2020版高考數(shù)學(xué)新設(shè)計一輪復(fù)習(xí)浙江專版講義：第三章第三節(jié)函數(shù)的奇偶性及周期性-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

1．函數(shù)的奇偶性
奇偶性
定義
圖象特點
偶函數(shù)
如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)
關(guān)于y軸對稱
奇函數(shù)
如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)
關(guān)于原點對稱

2．函數(shù)的周期性
(1)周期函數(shù)
對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期．
(2)最小正周期
如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．
[小題體驗]
1．(2018·杭州模擬)已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x＜0時，f(x)＝2x2－，則f(1)的值是(　　)
A．－3　　　　　　　　　　　B．－1
C．1 D．3
解析：選A　因為函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以f(1)＝－f(－1)＝－＝－3，故選A.
2．(2018·臺州月考)偶函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[0,4]上單調(diào)遞減，則有(　　)
A．f(－1)＞f＞f(－π)
B．f＞f(－1)＞f(－π)
C．f(－π)＞f(－1)＞f
D．f(－1)＞f(－π)＞f
解析：選A　由題意得，0＜1＜＜π＜4?f(－1)＝f(1)＞f＞f(π)＝f(－π)，故選A.
3．(2018·金華模擬)已知函數(shù)y＝f(x)為R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝log2(x＋2)－3，則f(6)＝____________，f(f(0))＝________________.
解析：∵當(dāng)x≥0時，f(x)＝log2(x＋2)－3，
∴f(6)＝log2(6＋2)－3＝3－3＝0，
f(0)＝1－3＝－2，
∵函數(shù)y＝f(x)為R上的偶函數(shù)，
∴f(f(0))＝f(－2)＝f(2)＝2－3＝－1.
答案：0?。?

1．判斷函數(shù)的奇偶性，易忽視判斷函數(shù)定義域是否關(guān)于原點對稱．定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件．
2．判斷函數(shù)f(x)的奇偶性時，必須對定義域內(nèi)的每一個x，均有f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，而不能說存在x0使f(－x0)＝－f(x0)或f(－x0)＝f(x0)．
3．分段函數(shù)奇偶性判定時，誤用函數(shù)在定義域某一區(qū)間上不是奇偶函數(shù)去否定函數(shù)在整個定義域上的奇偶性．
[小題糾偏]
1．已知f(x)＝ax2＋bx是定義在[a－1,2a]上的偶函數(shù)，那么a＋b的值是(　　)
A．－　　　　B.　　　　C.　　　　D．－
解析：選B　∵f(x)＝ax2＋bx是定義在[a－1,2a]上的偶函數(shù)，∴a－1＋2a＝0，∴a＝.又f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴a＋b＝.
2．(2018·寧波模擬)若函數(shù)f(x)＝為奇函數(shù)，則a＝________，f(g(－2))＝________.
解析：由題意a＝f(0)＝0，g(2x)＝f(x)，
所以g(－2)＝f(－1)＝－f(1)＝－4，
所以f(g(－2))＝f(－4)＝－f(4)＝－25.
答案：0?。?5

[題組練透]
判斷下列函數(shù)的奇偶性：
(1)f(x)＝(x＋1) ；
(2)f(x)＝
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝loga(x＋)(a＞0且a≠1)．
解：(1)因為f(x)有意義，則滿足≥0，
所以－1＜x≤1，
所以f(x)的定義域不關(guān)于原點對稱，
所以f(x)為非奇非偶函數(shù)．
(2)法一：(定義法)
當(dāng)x＞0時，f(x)＝－x2＋2x＋1，
－x＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)；
當(dāng)x＜0時，f(x)＝x2＋2x－1，
－x＞0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)．
所以f(x)為奇函數(shù)．
法二：(圖象法)
作出函數(shù)f(x)的圖象，由奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱的特征知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．

(3)因為所以－2≤x≤2且x≠0，
所以定義域關(guān)于原點對稱．
又f(－x)＝＝，
所以f(－x)＝f(x)．故函數(shù)f(x)為偶函數(shù)．
(4)函數(shù)的定義域為R，
因為f(－x)＋f(x)
＝loga[－x＋]＋loga(x＋)
＝loga(－x)＋loga(＋x)
＝loga[(－x)(＋x)]
＝loga(x2＋1－x2)＝loga1＝0，
即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)．
[謹記通法]
判定函數(shù)奇偶性的3種常用方法
(1)定義法

