2020版一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)（文）江蘇專版學(xué)案：第二章第三節(jié)函數(shù)的奇偶性及周期性-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

1．函數(shù)的奇偶性
奇偶性
定義
圖象特點(diǎn)
偶函數(shù)
如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)
關(guān)于y軸對稱
奇函數(shù)
如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)
關(guān)于原點(diǎn)對稱
2．函數(shù)的周期性
(1)周期函數(shù)
對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有 f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期．
(2)最小正周期
如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．

[小題體驗]
1．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時，f(x)＝x2＋，則f(－1)＝________.
答案：－2
2．若函數(shù)f(x)是周期為5的奇函數(shù)，且滿足f(1)＝1，f(2)＝2，則f(8)－f(14)＝________.
答案：－1
3．若函數(shù)f(x)＝(a－1)x2＋(a＋1)x＋a2－1是奇函數(shù)，則實數(shù)a的值是________．
解析：由于函數(shù)f(x)的定義域為R，又函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，故f(0)＝0，解得a＝1或a＝－1(舍去)，經(jīng)檢驗a＝1時符合題意．
答案：1

1．判斷函數(shù)的奇偶性，易忽視判斷函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱．定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件．
2．判斷函數(shù)f(x)的奇偶性時，必須對定義域內(nèi)的每一個x，均有f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，而不能說存在x0使f(－x0)＝－f(x0)或f(－x0)＝f(x0)．
3．分段函數(shù)奇偶性判定時，誤用函數(shù)在定義域某一區(qū)間上不是奇偶函數(shù)去否定函數(shù)在整個定義域上的奇偶性．
[小題糾偏]
1．已知f(x)＝ax2＋bx是定義在[a－1,2a]上的偶函數(shù)，那么a＋b＝________.
解析：因為f(x)＝ax2＋bx是定義在[a－1,2a]上的偶函數(shù)，所以a－1＋2a＝0，所以a＝.又f(－x)＝f(x)，所以b＝0，所以a＋b＝.
答案：
2．函數(shù)f(x)＝的奇偶性為________．
解析：因為x≠0，故f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱．
當(dāng)x＞0時，－x＜0，所以f(－x)＝log2x＝f(x)．
當(dāng)x＜0時，－x＞0，所以f(－x)＝log2(－x)＝f(x)．
故f(－x)＝f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)．
答案：偶函數(shù)

　
[題組練透]
判斷下列函數(shù)的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝3x－3－x；
(4)f(x)＝；
(5)(易錯題)f(x)＝
解：(1)因為由得x＝±1，
所以f(x)的定義域為{－1,1}．
又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，
即f(x)＝±f(－x)．
所以f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．
(2)因為函數(shù)f(x)＝＋的定義域為，不關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，
所以函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．
(3)因為f(x)的定義域為R，
所以f(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－f(x)，
所以f(x)為奇函數(shù)．
(4)因為由得－2≤x≤2且x≠0.
所以f(x)的定義域為[－2,0)∪(0,2]，
所以f(x)＝＝＝，
所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)．
(5)易知函數(shù)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點(diǎn)對稱，
又當(dāng)x＞0時，f(x)＝x2＋x，
則當(dāng)x＜0時，－x＞0，
故f(－x)＝x2－x＝f(x)；
當(dāng)x＜0時，f(x)＝x2－x，則當(dāng)x＞0時，－x＜0，
故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函數(shù)是偶函數(shù)．
[謹(jǐn)記通法]
判定函數(shù)奇偶性的3種常用方法
(1)定義法

