第二節(jié)導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用
1．函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系
在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)函數(shù)f(x)，f′(x)在(a，b)任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0.f′(x)≥0?f(x)在(a，b)上為增函數(shù)．f′(x)≤0?
(a，b)上為減函數(shù)．
2．函數(shù)的極值
(1)函數(shù)的極小值：
函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，；而且在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，則點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值．
(2)函數(shù)的極大值：
函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b附近的其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f′(b)＝0；而且在點(diǎn)x＝b附近的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，則點(diǎn)b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值．
極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值．
3．函數(shù)的最值
(1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．
(2)若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值．
(3)開(kāi)區(qū)間上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)無(wú)最值．,
(1)f′(x)＞0(＜0)是f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增(減)的充分不必要條件．
(2)f′(x)≥0(≤0)是f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增(減)的必要不充分條件．
(3)由f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增(減)可得f′(x)≥0(≤0)在該區(qū)間內(nèi)恒成立，而不是f′(x)＞0(＜0)恒成立，“＝”不能少，必要時(shí)還需對(duì)“＝”進(jìn)行檢驗(yàn).
f′(x0)＝0是x0為f(x)的極值點(diǎn)的必要不充分條件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是極值點(diǎn)．
(1)極值點(diǎn)不是點(diǎn)，若函數(shù)f(x)在x1處取得極大值，則x1為極大值點(diǎn)，極大值為f(x1)；在x2處取得極小值，則x2為極小值點(diǎn)，極小值為f(x2)．極大值與極小值之間無(wú)確定的大小關(guān)系．
(2)極值一定在區(qū)間內(nèi)部取得，有極值的函數(shù)一定不是單調(diào)函數(shù).
[熟記常用結(jié)論]
(1)若所求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不止一個(gè)，這些區(qū)間之間不能用并集“∪”及“或”連接，只能用“，”“和”字隔開(kāi)．
(2)若函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，則相應(yīng)的極值一定是函數(shù)的最值．
(3)極值只能在定義域內(nèi)取得(不包括端點(diǎn))，最值卻可以在端點(diǎn)處取得，有極值的不一定有最值，有最值的也未必有極值；極值有可能成為最值，非常數(shù)可導(dǎo)函數(shù)最值只要不在端點(diǎn)處取，則必定在極值處?。?br /> [小題查驗(yàn)基礎(chǔ)]
一、判斷題(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”)
(1)若函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增，那么一定有f′(x)＞0.(　　)
(2)如果函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f′(x)＝0，則f(x)在此區(qū)間內(nèi)沒(méi)有單調(diào)性．(　　)
(3)函數(shù)的極大值不一定比極小值大．(　　)
(4)對(duì)可導(dǎo)函數(shù)f(x)，f′(x0)＝0是x0點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
二、選填題
1．函數(shù)f(x)＝cos x－x在(0，π)上的單調(diào)性是(　　)
A．先增后減　　　　　　　 B．先減后增
C．增函數(shù) D．減函數(shù)
解析：選D　∵f′(x)＝－sin x－1＜0，
∴f(x)在(0，π)上是減函數(shù)．
2．函數(shù)f(x)＝(x－3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是(　　)
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
解析：選D　函數(shù)f(x)＝(x－3)ex的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)＝[(x－3)ex]′＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex.由函數(shù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，得當(dāng)f′(x)＞0時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，此時(shí)由不等式f′(x)＝(x－2)ex＞0，解得x＞2.
3．已知函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)的極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(　　)

A．1　　　　 B．2　　　　　C．3　　　　　D．4

解析：選A　如圖，在區(qū)間(a，b)內(nèi)，f′(c)＝0，且在x＝c附近的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，所以在區(qū)間(a，b)內(nèi)只有1個(gè)極小值點(diǎn)，故選A.
4．函數(shù)f(x)＝2x3－2x2在區(qū)間[－1,2]上的最大值是________．
解析：f′(x)＝6x2－4x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝.
∵f(－1)＝－4，f(0)＝0，f＝－，f(2)＝8，
∴函數(shù)f(x)＝2x3－2x2在區(qū)間[－1,2]上的最大值是8.
答案：8
5．已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函數(shù)，則a的最大值是________．
解析：f′(x)＝3x2－a，由題意知f′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a≤3x2在[1，＋∞)上恒成立，又x∈[1，＋∞)時(shí)，3x2≥3，∴a≤3，即a的最大值是3.
答案：3
第一課時(shí)　導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

