第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用
全國(guó)卷年考情圖解
高考命題規(guī)律把握

1.本章內(nèi)容在高考中一般是“一大一小”．
2.在選擇題或填空題中考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，有時(shí)與函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合出現(xiàn)在壓軸小題中．
3.解答題一般都是兩問(wèn)的題目，第一問(wèn)考查求曲線的切線方程，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由函數(shù)的極值點(diǎn)或已知曲線的切線方程求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)問(wèn)題．第二問(wèn)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，已知單調(diào)區(qū)間或極值求參數(shù)的取值范圍，函數(shù)的零點(diǎn)等問(wèn)題.2018年全國(guó)卷Ⅱ和全國(guó)卷Ⅲ均以不等式的證明為載體，考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，總體難度偏大.
第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算、定積分

1．導(dǎo)數(shù)的概念
(1)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)：函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時(shí)變化率li ＝li ?為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′(x0)或y′x＝x0，即f′(x0)＝li ＝li .
函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時(shí)變化趨勢(shì)，其正負(fù)號(hào)反映了變化的方向，其大小|f′(x)|反映了變化的快慢，|f′(x)|越大，曲線在這點(diǎn)處的切線越“陡”．
(2)導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是在曲線y＝f(x)上點(diǎn)P(x0，y0)?處的切線的斜率(瞬時(shí)速度就是位移函數(shù)s(t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù))．相應(yīng)地，切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
?曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線是指P為切點(diǎn)，斜率為k＝f′(x0)的切線，是唯一的一條切線.
(3)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)：稱(chēng)函數(shù)f′(x)＝li 為f(x)的導(dǎo)函數(shù)．
(4)f′(x)是一個(gè)函數(shù)，f′(x0)是函數(shù)f′(x)在x0處的函數(shù)值(常數(shù))，[f′(x0)]′＝0.
2．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式
原函數(shù)
導(dǎo)函數(shù)
f(x)＝xn(n∈Q*)
f′(x)＝n·xn－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)
f′(x)＝axln a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)
f′(x)＝
f(x)＝ln x
f′(x)＝
3.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)＝(g(x)≠0)．
4．復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx′＝y(tǒng)u′·ux′，即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積．
5．定積分的概念
在f(x)dx中，a，b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間[a，b]叫做積分區(qū)間，f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式．
6．定積分的性質(zhì)
(1)kf(x)dx＝kf(x)dx(k為常數(shù))；
(2)[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx；
(3)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a＜c＜b)．?
?求分段函數(shù)的定積分，可以先確定不同區(qū)間上的函數(shù)解析式，然后根據(jù)定積分的性質(zhì)(3)進(jìn)行計(jì)算.
7．微積分基本定理
一般地，如果f(x)是區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)，常把F(b)－F(a)記作F(x)，即f(x)dx＝F(x)＝F(b)－F(a)．
8．定積分的幾何意義?
定積分f(x)dx的幾何意義是介于x軸、曲線y＝f(x)及直線x＝a，x＝b之間的曲邊梯形的面積的代數(shù)和，其值可正可負(fù)，具體來(lái)說(shuō)，如圖，設(shè)陰影部分的面積為S.
①S＝f(x)dx；②S＝－f(x)dx；③S＝f(x)dx－f(x)dx；
④S＝f(x)dx－g(x)dx＝[f(x)－g(x)]dx.

?(1)定積分的幾何意義是曲邊梯形的面積，但要注意：面積非負(fù)，而定積分的結(jié)果可正可負(fù).
(2)當(dāng)曲邊梯形位于x軸上方時(shí)，定積分的值為正；當(dāng)曲邊梯形位于x軸下方時(shí)，定積分的值為負(fù)；當(dāng)位于x軸上方的曲邊梯形與位于x軸下方的曲邊梯形面積相等時(shí)，定積分的值為零.
[熟記常用結(jié)論]
1．奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù)．
2．熟記以下結(jié)論：(1)′＝－；(2)(ln|x|)′＝；
(3)′＝－(f(x)≠0)；
(4)[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)．
3．常見(jiàn)被積函數(shù)的原函數(shù)　
(1)cdx＝cx；(2)xndx＝(n≠－1)；
(3)sin xdx＝－cos x；(4)cos xdx＝sin x；
(5)dx＝ln|x|；(6)exdx＝ex.
[小題查驗(yàn)基礎(chǔ)]
一、判斷題(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”)
(1)曲線的切線不一定與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)．(　　)
(2)因?yàn)?ln x)′＝，所以′＝ln x．(　　)
(3)設(shè)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f(x)dx＝f(t)dt.(　　)
(4)定積分一定是曲邊梯形的面積．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
二、選填題
1．下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是(　　)
A.＝1＋　 　 B．(log2x)′＝
C．(3x)′＝3xlog3e D．(x2cos x)′＝－2sin x
解析：選B?。絰′＋＝1－；(3x)′＝3xln 3；＝(x2)′cos x＋x2(cos x)′＝2xcos x－x2sin x．故選B.
2．如圖所示為函數(shù)y＝f(x)，y＝g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的圖象可能是(　　)


