第三節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性

1．函數(shù)的奇偶性
奇偶性
定義
圖象特點
偶函數(shù)
如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)
關于y軸對稱
奇函數(shù)
如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)
關于原點對稱
口訣記憶
奇偶性有特征，定義域要對稱；
奇函數(shù)，有中心，偶函數(shù)，有對稱.
2.函數(shù)的周期性
(1)周期函數(shù)
對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期．
(2)最小正周期
如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．
并不是所有周期函數(shù)都有最小正周期，如f(x)＝5.
[熟記常用結(jié)論]
1．奇偶性的5個重要結(jié)論
(1)如果一個奇函數(shù)f(x)在原點處有定義，即f(0)有意義，那么一定有f(0)＝0.
(2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．
(3)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種類型，即f(x)＝0，x∈D，其中定義域D是關于原點對稱的非空數(shù)集．
(4)奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性．
(5)偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上有相同的最大(小)值，取最值時的自變量互為相反數(shù)；奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上的最值互為相反數(shù)，取最值時的自變量也互為相反數(shù)．
2．周期性的4個常用結(jié)論
設函數(shù)y＝f(x)，x∈R，a>0.
(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，則函數(shù)的周期為2a；
(2)若f(x＋a)＝－f(x)，則函數(shù)的周期為2a；
(3)若f(x＋a)＝，則函數(shù)的周期為2a；
(4)若f(x＋a)＝－，則函數(shù)的周期為2a.
3．對稱性的3個常用結(jié)論
(1)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，即f(a－x)＝f(a＋x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱；
(2)若對于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，則y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱；
(3)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，則函數(shù)y＝f(x)關于點(b,0)中心對稱．
[小題查驗基礎]
一、判斷題(對的打“√”，錯的打“×”)
(1)函數(shù)y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函數(shù)．(　　)
(2)偶函數(shù)圖象不一定過原點，奇函數(shù)的圖象一定過原點．(　　)
(3)如果函數(shù)f(x)，g(x)為定義域相同的偶函數(shù)，則F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函數(shù)．(　　)
(4)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)關于直線x＝a對稱．(　　)
(5)若T是函數(shù)的一個周期，則nT(n∈Z，n≠0)也是函數(shù)的周期．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√
二、選填題
1．下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是(　　)
A．y＝x2sin x　　　　　　 B．y＝x2cos x
C．y＝|ln x| D．y＝2－x
解析：選B　A中函數(shù)為奇函數(shù)，B中函數(shù)為偶函數(shù)，C與D中函數(shù)均為非奇非偶函數(shù)，故選B.
2．下列函數(shù)為奇函數(shù)的是(　　)
A．y＝ B．y＝ex
C．y＝|x| D．y＝ex－e－x
解析：選D　A、B選項中的函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；C選項中的函數(shù)為偶函數(shù)；D選項中的函數(shù)為奇函數(shù)，故選D.
3．若y＝f(x)(x∈R)是奇函數(shù)，則下列坐標表示的點一定在y＝f(x)圖象上的是(　　)
A．(a，－f(a)) B．(－a，－f(a))
C．(－a，－f(－a)) D．(a，f(－a))
解析：選B　因為(a，f(a))是函數(shù)y＝f(x)圖象上的點，且y＝f(x)是奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱，所以點(－a，f(－a))，即(－a，－f(a))一定在y＝f(x)的圖象上．
4．已知f(x)＝ax2＋bx是定義在[a－1,2a]上的偶函數(shù)，那么a＋b的值是________．
解析：∵f(x)＝ax2＋bx是定義在[a－1,2a]上的偶函數(shù)，∴a－1＋2a＝0，∴a＝.
又f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴a＋b＝.
答案：
5．設f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當x∈[－1,1)時，f(x)＝則f＝________.
解析：∵f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，
∴f＝f＝f＝－4×2＋2＝－1＋2＝1.
答案：1

考點一
[基礎自學過關]
函數(shù)奇偶性的判定
[題組練透]
判斷下列函數(shù)的奇偶性：
(1)f(x)＝(x＋1) ；
(2)f(x)＝
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝loga(x＋)(a>0且a≠1)．
解：(1)因為f(x)有意義，則滿足≥0，
所以－1＜x≤1，
所以f(x)的定義域不關于原點對稱，
所以f(x)為非奇非偶函數(shù)．
(2)法一：定義法
當x>0時，f(x)＝－x2＋2x＋1，
－x＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)；
當x＜0時，f(x)＝x2＋2x－1，
－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)．
所以f(x)為奇函數(shù)．
法二：圖象法
作出函數(shù)f(x)的圖象，由奇函數(shù)的圖象關于原點對稱的特征知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．