[題組練透]
1．已知函數(shù)f(x)＝xln x，則f(x)(　　)
A．在(0，＋∞)上單調(diào)遞增
B．在(0，＋∞)上單調(diào)遞減
C．在上單調(diào)遞增
D．在上單調(diào)遞減
解析：選D　因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝xln x的定義域?yàn)?0，＋∞)，
所以f′(x)＝ln x＋1(x＞0)，
當(dāng)f′(x)＞0時(shí)，解得x＞，
即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為；
當(dāng)f′(x)＜0時(shí)，解得0＜x＜，
即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故選D.
2．若冪函數(shù)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)，則函數(shù)g(x)＝exf(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)_______．
解析：設(shè)冪函數(shù)f(x)＝xa，因?yàn)閳D象過(guò)點(diǎn)，
所以＝a，a＝2，
所以f(x)＝x2，故g(x)＝exx2，
則g′(x)＝exx2＋2exx＝ex(x2＋2x)，
令g′(x)＜0，得－2＜x＜0，
故函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－2,0)．
答案：(－2,0)
3．(2018·開(kāi)封調(diào)研)已知定義在區(qū)間(－π，π)上的函數(shù)f(x)＝xsin x＋cos x，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是___________________________________________________________．
解析：f′(x)＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x.
令f′(x)＝xcos x＞0(x∈(－π，π))，
解得－π＜x＜－或0＜x＜，
即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是和.
答案：和
[名師微點(diǎn)]
利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的3種方法
(1)當(dāng)導(dǎo)函數(shù)不等式可解時(shí)，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出單調(diào)區(qū)間．
(2)當(dāng)方程f′(x)＝0可解時(shí)，解出方程的實(shí)根，按實(shí)根把函數(shù)的定義域劃分成若干個(gè)區(qū)間，確定各區(qū)間f′(x)的符號(hào)，從而確定單調(diào)區(qū)間．
(3)若導(dǎo)函數(shù)的方程、不等式都不可解，根據(jù)f′(x)的結(jié)構(gòu)特征，利用其圖象與性質(zhì)確定f′(x)的符號(hào)，從而確定單調(diào)區(qū)間．

[典例精析]
(2018·全國(guó)卷Ⅰ節(jié)選)已知函數(shù)f(x)＝－x＋aln x，討論f(x)的單調(diào)性．
[解]　f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，
f′(x)＝－－1＋＝－.
①當(dāng)a≤2時(shí)，則f′(x)≤0，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝2，x＝1時(shí)，f′(x)＝0，
所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．
②當(dāng)a＞2時(shí)，令f′(x)＝0，
得x＝或x＝.
當(dāng)x∈∪時(shí)，
f′(x)＜0；
當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)＞0.
所以f(x)在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
綜合①②可知，當(dāng)a≤2時(shí)，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；當(dāng)a＞2時(shí)，f(x)在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
[解題技法]
含參函數(shù)單調(diào)性的求法
此類問(wèn)題中，導(dǎo)數(shù)的解析式通過(guò)化簡(jiǎn)變形后，通常可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)二次函數(shù)的含參問(wèn)題．對(duì)于二次三項(xiàng)式含參問(wèn)題，有如下處理思路：
(1)首先考慮二次三項(xiàng)式是否存在零點(diǎn)，這里涉及對(duì)判別式Δ≤0和Δ＞0分類討論，即“有無(wú)實(shí)根判別式，兩種情形需知曉”．
(2)如果二次三項(xiàng)式能因式分解，這表明存在零點(diǎn)，邏輯分類有兩種情況，需要考慮首項(xiàng)系數(shù)是否含有參數(shù)．如果首項(xiàng)系數(shù)有參數(shù)，就按首項(xiàng)系數(shù)為零、為正、為負(fù)進(jìn)行討論；如果首項(xiàng)系數(shù)無(wú)參數(shù)，只需討論兩個(gè)根x1，x2的大小，即“首項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)，先論系數(shù)零正負(fù)；首項(xiàng)系數(shù)無(wú)參數(shù)，根的大小定勝負(fù)”．
(3)注意：討論兩個(gè)根x1，x2的大小時(shí)，一定要結(jié)合函數(shù)定義域進(jìn)行討論，考慮兩根是否在定義域中，即“定義域，緊跟蹤，兩根是否在其中”．