解析：選D　由y＝f′(x)的圖象知，y＝f′(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，說(shuō)明函數(shù)y＝f(x)的切線的斜率在(0，＋∞)上也單調(diào)遞減，故可排除A、C.
又由圖象知y＝f′(x)與y＝g′(x)的圖象在x＝x0處相交，說(shuō)明y＝f(x)與y＝g(x)的圖象在x＝x0處的切線的斜率相同，故可排除B.故選D.
3．已知t是常數(shù)，若(2x－2)dx＝8，則t＝(　　)
A．1 B．－2
C．－2或4 D．4
解析：選D　由(2x－2)dx＝8，得(x2－2x)＝t2－2t＝8，解得t＝4或t＝－2(舍去)．
4．若f(x)＝x·ex，則f′(1)＝________.
解析：∵f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e.
答案：2e
5．曲線y＝1－在點(diǎn)(－1，－1)處的切線方程為_(kāi)_____________________．
解析：∵y′＝，∴y′|x＝－1＝2.
故所求切線方程為2x－y＋1＝0.
答案：2x－y＋1＝0

考點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算[基礎(chǔ)自學(xué)過(guò)關(guān)]
[題組練透]
1．f(x)＝x(2 018＋ln x)，若f′(x0)＝2 019，則x0等于(　　)
A．e2　　　　　　　　　 B．1
C．ln 2 D．e
解析：選B　f′(x)＝2 018＋ln x＋x×＝2 019＋ln x，故由f′(x0)＝2 019，得2 019＋ln x0＝2 019，則ln x0＝0，解得x0＝1.
2．(2019·宜昌聯(lián)考)已知f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)，f(x)＝f′(1)·2x＋x2，則f′(2)＝(　　)
A. B.
C. D．－2
解析：選C　因?yàn)閒′(x)＝f′(1)·2xln 2＋2x，所以f′(1)＝f′(1)·2ln 2＋2，解得f′(1)＝，所以f′(x)＝·2xln 2＋2x，所以f′(2)＝×22ln 2＋2×2＝.
3．若函數(shù)f(x)＝ax4＋bx2＋c滿足f′(1)＝2，則f′(－1)＝________.
解析：f′(x)＝4ax3＋2bx，
∵f′(x)為奇函數(shù)且f′(1)＝2，
∴f′(－1)＝－2.
答案：－2
4．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．
(1)y＝x2sin x；
(2)y＝ln x＋；
(3)y＝；
(4)y＝xsincos.
解：(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′
＝2xsin x＋x2cos x.
(2)y′＝′＝(ln x)′＋′＝－.
(3)y′＝′＝＝－.(4)∵y＝xsincos
＝xsin(4x＋π)
＝－xsin 4x，
∴y′＝－sin 4x－x·4cos 4x
＝－sin 4x－2xcos 4x.
[名師微點(diǎn)]
1．求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的總原則：先化簡(jiǎn)解析式，再求導(dǎo)．
2．常見(jiàn)形式及具體求導(dǎo)6種方法
連乘形式
先展開(kāi)化為多項(xiàng)式形式，再求導(dǎo)
三角形式
先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導(dǎo)
分式形式
先化為整式函數(shù)或較為簡(jiǎn)單的分式函數(shù)，再求導(dǎo)
根式形式
先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，再求導(dǎo)
對(duì)數(shù)形式
先化為和、差形式，再求導(dǎo)
復(fù)合函數(shù)
先確定復(fù)合關(guān)系，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時(shí)可換元