(3)因為所以－2≤x≤2且x≠0，
所以定義域關于原點對稱．
又f(－x)＝＝，
所以f(－x)＝f(x)．故函數(shù)f(x)為偶函數(shù)．
(4)函數(shù)的定義域為R，
因為f(－x)＋f(x)
＝loga[－x＋]＋loga(x＋)
＝loga(－x)＋loga(＋x)
＝loga[(－x)(＋x)]
＝loga(x2＋1－x2)＝loga1＝0.
即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)．
[名師微點]
判斷函數(shù)奇偶性的3種常用方法
(1)定義法：
確定函數(shù)的奇偶性時，必須先判定函數(shù)定義域是否關于原點對稱．若對稱，再化簡解析式后驗證f(－x)＝±f(x)或其等價形式f(－x)±f(x)＝0是否成立．
(2)圖象法：

(3)性質(zhì)法：
設f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
[提醒]　分段函數(shù)奇偶性的判斷，要分別從x>0或x＜0來尋找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有當對稱的兩個區(qū)間上滿足相同關系時，分段函數(shù)才具有確定的奇偶性．
考點二
[師生共研過關]
函數(shù)奇偶性的應用
[典例精析]
(1)(2019·廣州調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝＋a為奇函數(shù)，則實數(shù)a＝________.
(2)函數(shù)f(x)在R上為奇函數(shù)，且x>0時，f(x)＝x＋1，則當x＜0時，f(x)＝________.
(3)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且g(x)＝f(x－1)，則f(2 017)＋f(2 019)的值為________．
[解析]　(1)易知f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，因為f(x)為奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，即＋a＝－－a，所以2a＝－－＝－－＝－1，所以a＝－.
(2)∵f(x)為奇函數(shù)，x>0時，f(x)＝x＋1，
∴當x＜0時，－x>0，
f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)＝x－1，
即x＜0時，f(x)＝x－1.
(3)由題意得，g(－x)＝f(－x－1)，
∵f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，
∴g(－x)＝－g(x)，f(－x)＝f(x)，
∴f(x－1)＝－f(x＋1)，
即f(x－1)＋f(x＋1)＝0.
∴f(2 017)＋f(2 019)＝f(2 018－1)＋f(2 018＋1)＝0.
[答案]　(1)－　(2)x－1　(3)0
[解題技法]
與函數(shù)奇偶性有關的問題及解題策略
(1)求函數(shù)的值：利用奇偶性將待求值轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解．
(2)求函數(shù)解析式：先將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性構(gòu)造關于f(x)的方程(組)，從而得到f(x)的解析式．
(3)求解析式中的參數(shù)值：在定義域關于原點對稱的前提下，利用f(x)為奇函數(shù)?f(－x)＝－f(x)，f(x)為偶函數(shù)?f(x)＝f(－x)，列式求解，也可利用特殊值法求解．對于在x＝0處有定義的奇函數(shù)f(x)，可考慮列等式f(0)＝0求解．
[過關訓練]
1．設f(x)－x2＝g(x)，x∈R，若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，則g(x)的解析式可以為(　　)
A．g(x)＝x3　　　　　　 B．g(x)＝cos x
C．g(x)＝1＋x D．g(x)＝xex
解析：選B　因為f(x)＝x2＋g(x)，且函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，所以有(－x)2＋g(－x)＝x2＋g(x)，即g(－x)＝g(x)，所以g(x)為偶函數(shù)，由選項可知，只有選項B中的函數(shù)為偶函數(shù)，故選B.
2．設函數(shù)f(x)＝若f(x)是奇函數(shù)，則g(3)的值是(　　)
A．1 B．3
C．－3 D．－1
解析：選C　∵函數(shù)f(x)＝f(x)是奇函數(shù)，∴f(－3)＝－f(3)，∴l(xiāng)og2(1＋3)＝－(g(3)＋1)，則g(3)＝－3.故選C.
3．若關于x的函數(shù)f(x)＝(t≠0)的最大值為a，最小值為b，且a＋b＝2，則t＝________.
解析：f(x)＝＝t＋，
設g(x)＝，則g(x)為奇函數(shù)，g(x)max＝a－t，g(x)min＝b－t.∵g(x)max＋g(x)min＝0，∴a＋b－2t＝0，即2－2t＝0，解得t＝1.
答案：1
考點三
[師生共研過關]
函數(shù)的周期性
[典例精析]
(1)已知函數(shù)f(x)＝如果對任意的n∈N*，定義fn(x)＝，那么f2 019(2)的值為(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)設定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且當x∈[0,2)時，f(x)＝2x－x2，則f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＝________.
[解析]　(1)∵f1(2)＝f(2)＝1，f2(2)＝f(1)＝0，f3(2)＝f(0)＝2，
∴fn(2)的值具有周期性，且周期為3，
∴f2 019(2)＝f3×673(2)＝f3(2)＝2，故選C.
(2)∵f(x＋2)＝f(x)，
∴函數(shù)f(x)的周期T＝2，
∵當x∈[0,2)時，f(x)＝2x－x2，
∴f(0)＝0，f(1)＝1，
∴f(0)＝f(2)＝f(4)＝…＝f(2 018)＝0，
f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2 019)＝1.
故f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＝1 010.
[答案]　(1)C　(2)1 010
[解題技法]
函數(shù)周期性有關問題的求解策略
(1)求解與函數(shù)的周期性有關的問題，應根據(jù)題目特征及周期定義，求出函數(shù)的周期．
(2)周期函數(shù)的圖象具有周期性，如果發(fā)現(xiàn)一個函數(shù)的圖象具有兩個對稱性(注意：對稱中心在平行于x軸的直線上，對稱軸平行于y軸)，那么這個函數(shù)一定具有周期性．