[過(guò)關(guān)訓(xùn)練]
已知函數(shù)g(x)＝ln x＋ax2＋bx，其中g(shù)(x)的函數(shù)圖象在點(diǎn)(1，g(1))處的切線平行于x軸．
(1)確定a與b的關(guān)系；
(2)若a≥0，試討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性．
解：(1)g′(x)＝＋2ax＋b(x＞0)．
由函數(shù)g(x)的圖象在點(diǎn)(1，g(1))處的切線平行于x軸，
得g′(1)＝1＋2a＋b＝0，所以b＝－2a－1.
(2)由(1)得
g′(x)＝＝.
因?yàn)楹瘮?shù)g(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，
所以當(dāng)a＝0時(shí)，g′(x)＝－.
由g′(x)＞0，得0＜x＜1，由g′(x)＜0，得x＞1，
即函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減．
當(dāng)a＞0時(shí)，令g′(x)＝0，得x＝1或x＝，
若＜1，即a＞，由g′(x)＞0，得x＞1或0＜x＜，由g′(x)＜0，得＜x＜1，
即函數(shù)g(x)在，(1，＋∞)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
若＞1，即0＜a＜，由g′(x)＞0，得x＞或0＜x＜1，
由g′(x)＜0，得1＜x＜，
即函數(shù)g(x)在(0,1)，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
若＝1，即a＝，在(0，＋∞)上恒有g(shù)′(x)≥0，
即函數(shù)g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．
綜上可得，當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減；
當(dāng)0＜a＜時(shí)，函數(shù)g(x)在(0,1)，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)a＝時(shí)，函數(shù)g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞時(shí)，函數(shù)g(x)在，(1，＋∞)上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減．

[典例精析]
(1)若函數(shù)f(x)＝x－sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)單調(diào)遞增，則a的取值范圍是________．
(2)若函數(shù)h(x)＝ln x－ax2－2x(a≠0)在[1,4]上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為_(kāi)_______．
[解析]　(1)函數(shù)f(x)＝x－sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)單調(diào)遞增，等價(jià)于f′(x)＝1－cos 2x＋acos x＝－cos2x＋acos x＋≥0在(－∞，＋∞)恒成立．設(shè)cos x＝t，則g(t)＝－t2＋at＋≥0在[－1,1]恒成立，所以解得－≤a≤.
(2)因?yàn)閔(x)在[1,4]上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)x∈[1,4]時(shí)，h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，
即a≥－恒成立．
由(1)知G(x)＝－，
所以a≥G(x)max，而G(x)＝2－1，
因?yàn)閤∈[1,4]，所以∈，
所以G(x)max＝－(此時(shí)x＝4)，
所以a≥－，又因?yàn)閍≠0，
所以a的取值范圍是∪(0，＋∞)．
答案：(1)　(2)∪(0，＋∞)