[提醒]　對(duì)解析式中含有導(dǎo)數(shù)值的函數(shù)，即解析式類(lèi)似于f(x)＝f′(x0)g(x)＋h(x)(x0為常數(shù))的函數(shù)，解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是明確f′(x0)是常數(shù)，其導(dǎo)數(shù)值為0.因此先求導(dǎo)數(shù)f′(x)，令x＝x0，即可得到f′(x0)的值，進(jìn)而得到函數(shù)解析式，求得所求導(dǎo)數(shù)值．
考點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用[全析考法過(guò)關(guān)]
[考法全析]
考法(一)　求切線方程
[例1]　(2018·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋(a－1)·x2＋ax，若f(x)為奇函數(shù)，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為(　　)
A．y＝－2x　　　　　　 B．y＝－x
C．y＝2x D．y＝x
[解析]　法一：∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，
∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a.
又f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)恒成立，
即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax恒成立，
∴a＝1，∴f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1，
∴曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y＝x.
法二：∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax為奇函數(shù)，
∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a為偶函數(shù)，
∴a＝1，即f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1，
∴曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y＝x.
[答案]　D
考法(二)　求切點(diǎn)坐標(biāo)
[例2]　已知函數(shù)f(x)＝xln x在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線與直線x＋y＝0垂直，則切點(diǎn)P(x0，f(x0))的坐標(biāo)為_(kāi)_______．
[解析]　∵f(x)＝xln x，∴f′(x)＝ln x＋1，由題意得f′(x0)·(－1)＝－1，即f′(x0)＝1，∴l(xiāng)n x0＋1＝1，ln x0＝0，∴x0＝1，∴f(x0)＝0，即P(1,0)．
[答案]　(1,0)
考法(三)　由曲線的切線(斜率)求參數(shù)的值(范圍)
[例3]　(1)(2018·商丘二模)設(shè)曲線f(x)＝－ex－x(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))上任意一點(diǎn)處的切線為l1，總存在曲線g(x)＝3ax＋2cos x上某點(diǎn)處的切線l2，使得l1⊥l2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．[－1,2] B．(3，＋∞)
C. D.
(2)(2018·全國(guó)卷Ⅲ)曲線y＝(ax＋1)ex在點(diǎn)(0,1)處的切線的斜率為－2，則a＝________.
[解析]　(1)由f(x)＝－ex－x，得f′(x)＝－ex－1，
∵ex＋1>1，∴∈(0,1)．由g(x)＝3ax＋2cos x，得g′(x)＝3a－2sin x，又－2sin x∈[－2,2]，∴3a－2sin x∈[－2＋3a，2＋3a]．要使過(guò)曲線f(x)＝－ex－x上任意一點(diǎn)的切線l1，總存在過(guò)曲線g(x)＝3ax＋2cos x上某點(diǎn)處的切線l2，使得l1⊥l2，則
解得－≤a≤.
(2)∵y′＝(ax＋a＋1)ex，
∴當(dāng)x＝0時(shí)，y′＝a＋1，
∴a＋1＝－2，解得a＝－3.
[答案]　(1)D　(2)－3

考法(四)　兩曲線的公切線問(wèn)題
[例4]　已知曲線f(x)＝x3＋ax＋在x＝0處的切線與曲線g(x)＝－ln x相切，則a的值為_(kāi)_______．
[解析]　由f(x)＝x3＋ax＋，得f′(x)＝3x2＋a.
∵f′(0)＝a，f(0)＝，
∴曲線y＝f(x)在x＝0處的切線方程為y－＝ax.
設(shè)直線y－＝ax與曲線g(x)＝－ln x相切于點(diǎn)(x0，－ln x0)，g′(x)＝－，
∴
將②代入①得ln x0＝，
∴x0＝e，∴a＝－＝－e－.
[答案]　－e－
[規(guī)律探求]
看個(gè)性
考法(一)是求曲線的切線方程，曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求過(guò)某點(diǎn)M(x1，y1)的切線方程時(shí)，需設(shè)出切點(diǎn)A(x0，f(x0))，則切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，再把點(diǎn)M(x1，y1)代入切線方程，求x0.
考法(二)是求切點(diǎn)坐標(biāo)，其思路是先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后讓導(dǎo)數(shù)值等于切線的斜率，從而得出切線方程或求出切點(diǎn)坐標(biāo)．
考法(三)是由切線求參數(shù)的值(范圍)，其關(guān)鍵是列出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于切線斜率的方程．
考法(四)是曲線的公切線問(wèn)題．解決此類(lèi)問(wèn)題通常有兩種方法：一是利用其中一曲線在某點(diǎn)處的切線與另一曲線相切，列出關(guān)系式求解；二是設(shè)公切線l在y＝f(x)上的切點(diǎn)P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切點(diǎn)P2(x2，g(x2))，則f′(x1)＝g′(x2)＝
找共性
1.解題口訣歸納