(2)圖象法

(3)性質(zhì)法
①設(shè)f(x)，g(x)的定義域分別是 D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
②復(fù)合函數(shù)的奇偶性可概括為“同奇則奇，一偶則偶”．
[提醒]　(1)“性質(zhì)法”中的結(jié)論是在兩個函數(shù)的公共定義域內(nèi)才成立的．
(2)判斷分段函數(shù)的奇偶性應(yīng)分段分別證明f(－x)與f(x)的關(guān)系，只有對各段上的x都滿足相同的關(guān)系時，才能判斷其奇偶性．

[典例引領(lǐng)]
(1)已知函數(shù)f(x)＝若對任意的n∈N*，定義fn(x)＝f{f[ff(x)]}，則f2 019(2)的值為(　　)
A．0　　　　　　　　　　　B．1
C．2 D．3
(2)設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且當(dāng)x∈[0,2)時，f(x)＝2x－x2，則f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＝________.
解析：(1)∵f1(2)＝f(2)＝1，f2(2)＝f(1)＝0，f3(2)＝f(0)＝2，
∴fn(2)的值具有周期性，且周期為3，
∴f2 019(2)＝f3×673(2)＝f3(2)＝2，故選C.
(2)∵f(x＋2)＝f(x)，
∴函數(shù)f(x)的周期T＝2，
∵當(dāng)x∈[0,2)時，f(x)＝2x－x2，
∴f(0)＝0，f(1)＝1，
∴f(0)＝f(2)＝f(4)＝…＝f(2 018)＝0，
f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2 019)＝1.
故f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＝1 010.
答案：(1)C　(2)1 010
[由題悟法]
1．判斷函數(shù)周期性的2個方法
(1)定義法．
(2)圖象法．
2．周期性3個常用結(jié)論
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a.
(2)若f(x＋a)＝，則T＝2a.
(3)若f(x＋a)＝－，則T＝2a(a＞0)．
[即時應(yīng)用]
1．已知函數(shù)f(x)的定義域為R，當(dāng)x＜0時，f(x)＝x3－1；當(dāng)－1≤x≤1時，f(－x)＝－f(x)；當(dāng)x＞時，f＝f，則f(6)等于(　　)
A．－2 B．－1
C．0 D．2
解析：選D　當(dāng)x＞時，f＝f，即周期為1，則f(6)＝f(1)＝－f(－1)＝－[(－1)3－1]＝2.
2．已知定義在R上的函數(shù)滿足f(x＋2)＝－，x∈(0,2]時，f(x)＝2x－1.則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)的值為________．
解析：∵f(x＋2)＝－，
∴f(x＋4)＝－＝f(x)，
∴函數(shù)y＝f(x)的周期T＝4.
又x∈(0,2]時，f(x)＝2x－1，
∴f(1)＝1，f(2)＝3，
f(3)＝－＝－1，
f(4)＝－＝－.
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)
＝504[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(504×4＋1)＋f(504×4＋2)
＝504＋1＋3
＝1 348.
答案：1 348
3．(2018·溫州模擬)已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝＋，則f(0)＋f(2 017)的最大值為________．
解析：因為f(x＋1)＝＋，
所以2＋2＝.
令g(x)＝f2(x)－f(x)，則g(x＋1)＋g(x)＝－，g(x＋2)＋g(x＋1)＝－，所以g(x＋2)＝g(x)，所以g(x)是以2為周期的函數(shù)，g(2 017)＝g(1)，所以f(2 017)＝f(1)，f(0)＋f(2 017)＝f(0)＋f(1)＝f(0)＋＋.令t＝≥0，則f(0)＝，t∈，所以f(0)＋f(1)＝1＋t±，令2t＝sin θ≥0，則f(0)＋f(1)＝1＋sin θ±cos θ＝1＋sin≤1＋.
故所求最大值為1＋.
答案：1＋

