＝1(mn＜0)，因為所求雙曲線經(jīng)過點P(3,2)，Q(－6，7)，所以解得故所求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1.
答案：－＝1
5．焦點在x軸上，焦距為10，且與雙曲線－x2＝1有相同漸近線的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是________________．
解析：設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－x2＝－λ(λ＞0)，即－＝1，則有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1.
答案：－＝1
[名師微點]

求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的2種方法
(1)待定系數(shù)法：設(shè)出雙曲線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)已知條件，列出參數(shù)a，b，c的方程并求出a，b，c的值．與雙曲線－＝1有相同漸近線時，可設(shè)所求雙曲線方程為－＝λ(λ≠0)．
(2)定義法：依定義得出距離之差的等量關(guān)系式，求出a的值，由定點位置確定c的值．
[提醒]　求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時，若焦點位置不確定，要注意分類討論．也可以設(shè)雙曲線方程為mx2＋ny2＝1(mn＜0)求解．(如第4題)

[典例精析]
(1)已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：(x－3)2＋y2＝9，動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為____________________．
(2)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點，點P在C上，|PF1|＝2|PF2|，則cos∠F1PF2＝________.
(3)已知F是雙曲線－＝1的左焦點，A(1,4)，P是雙曲線右支上的一動點，則|PF|＋|PA|的最小值為________．
[解析]　(1)如圖所示，設(shè)動圓M與圓C1及圓C2分別外切于點A和點B，根據(jù)兩圓外切的充要條件，得
|MC1|－|AC1|＝|MA|，
|MC2|－|BC2|＝|MB|.
因為|MA|＝|MB|，
所以|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2＜6.
這表明動點M到兩定點C2，C1的距離的差是常數(shù)2且小于|C1C2|.
根據(jù)雙曲線的定義知，動點M的軌跡為雙曲線的左支(點M到C2的距離大，到C1的距離小)，且a＝1，c＝3，則b2＝8，設(shè)點M的坐標(biāo)為(x，y)，則其軌跡方程為x2－＝1(x≤－1)．
(2)∵由雙曲線的定義有|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
|PF1|＝2|PF2|，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，
則cos∠F1PF2
＝
＝＝.
(3)因為F是雙曲線－＝1的左焦點，所以F(－4,0)，設(shè)其右焦點為H(4,0)，則由雙曲線的定義可得|PF|＋|PA|＝2a＋|PH|＋|PA|≥2a＋|AH|＝4＋＝4＋5＝9.
[答案]　(1)x2－＝1(x≤－1)　(2)　(3)9
[解題技法]
雙曲線定義的應(yīng)用策略
(1)根據(jù)動點與兩定點的距離的差判斷動點的軌跡是否為雙曲線．
(2)利用雙曲線的定義解決與雙曲線的焦點有關(guān)的問題，如最值問題、距離問題．
(3)利用雙曲線的定義解決問題時應(yīng)注意三點：①距離之差的絕對值；②2a＜|F1F2|；③焦點所在坐標(biāo)軸的位置．
[過關(guān)訓(xùn)練]
1．(2019·唐山模擬)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線－y2＝1的兩個焦點，P在雙曲線上，且滿足∠F1PF2＝90°，則△F1PF2的面積為(　　)
A．1　　　　　　　　　 B.
C．2 D.
解析：選A　不妨設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，則由雙曲線的定義可知||PF1|－|PF2||＝|m－n|＝4.又因為∠F1PF2＝90°，所以|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝20，即m2＋n2＝20.又||PF1|－|PF2||2＝|m－n|2＝16，所以mn＝2.所以△F1PF2的面積為S＝mn＝1，故選A.
2．已知△ABC的頂點A(－5,0)，B(5,0)，△ABC內(nèi)切圓的圓心在直線x＝2上，則頂點C的軌跡方程是(　　)
A.－＝1(x＞2) B.－＝1(y＞2)
C.－＝1 D.－＝1
解析：選A　如圖，△ABC與內(nèi)切圓的切點分別為G，E，F(xiàn).
|AG|＝|AE|＝7，|BF|＝|BG|＝3，|CE|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝7－3＝4.
根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以A，B為焦點，實軸長為4的雙曲線的右支，方程為－＝1(x＞2)．