2.求曲線的切線注意點(diǎn)
(1)“過(guò)點(diǎn)A的曲線的切線方程”與“在點(diǎn)A處的切線方程”是不相同的，后者A必為切點(diǎn)，前者未必是切點(diǎn)；
(2)曲線在某點(diǎn)處的切線若有則只有一條，曲線過(guò)某點(diǎn)的切線往往不止一條；切線與曲線的公共點(diǎn)不一定只有一個(gè)

[過(guò)關(guān)訓(xùn)練]
1．[口訣第1、2句]曲線y＝在點(diǎn)(0，－1)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的封閉圖形的面積為(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D．1
解析：選B　因?yàn)閥′＝，所以y′x＝0＝2，所以曲線在點(diǎn)(0，－1)處的切線方程為y＋1＝2x，即y＝2x－1，與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0，－1)，，所以與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積S＝×|－1|×＝.
2．[口訣第3、4句]已知直線2x－y＋1＝0與曲線y＝aex＋x相切(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______．
解析：由題意知y′＝aex＋1＝2，則a>0，x＝－ln a，代入曲線方程得y＝1－ln a，所以切線方程為y－(1－ln a)＝2(x＋ln a)，即y＝2x＋ln a＋1＝2x＋1?a＝1.
答案：1
3．[口訣第3、4句]若一直線與曲線y＝和曲線x2＝ay(a>0)相切于同一點(diǎn)P，則a的值為_(kāi)_______．
解析：設(shè)切點(diǎn)P(x0，y0)，則由y＝ln x，得y′＝，
由x2＝ay，得y′＝x，則有解得a＝2e.
答案：2e
考點(diǎn)三定積分的運(yùn)算及應(yīng)用[基礎(chǔ)自學(xué)過(guò)關(guān)]
[題組練透]
1. (sin x－cos x)dx＝________.
解析： (sin x－cos x)dx
＝sin xdx－cos xdx＝－cos x－sin x
＝2.
答案：2
2. dx＋dx＝________.
解析：dx＝ln x＝1－0＝1，因?yàn)閐x表示的是圓x2＋y2＝4在x軸及其上方的面積，故dx＝π×22＝2π，故答案為2π＋1.
答案：2π＋1
3．由曲線y＝，y＝2－x，y＝－x所圍成圖形的面積為_(kāi)___________．
解析：法一：畫(huà)出草圖，如圖所示．

解方程組及得交點(diǎn)分別為(1,1)，(0,0)，(3，－1)，
所以所求圖形的面積
S＝dx＋dx
＝dx＋dx
＝＋
＝＋6－×9－2＋＝.
法二：如圖所求陰影的面積就是三角形OAB的面積減去由y軸，y＝，y＝2－x圍成的曲邊三角形的面積，即

S＝×2×3－ (2－x－)dx
＝3－
＝3－＝.
答案：
4．一物體在力F(x) ＝(單位：N)的作用下沿與力F相同的方向，從x＝0處運(yùn)動(dòng)到x＝4(單位：m)處，則力F(x)做的功為_(kāi)_______J.
解析：由題意知，力F(x)所做的功為W＝F(x)dx＝5dx＋(3x＋4)dx＝5×2＋＝10＋＝36(J)．
答案：36
[名師微點(diǎn)]

1．正確選用求定積分的4個(gè)常用方法
方法
適用類(lèi)型
方法解讀
定理法
較簡(jiǎn)單函數(shù)
利用微積分基本定理求定積分，其關(guān)鍵是求出被積函數(shù)的原函數(shù)
性質(zhì)法
絕對(duì)值函數(shù)、分段函數(shù)
利用定積分的性質(zhì)將積分區(qū)間分解為若干部分求解
幾何法
函數(shù)較復(fù)雜且有明顯的幾何意義
用定積分的幾何意義來(lái)求，即通過(guò)圖形中面積的計(jì)算來(lái)求定積分值的大小
奇偶
性法
函數(shù)具有奇偶性
若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且在區(qū)間[－a，a]上連續(xù)，則f(x)dx＝2f(x)dx；若f(x)為奇函數(shù)，且在區(qū)間[－a，a]上連續(xù)，則f(x)dx＝0

2．利用定積分求平面圖形面積的4個(gè)步驟

3．定積分在物理中的2個(gè)應(yīng)用
(1)求物體做變速直線運(yùn)動(dòng)的路程，如果變速直線運(yùn)動(dòng)物體的速度為v＝v(t)，那么從時(shí)刻t＝a到t＝b所經(jīng)過(guò)的路程s＝v(t)dt.
(2)變力做功，一物體在變力F(x)的作用下，沿著與F(x)相同的方向從x＝a移動(dòng)到x＝b時(shí)，力F(x)所做的功是W＝F(x)dx.

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