[鎖定考向]
函數(shù)的奇偶性、周期性以及單調(diào)性是函數(shù)的三大性質(zhì)，在高考中常常將它們綜合在一起命制試題，其中奇偶性多與單調(diào)性相結(jié)合，而周期性常與抽象函數(shù)相結(jié)合，并以結(jié)合奇偶性求函數(shù)值為主．多以選擇題、填空題形式出現(xiàn)．
常見的命題角度有：
(1)奇偶性的應(yīng)用；
(2)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合；
(3)周期性與奇偶性結(jié)合；
(4)單調(diào)性、奇偶性與周期性結(jié)合．　　　　
[題點全練]
角度一：奇偶性的應(yīng)用
1．(2018·福建三明模擬)函數(shù)y＝f(x)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＜0時，f(x)＝2x，則當(dāng)x＞0時，f(x)＝(　　)
A．－2x　　　　　　　　　　B．2－x
C．－2－x D．2x
解析：選C　x＞0時，－x＜0，∵x＜0時，f(x)＝2x，∴當(dāng)x＞0時，f(－x)＝2－x.∵f(x)是R上的奇函數(shù)，∴當(dāng)x＞0時，f(x)＝－f(－x)＝－2－x.故選C.
角度二：單調(diào)性與奇偶性結(jié)合
2．(2019·嘉興質(zhì)檢)已知f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時，f(x)單調(diào)遞增，f(1)＝0，若f(x－1)＞0，則x的取值范圍為(　　)
A．{x|0＜x＜1或x＞2}　　B．{x|x＜0或x＞2}
C．{x|x＜0或x＞3} D．{x|x＜－1或x＞1}
解析：選A　因為函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以f(－1)＝－f(1)＝0，又函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以可作出函數(shù)f(x)的示意圖，如圖，則不等式f(x－1)＞0可轉(zhuǎn)化為－1＜x－1＜0或x－1＞1，解得0＜x＜1或x＞2.
角度三：周期性與奇偶性結(jié)合
3．(2019·寧波月考)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)＞1，f(7)＝a，則實數(shù)a的取值范圍為(　　)
A．(－∞，－3) B．(3，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)
解析：選D　∵f(x＋3)＝f(x)，
∴f(x)是定義在R上的以3為周期的函數(shù)，
∴f(7)＝f(7－9)＝f(－2)．
又∵函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，
∴f(－2)＝f(2)，∴f(7)＝f(2)＞1，
∴a＞1，即a∈(1，＋∞)．
角度四：單調(diào)性、奇偶性與周期性結(jié)合
4．定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,2)上單調(diào)遞減，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A．0＜f(1)＜f(3) B．f(3)＜0＜f(1)
C．f(1)＜0＜f(3) D．f(3)＜f(1)＜0
解析：選C　由函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，得f(0)＝0.
由f(x＋2)＝－f(x)，
得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
故函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，
所以f(3)＝f(－1)．
又f(x)在[0,2)上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)f(x)在(－2,2)上單調(diào)遞減，
所以f(－1)＞f(0)＞f(1)，
即f(1)＜0＜f(3)．故選C.
[通法在握]
函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用問題的常見類型及解題策略
(1)函數(shù)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合．注意函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)圖象的對稱性．
(2)周期性與奇偶性結(jié)合．此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行交換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解．
(3)周期性、奇偶性與單調(diào)性結(jié)合．解決此類問題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解．
[演練沖關(guān)]
1．(2018·杭二一模)下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)的為(　　)
A．y＝x＋1　　　　　　　　B．y＝－x2
C．y＝ D．y＝x|x|
解析：選D　對于A，y＝x＋1為非奇非偶函數(shù)，不滿足條件．對于B，y＝－x2是偶函數(shù)，不滿足條件．對于C，y＝是奇函數(shù)，但在定義域上不是增函數(shù)，不滿足條件．對于D，設(shè)f(x)＝x|x|，則f(－x)＝－x|x|＝－f(x)，則函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時，y＝x|x|＝x2，此時為增函數(shù)，當(dāng)x≤0時，y＝x|x|＝－x2，此時為增函數(shù)，綜上，y＝x|x|在R上為增函數(shù)．故選D.
2．(2018·臺州測試)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f(x)＝x2，若對任意的x∈[a－1，a＋1]，關(guān)于x 的不等式f(x2＋a)＞a2f(x)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．(0,2] B．(0,4]
C．(0，＋∞) D．[2，＋∞)
解析：選C　當(dāng)x≥0時，f(x)＝x2，
∵函數(shù)是奇函數(shù)，∴當(dāng)x＜0時，f(x)＝－x2，
∴f(x)＝
∴f(x)在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，且滿足a2f(x)＝f(ax)，
∵不等式f(x2＋a)＞a2f(x)＝f(ax)在x∈[a－1，a＋1]恒成立，∴x2＋a＞ax在x∈[a－1，a＋1]恒成立，
令g(x)＝x2－ax＋a，函數(shù)的對稱軸為x＝，
當(dāng)＜a－1，即a＞2時，不等式恒成立，可得g(a－1)＝(a－1)2－a(a－1)＋a＝1＞0恒成立；
當(dāng)a－1≤≤a＋1，即－2≤a≤2時，不等式恒成立，可得g＝2－a＋a＞0恒成立，
解得a∈(0,2]；
當(dāng)＞a＋1，即a＜－2時，不等式恒成立，可得g(a＋1)＝(a＋1)2－a(a＋1)＋a＝2a＋1＞0，無解；綜上，a＞0.