[過關訓練]
1．[口訣第2句]已知函數(shù)f(x)的定義域為R，當x＜0時，f(x)＝x3－1；當－1≤x≤1時，f(－x)＝－f(x)；當x>時，f＝f，則f(6)等于(　　)
A．－2 B．－1
C．0 D．2
解析：選D　當x>時，f＝f，即周期為1，則f(6)＝f(1)＝－f(－1)＝－[(－1)3－1]＝2.
2．[口訣第3、4句]已知f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當0≤x＜2時，f(x)＝x3－x，則函數(shù)y＝f(x)的圖象在區(qū)間[0,6]上與x軸的交點的個數(shù)為(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：選B　當0≤x＜2時，令f(x)＝x3－x＝x(x2－1)＝0，所以y＝f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標分別為x1＝0，x2＝1.
當2≤x＜4時，0≤x－2＜2，又f(x)的最小正周期為2，所以f(x－2)＝f(x)，
所以f(x)＝(x－2)(x－1)(x－3)，
所以當2≤x＜4時，y＝f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標分別為x3＝2，x4＝3.
同理可得，當4≤x＜6時，y＝f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標分別為x5＝4，x6＝5.
當x7＝6時，也符合要求．
綜上可知，共有7個交點．
3．[口訣第5、6句]已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，且當x∈[0,1]時，f(x)＝log2(x＋1)，則下列不等式正確的是(　　)
A．f(log27)＜f(－5)＜f(6)
B．f(log27)＜f(6)＜f(－5)
C．f(－5)＜f(log27)＜f(6)
D．f(－5)＜f(6)＜f(log27)
解析：選C　因為奇函數(shù)f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，所以f(1＋x)＝f(1－x)，f(－x)＝－f(x)，所以f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，所以f(－5)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，f(6)＝f(2)＝f(0)＝0.于是，結(jié)合題意可畫出函數(shù)f(x)在[－2,4]上的大致圖象，如圖所示．又2＜log27＜3，所以結(jié)合圖象可知－1＜f(log27)＜0，故f(－5)＜f(log27)＜f(6)，故選C.