　　
1．(變條件)若本例(2)條件變?yōu)椤昂瘮?shù)h(x)在[1,4]上單調(diào)遞增”，則a的取值范圍為_(kāi)_______．
解析：因?yàn)閔(x)在[1,4]上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x∈[1,4]時(shí)，h′(x)≥0恒成立，即a≤－恒成立，
又因?yàn)楫?dāng) x∈[1,4]時(shí)，min＝－1(此時(shí)x＝1)，
所以a≤－1，即a的取值范圍是(－∞，－1]．
答案：(－∞，－1]
2．(變條件)若本例(2)條件變?yōu)椤昂瘮?shù)h(x)在[1,4]上存在單調(diào)遞減區(qū)間”，則a的取值范圍為_(kāi)_______．
解析：因?yàn)閔(x)在[1,4]上存在單調(diào)遞減區(qū)間，
所以h′(x)＜0在[1,4]上有解，
所以當(dāng)x∈[1,4]時(shí)，a＞－有解，
而當(dāng)x∈[1,4]時(shí)，min＝－1(此時(shí)x＝1)，
所以a＞－1，又因?yàn)閍≠0，
所以a的取值范圍是(－1,0)∪(0，＋∞)．
答案：(－1,0)∪(0，＋∞)
3．(變條件)若本例(2)條件變?yōu)椤昂瘮?shù)h(x)在[1,4]上不單調(diào)”，則a的取值范圍為_(kāi)_______．
解析：因?yàn)閔(x)在[1,4]上不單調(diào)，
所以h′(x)＝0在(1,4)上有解，即a＝－＝2－1在(1,4)上有解，
令m(x)＝－，x∈(1,4)，則－1＜m(x)＜－.
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
答案：
[解題技法]
由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法
(1)可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)，實(shí)際上就是在該區(qū)間上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，得到關(guān)于參數(shù)的不等式，從而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，求出參數(shù)的取值范圍．
(2)可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(a，b)上存在單調(diào)區(qū)間，實(shí)際上就是f′(x)＞0(或f′(x)＜0)在該區(qū)間上存在解集，從而轉(zhuǎn)化為不等式問(wèn)題，求出參數(shù)的取值范圍．
(3)若已知f(x)在區(qū)間I上的單調(diào)性，區(qū)間I上含有參數(shù)時(shí)，可先求出f(x)的單調(diào)區(qū)間，令I(lǐng)是其單調(diào)區(qū)間的子集，從而求出參數(shù)的取值范圍．
[過(guò)關(guān)訓(xùn)練]
1．(2019·渭南質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(1,4)，曲線在點(diǎn)M處的切線恰好與直線x＋9y＝0垂直．若函數(shù)f(x)在區(qū)間[m，m＋1]上單調(diào)遞增，則m的取值范圍是________．
解析：∵f(x)＝ax3＋bx2的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(1,4)，
∴a＋b＝4，①
f′(x)＝3ax2＋2bx，則f′(1)＝3a＋2b.
由題意可得f′(1)·＝－1，即3a＋2b＝9.②
聯(lián)立①②兩式解得a＝1，b＝3，
∴f(x)＝x3＋3x2，f′(x)＝3x2＋6x.
令f′(x)＝3x2＋6x≥0，得x≥0或x≤－2.
∵函數(shù)f(x)在區(qū)間[m，m＋1]上單調(diào)遞增，
∴[m，m＋1]?(－∞，－2]∪[0，＋∞)，
∴m≥0或m＋1≤－2，即m≥0或m≤－3.
答案：(－∞，－3]∪[0，＋∞)
2．已知函數(shù)f(x)＝－2x2＋ln x(a＞0)，若函數(shù)f(x)在[1,2]上為單調(diào)函數(shù)，則a的取值范圍是________．
解析：f′(x)＝－4x＋，
若函數(shù)f(x)在[1,2]上為單調(diào)函數(shù)，
即f′(x)＝－4x＋≥0或f′(x)＝－4x＋≤0在[1,2]上恒成立，
即≥4x－或≤4x－在[1,2]上恒成立．
令h(x)＝4x－，
則h(x)在[1,2]上單調(diào)遞增，
所以≥h(2)或≤h(1)，
即≥或≤3，又a＞0，
所以0＜a≤或a≥1.
答案：∪[1，＋∞)

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