一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快
1．(2018·浙江名校協(xié)作體聯(lián)考)下列函數(shù)為奇函數(shù)的是(　　)
A．y＝　　　　　　　　　B．y＝ex
C．y＝cos x D．y＝ex－e－x
解析：選D　對于A，定義域不關(guān)于原點對稱，故不符合要求；對于B，y＝ex為非奇非偶函數(shù)，故不符合要求；
對于C，滿足f(－x)＝f(x)，故不符合要求；
對于D，∵f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，
∴y＝ex－e－x為奇函數(shù)，故選D.
2．設(shè)函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x∈(0，＋∞)時，f(x)＝log2x，則f(－)＝(　　)
A．－ B．
C．2 D．－2
解析：選B　由已知得f(－)＝f()＝log2＝.
3．函數(shù)f(x)＝x＋＋1，f(a)＝3，則f(－a)的值為(　　)
A．－3 B．－1
C．1 D．2
解析：選B　由題意得f(a)＋f(－a)＝a＋＋1＋(－a)＋＋1＝2.
∴f(－a)＝2－f(a)＝－1，故選B.
4．(2019·紹興六校聯(lián)考)若函數(shù)f(x)＝ln(ex＋1)＋ax為偶函數(shù)，則實數(shù)a＝________.
解析：法一：(定義法)∵函數(shù)f(x)＝ln(ex＋1)＋ax為偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，即ln(e－x＋1)－ax＝ln(ex＋1)＋ax，∴2ax＝ln(e－x＋1)－ln(ex＋1)＝ln＝ln＝－x，∴2a＝－1，解得a＝－.
法二：(取特殊值)由題意知函數(shù)f(x)的定義域為R，由f(x)為偶函數(shù)得f(－1)＝f(1)，∴l(xiāng)n(e－1＋1)－a＝ln(e1＋1)＋a，∴2a＝ln(e－1＋1)－ln(e1＋1)＝ln＝ln＝－1，∴a＝－.
答案：－
5．設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0,1]時，f(x)＝x＋1，則f＝________.
解析：依題意得，f(2＋x)＝f(x)，f(－x)＝f(x)，
則f＝f＝f＝＋1＝.
答案：
二保高考，全練題型做到高考達標(biāo)
1．(2018·浙江名校協(xié)作體聯(lián)考)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝3x＋m(m為常數(shù))，則f(－log35)的值為(　　)
A．4 B．－4
C．6 D．－6
解析：選B　由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)得f(0)＝1＋m＝0?m＝－1，f(－log35)＝－f(log35)＝－(3log35－1)＝－4，選B.
2．奇函數(shù)f(x)的定義域為R.若f(x＋2)為偶函數(shù)，且f(1)＝1，則f(8)＋f(9)＝(　　)
A．－2 B．－1
C．0 D．1
解析：選D　由函數(shù)f(x＋2)為偶函數(shù)可得，f(2＋x)＝f(2－x)．
又f(－x)＝－f(x)，故f(2－x)＝－f(x－2)，
所以f(2＋x)＝－f(x－2)，即f(x＋4)＝－f(x)．
所以f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，
故該函數(shù)是周期為8的周期函數(shù)．
又函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，故f(0)＝0.
所以f(8)＋f(9)＝f(0)＋f(1)＝0＋1＝1.
3．(2018·寧波適應(yīng)性考試)若函數(shù)y＝f(x)是R上的偶函數(shù)，y＝g(x)是R上的奇函數(shù)，它們都是周期函數(shù)，則下列一定正確的是(　　)
A．函數(shù)y＝g(g(x))是偶函數(shù)，函數(shù)y＝f(x)＋g(x)是周期函數(shù)
B．函數(shù)y＝g(g(x))是奇函數(shù)，函數(shù)y＝f(x)g(x)不一定是周期函數(shù)
C．函數(shù)y＝f(g(x))是奇函數(shù)，函數(shù)y＝f(g(x))是周期函數(shù)
D．函數(shù)y＝f(g(x))是偶函數(shù)，函數(shù)y＝f(x)g(x)是周期函數(shù)