考點四
[全析考法過關]
函數(shù)性質(zhì)的綜合應用
[考法全析]
考法(一)　單調(diào)性與奇偶性綜合
[例1]　(2018·石家莊質(zhì)檢)已知f(x)為奇函數(shù)，且當x>0時，f(x)單調(diào)遞增，f(1)＝0，若f(x－1)>0，則x的取值范圍為(　　)
A．{x|0＜x＜1或x>2}　 B．{x|x＜0或x>2}
C．{x|x＜0或x>3} D．{x|x＜－1或x>1}
[解析]　因為函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以f(－1)＝－f(1)＝0，又函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以可作出函數(shù)f(x)的示意圖，如圖，則不等式f(x－1)>0可轉(zhuǎn)化為－1＜x－1＜0或x－1>1，解得0＜x＜1或x>2，故選A.
[答案]　A
考法(二)　奇偶性與周期性綜合
[例2]　(2019·贛州月考)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)>1，f(7)＝a，則實數(shù)a的取值范圍為(　　)
A．(－∞，－3) B．(3，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)
[解析]　∵f(x＋3)＝f(x)，
∴f(x)是定義在R上的以3為周期的函數(shù)，
∴f(7)＝f(7－9)＝f(－2)．
又∵函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，
∴f(－2)＝f(2)，∴f(7)＝f(2)>1，
∴a>1，即a∈(1，＋∞)．故選D.
[答案]　D
考法(三)　單調(diào)性、奇偶性與周期性結(jié)合
[例3]　(2019·達州模擬)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且在[－1,0]上單調(diào)遞減，設a＝f(－2.8)，b＝f(－1.6)，c＝f(0.5)，則a，b，c的大小關系是(　　)
A．a(chǎn)>b>c B．c>a>b
C．b>c>a D．a(chǎn)>c>b
[解析]　∵偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，∴函數(shù)的周期為2.∴a＝f(－2.8)＝f(－0.8)，b＝f(－1.6)＝f(0.4)＝f(－0.4)，c＝f(0.5)＝f(－0.5)．∵－0.8＜－0.5＜－0.4，且函數(shù)f(x)在[－1,0]上單調(diào)遞減，∴a>c>b，故選D.
[答案]　D
[規(guī)律探求]
看個性
考法(一)是已知函數(shù)單調(diào)遞增且為奇函數(shù)，求自變量范圍，有時也比較大小，常利用奇、偶函數(shù)圖象的對稱性；
考法(二)是已知f(x)是周期函數(shù)且為偶函數(shù)，求函數(shù)值的范圍，常利用奇偶性及周期性進行轉(zhuǎn)換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解；
考法(三)是函數(shù)周期性、奇偶性與單調(diào)性結(jié)合．解決此類問題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解
找共性
對于函數(shù)性質(zhì)結(jié)合的題目，函數(shù)的周期性有時需要通過函數(shù)的奇偶性得到，函數(shù)的奇偶性體現(xiàn)的是一種對稱關系，而函數(shù)的單調(diào)性體現(xiàn)的是函數(shù)值隨自變量變化而變化的規(guī)律．因此在解題時，往往需要借助函數(shù)的奇偶性和周期性來確定另一區(qū)間上的單調(diào)性，即實現(xiàn)區(qū)間的轉(zhuǎn)換，再利用單調(diào)性解決相關問題

[過關訓練]
1．(2018·全國卷Ⅱ)已知f(x)是定義域為(－∞，＋∞)的奇函數(shù)，滿足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　　)
A．－50　　　　　　　　　 B．0
C．2 D．50
解析：選C　∵f(x)是奇函數(shù)，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(1－x)＝－f(x－1)．
由f(1－x)＝f(1＋x)，得－f(x－1)＝f(x＋1)，
∴f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)．
由f(x)為奇函數(shù)得f(0)＝0.
又∵f(1－x)＝f(1＋x)，
∴f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，
∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.
又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)
＝0×12＋f(49)＋f(50)
＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.
2．已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x＋1)＝－f(x)，若f(x)在[－1,0]上單調(diào)遞減，則f(x)在[1,3]上是(　　)
A．增函數(shù) B．減函數(shù)
C．先增后減的函數(shù) D．先減后增的函數(shù)
解析：選D　根據(jù)題意，∵f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)的周期是2.又∵f(x)在定義域R上是偶函數(shù)，在[－1,0]上是減函數(shù)，∴函數(shù)f(x)在[0,1]上是增函數(shù)，∴函數(shù)f(x)在[1,2]上是減函數(shù)，在[2,3]上是增函數(shù)，∴f(x)在[1,3]上是先減后增的函數(shù)，故選D.
3．已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞增．若實數(shù)a滿足f(2|a－1|)＞f(－)，則a的取值范圍是________．
解析：∵f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在(－∞，0)上單調(diào)遞增，
∴f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，f(－)＝f()，
∴f(2|a－1|)＞f()，∴2|a－1|＜＝2，
∴|a－1|＜，即－＜a－1＜，即＜a＜.
答案：

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