[考法全析]
考法(一)　求雙曲線的離心率(或范圍)
[例1]　(1)已知點F是雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過F作垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，若△ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是(　　)
A．(1，＋∞)　　　　　　 B．(1,2)
C．(2,1＋) D．(1,1＋)
(2)設(shè)雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左焦點為F，直線4x－3y＋20＝0過點F且與雙曲線C在第二象限的交點為P，O為原點，|OP|＝|OF|，則雙曲線C的離心率為(　　)
A．5 B.
C. D.
[解析]　(1)若△ABE是銳角三角形，只需∠AEF＜45°，在Rt△AFE中，|AF|＝，|FE|＝a＋c，則＜a＋c，即b2＜a2＋ac，即2a2－c2＋ac＞0，則e2－e－2＜0，解得－1＜e＜2，又e＞1，則1＜e＜2，故選B.
(2)根據(jù)直線4x－3y＋20＝0與x軸的交點F為(－5,0)，可知半焦距c＝5，
設(shè)雙曲線C的右焦點為F2，連接PF2，根據(jù)|OF2|＝|OF|且|OP|＝|OF|可得，△PFF2為直角三角形，
如圖，過點O作OA垂直于直線4x－3y＋20＝0，垂足為A，則易知OA為△PFF2的中位線，
又原點O到直線4x－3y＋20＝0的距離d＝4，所以|PF2|＝2d＝8，|PF|＝＝6，故結(jié)合雙曲線的定義可知|PF2|－|PF|＝2a＝2，所以a＝1，故e＝＝5.
[答案]　(1)B　(2)A
考法(二)　求雙曲線的漸近線
[例2]　(2019·武漢調(diào)研)已知雙曲線C：－＝1(m＞0，n＞0)的離心率與橢圓＋＝1的離心率互為倒數(shù)，則雙曲線C的漸近線方程為(　　)
A．4x±3y＝0
B．3x±4y＝0
C．4x±3y＝0或3x±4y＝0
D．4x±5y＝0或5x±4y＝0
[解析]　由題意知，橢圓中a2＝25，b2＝16，∴橢圓的離心率e＝ ＝，
∴雙曲線的離心率為 ＝，∴＝，∴雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±x，即4x±3y＝0.故選A.
[答案]　A
考法(三)　求雙曲線的方程
[例3]　已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左焦點為F，離心率為.若經(jīng)過F和P(0,4)兩點的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
[解析]　由離心率為，可知a＝b，c＝a，
所以F(－a,0)，
由題意知kPF＝＝＝1，
所以a＝4，解得a＝2，
所以雙曲線的方程為－＝1.
[答案]　B
[規(guī)律探求]
看個性
考法(一)：求雙曲線的離心率時，將提供的雙曲線的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于雙曲線基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(或不等式)，通過解方程(或不等式)求得離心率的值(或范圍)；
考法(二)：求漸近線時，利用c2＝a2＋b2轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，b的方程．雙曲線漸近線的斜率與離心率的關(guān)系：k＝±＝±＝± ＝±；
考法(三)：求雙曲線的方程時，將已知條件中的雙曲線的幾何性質(zhì)和幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，b，c的關(guān)系式，結(jié)合c2＝a2＋b2，列出未知參數(shù)的方程，解方程后即可求出雙曲線方程
找共性
求解雙曲線的幾何性質(zhì)問題，其通用的方法是利用方程思想解題，其思維流程是：


[過關(guān)訓(xùn)練]
1．(2018·全國卷Ⅱ)雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為，則其漸近線方程為(　　)
A．y＝±x　　　　　　　 B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：選A　∵e＝＝＝，
∴a2＋b2＝3a2，∴b＝a.
∴漸近線方程為y＝±x.
2．(2018·全國卷Ⅲ)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，O是坐標(biāo)原點．過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P.若|PF1|＝|OP|，則C的離心率為(　　)
A. B.2
C. D.
解析：選C　不妨設(shè)一條漸近線的方程為y＝x，
則F2到y(tǒng)＝x的距離d＝＝b.
在Rt△F2PO中，|F2O|＝c，
所以|PO|＝a，所以|PF1|＝a，
又|F1O|＝c，所以在△F1PO與Rt△F2PO中，
根據(jù)余弦定理得
cos∠POF1＝＝－cos∠POF2＝－，
即3a2＋c2－(a)2＝0，得3a2＝c2，所以e＝＝.
3．已知M(x0，y0)是雙曲線C：－y2＝1上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線C的兩個焦點．若·＜0，則y0的取值范圍是(　　)
A. B.
C. D.
解析：選A　由題意知a＝，b＝1，c＝，
設(shè)F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，
則＝(－－x0，－y0)， ＝(－x0，－y0)．
∵·＜0，
∴(－－x0)(－x0)＋y＜0，
即x－3＋y＜0.
∵點M(x0，y0)在雙曲線C上，
∴－y＝1，即x＝2＋2y，
∴2＋2y－3＋y＜0，∴－＜y0＜.

英語朗讀寶
相關(guān)資料 更多
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部