解析：選D　∵y＝f(x)是R上的偶函數(shù)，y＝g(x)是R上的奇函數(shù)，故有f(－x)＝f(x)，且g(－x)＝－g(x)．
則g(g(－x))＝g(－g(x))＝－g(g(x))，
f(g(－x))＝f(－g(x))＝f(g(x))；
故g(g(x))為奇函數(shù)，f(g(x))為偶函數(shù)，故排除A、C；
∵f(x)和g(x)都是周期函數(shù)，設(shè)它們的周期的最小公倍數(shù)為t，即f(x＋t)＝f(x)，g(x＋t)＝g(x)，
令n(x)＝f(x)g(x)，
則n(x＋t)＝f(x＋t)g(x＋t)＝f(x)g(x)＝n(x)，
∴n(x)＝f(x)g(x)一定為周期函數(shù)，故選D.
4．定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足：對任意的x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有＜0，則(　　)
A．f(3)＜f(－2)＜f(1) B．f(1)＜f(－2)＜f(3)
C．f(－2)＜f(1)＜f(3) D．f(3)＜f(1)＜f(－2)
解析：選A　∵f(x)是偶函數(shù)，∴f(－2)＝f(2)．又∵任意的x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有＜0，∴f(x)在[0，＋∞)上是減函數(shù)．又∵1＜2＜3，∴f(1)＞f(2)＝f(－2)＞f(3)，故選A.
5．(2018·溫州十校聯(lián)考)設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為D，若對于任意x1，x2∈D，當(dāng)x1＋x2＝2a時，恒有f(x1)＋f(x2)＝2b，則稱點(a，b)為函數(shù)y＝f(x)圖象的對稱中心．研究函數(shù)f(x)＝x＋sin πx－3的某一個對稱中心，并利用對稱中心的上述定義，可得到f＋f＋f＋…＋f＋f的值為(　　)
A．－4 035 B．4 035
C．－8 070 D．8 070
解析：選C　∵f(x)＝x＋sin πx－3，
∴當(dāng)x＝1時，f(1)＝1＋sin π－3＝－2，
∴根據(jù)對稱中心的定義，可得當(dāng)x1＋x2＝2時，恒有f(x1)＋f(x2)＝－4，
∴f＋f＋f＋…＋f＋f
＝2 017×＋f
＝2 017×(－4)－2
＝－8 070.
6．(2018·貴州適應(yīng)性考試)已知f(x)是奇函數(shù)，g(x)＝.若g(2)＝3，則g(－2)＝________.
解析：由題意可得g(2)＝＝3，則f(2)＝1，又f(x)是奇函數(shù)，則f(－2)＝－1，所以g(－2)＝＝＝－1.
答案：－1
7．設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(1＋|x|)－，則使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范圍為________．
解析：由已知得函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，所以f(x)＝f(|x|)，
由f(x)＞f(2x－1)，可得f(|x|)＞f(|2x－1|)．
當(dāng)x＞0時，f(x)＝ln(1＋x)－，因為y＝ln(1＋x)與y＝－在(0，＋∞)上都單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．
由f(|x|)＞f(|2x－1|)，可得|x|＞|2x－1|，
兩邊平方可得x2＞(2x－1)2，整理得3x2－4x＋1＜0，解得＜x＜1.
所以x的取值范圍為.
答案：
8．已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞增．若實數(shù)a滿足f(2|a－1|)＞f(－)，則a的取值范圍是________．
解析：∵f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在(－∞，0)上單調(diào)遞增，
∴f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，f(－)＝f()，
∴f(2|a－1|)＞f()，∴2|a－1|＜＝2，
∴|a－1|＜，即－＜a－1＜，即＜a＜.
答案：
9．設(shè)f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時，f(x)＝.
(1)求當(dāng)x＜0時，f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x)＜－.
解：(1)因為f(x)是奇函數(shù)，所以當(dāng)x＜0時，
f(x)＝－f(－x)，－x＞0，
又因為當(dāng)x＞0時，f(x)＝，
所以當(dāng)x＜0時，f(x)＝－f(－x)
＝－＝.
(2)f(x)＜－，當(dāng)x＞0時，即＜－，
所以＜－，所以＞，所以3x－1＜8，
解得x＜2，所以x∈(0,2)．
當(dāng)x＜0時，即＜－，所以＞－，
所以3－x＞32，所以x＜－2，
所以解集是(－∞，－2)∪(0,2)．
10．已知函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)．
(1)求實數(shù)m的值；
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，a－2]上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍．
解：(1)設(shè)x＜0，則－x＞0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)為奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，
于是x＜0時，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上單調(diào)遞增，作出f(x)的圖象如圖所示，
結(jié)合f(x)的圖象知所以1＜a≤3，故實數(shù)a的取值范圍是(1,3]．
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1．(2018·溫州模擬)記max{x，y}＝若f(x)，g(x)均是定義在實數(shù)集R上的函數(shù)，定義函數(shù)h(x)＝max{f(x)，g(x)}，則下列命題正確的是(　　)
A．若f(x)，g(x)都是單調(diào)函數(shù)，則h(x)也是單調(diào)函數(shù)
B．若f(x)，g(x)都是奇函數(shù)，則h(x)也是奇函數(shù)
C．若f(x)，g(x)都是偶函數(shù)，則h(x)也是偶函數(shù)
D．若f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則h(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)
解析：選C　對于A，如f(x)＝x，g(x)＝－2x都是R上的單調(diào)函數(shù)，
而h(x)＝不是定義域R上的單調(diào)函數(shù)，故A錯誤；
對于B，如f(x)＝x，g(x)＝－2x都是R上的奇函數(shù)，
而h(x)＝不是定義域R上的奇函數(shù)，故B錯誤；
對于C，當(dāng)f(x)，g(x)都是定義域R上的偶函數(shù)時，
h(x)＝max{f(x)，g(x)}也是定義域R上的偶函數(shù)，故C正確；
對于D，如f(x)＝sin x是定義域R上的奇函數(shù)，g(x)＝x2＋2是定義域R上的偶函數(shù)，
而h(x)＝g(x)＝x2＋2是定義域R上的偶函數(shù)，故D錯誤．
2．設(shè)函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)，f(x＋2)＝－f(x)，當(dāng)0≤x≤1時，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)當(dāng)－4≤x≤4時，求函數(shù)f(x)的圖象與x軸所圍成圖形的面積．
解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)，
得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，
所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)由f(x)是奇函數(shù)且f(x＋2)＝－f(x)，
得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，
即f(1＋x)＝f(1－x)．
故知函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱．
又當(dāng)0≤x≤1時，f(x)＝x，且f(x)的圖象關(guān)于原點成中心對稱，則f(x)的圖象如圖所示．

當(dāng)－4≤x≤4時，設(shè)f(x)的圖象與x軸圍成的圖形面積為S，則S＝4S△OAB＝4×＝4.