(2)圖象法

(3)性質(zhì)法
①設(shè)f(x)，g(x)的定義域分別是 D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
②復(fù)合函數(shù)的奇偶性可概括為“同奇則奇，一偶則偶”．
[提醒]　(1)“性質(zhì)法”中的結(jié)論是在兩個函數(shù)的公共定義域內(nèi)才成立的．
(2)判斷分段函數(shù)的奇偶性應(yīng)分段分別證明f(－x)與f(x)的關(guān)系，只有對各段上的x都滿足相同的關(guān)系時，才能判斷其奇偶性．
　
[典例引領(lǐng)]
設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，當(dāng)x∈[0,2]時，f(x)＝2x－x2.
(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；
(2)計算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)．
解：(1)證明：因為f(x＋2)＝－f(x)，
所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．
所以f(x)是周期為4的周期函數(shù)．
(2)因為f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－f(1)＝－1.
又f(x)是周期為4的周期函數(shù)，
所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)＝0.
所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)＝f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＝1.
[由題悟法]
1．判斷函數(shù)周期性的2個方法
(1)定義法．
(2)圖象法．
2．周期性3個常用結(jié)論
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a.
(2)若f(x＋a)＝，則T＝2a.
(3)若f(x＋a)＝－，則T＝2a(a＞0)．
[即時應(yīng)用]
1．(2018·鎮(zhèn)江調(diào)研)已知f(x)是定義在R上周期為4的函數(shù)，且f(－x)＋f(x)＝0，當(dāng)0＜x＜2時，f(x)＝2x－1，則f(－21)＋f(16)＝________.
解析：由f(－x)＋f(x)＝0，知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴f(0)＝0.
又f(x＋4)＝f(x)，且當(dāng)0＜x＜2時，f(x)＝2x－1，
∴f(－21)＋f(16)＝f(－1)＋f(0)
＝－f(1)＝－(21－1)＝－1.
答案：－1
2．已知f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)0≤x＜2時，f(x)＝x3－x，則函數(shù)y＝f(x)的圖象在區(qū)間[0,6]上與x軸的交點(diǎn)個數(shù)為________．
解析：因為當(dāng)0≤x＜2時，f(x)＝x3－x，
又f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且f(0)＝0，
所以f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.
又f(1)＝0，所以f(3)＝f(5)＝0.
故函數(shù)y＝f(x)的圖象在區(qū)間[0,6]上與x軸的交點(diǎn)個數(shù)為7.
答案：7
　
[鎖定考向]
函數(shù)的奇偶性、周期性以及單調(diào)性是函數(shù)的三大性質(zhì)，在高考中常常將它們綜合在一起命制試題，其中奇偶性多與單調(diào)性相結(jié)合，而周期性常與抽象函數(shù)相結(jié)合，并以結(jié)合奇偶性求函數(shù)值為主．多以填空題形式出現(xiàn)．
常見的命題角度有：
(1)奇偶性的應(yīng)用；
(2)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合；
(3)周期性與奇偶性結(jié)合；
(4)單調(diào)性、奇偶性與周期性結(jié)合．　　　　
[題點(diǎn)全練]
角度一：奇偶性的應(yīng)用
1．(2018·連云港模擬)函數(shù)y＝f(x)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＜0時，f(x)＝2x，則當(dāng)x＞0時，f(x)＝________.
解析：x＞0時，－x＜0，因為x＜0時，f(x)＝2x，所以當(dāng)x＞0時，f(－x)＝2－x.因為f(x)是R上的奇函數(shù)，所以當(dāng)x＞0時，f(x)＝－f(－x)＝－2－x.
答案：－2－x
角度二：單調(diào)性與奇偶性結(jié)合
2．已知函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)，且函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，a－2]上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為________．
解析：當(dāng)x＜0時，－x＞0，f(x)＝－f(－x)＝－[－(－x)2＋2×(－x)]＝x2＋2x，x＜0，所以m＝2，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[－1，1]，因此[－1，a－2]?[－1,1]?－1＜a－2≤1?1＜a≤3.
答案：(1,3]
角度三：周期性與奇偶性結(jié)合
3．(2019·江陰期中)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，并滿足f(x＋2)＝－，當(dāng)1≤x≤2時f(x)＝x－2，則f(6.5)＝________.
解析：∵f(x＋2)＝－，
∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－＝f(x)，即函數(shù)f(x)的周期為4.
∵f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，
∴f(6.5)＝f(－1.5)＝f(1.5)＝－0.5.
答案：－0.5
角度四：單調(diào)性、奇偶性與周期性結(jié)合
4．已知函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，對任意x∈R，f(x－1)＝f(x＋1)成立，當(dāng)x∈(0,1)且x1≠x2時，有＜0，給出下列命題：
①f(1)＝0；
②f(x)在區(qū)間[－2,2]上有5個零點(diǎn)；
③點(diǎn)(2 018,0)是函數(shù)y＝f(x)圖象的一個對稱中心；
④直線x＝2 018是函數(shù)y＝f(x)圖象的一條對稱軸．
則正確命題的序號為________．
解析：在f(x－1)＝f(x＋1)中，令x＝0，得f(－1)＝f(1)，又f(－1)＝－f(1)，∴2f(1)＝0，∴f(1)＝0，故①正確；由f(x－1)＝f(x＋1)，得f(x)＝f(x＋2)，∴f(x)是周期為2的周期函數(shù)，∴f(2)＝f(0)＝0，又當(dāng)x∈(0,1)且x1≠x2時，有＜0，∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，可作出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示．

由圖知②③正確，④不正確，故正確命題的序號為①②③.
答案：①②③
[通法在握]
函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用問題的常見類型及解題策略
(1)函數(shù)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合．注意函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)圖象的對稱性．
(2)周期性與奇偶性結(jié)合．此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行交換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解．
(3)周期性、奇偶性與單調(diào)性結(jié)合．解決此類問題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解．
[演練沖關(guān)]
1．(2018·啟東中學(xué)月考)已知函數(shù)f(x)在定義域[2－a,3]上是偶函數(shù)，在[0,3]上單調(diào)遞減，且f＞f(－m2＋2m－2)，則實數(shù)m的取值范圍是________．
解析：因為函數(shù)f(x)在定義域[2－a,3]上是偶函數(shù)，所以2－a＋3＝0，所以a＝5，所以f＞f(－m2＋2m－2)，即f(－m2－1)＞f(－m2＋2m－2)．由題意知偶函數(shù)f(x)在 [－3,0]上單調(diào)遞增，而－m2－1＜0，－m2＋2m－2＝－(m－1)2－1＜0，所以由f(－m2－1)＞f(－m2＋2m－2)，得解得1－≤m＜.
答案：
2．設(shè)f(x)是定義在R上周期為4的奇函數(shù)，若在區(qū)間[－2,0)∪(0,2]上，f(x)＝則f(2 018)＝________.
解析：設(shè)0＜x≤2，則－2≤－x＜0，f(－x)＝－ax＋b.f(x)是定義在R上周期為4的奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)＝－ax＋1＝－ax＋b，所以b＝1.而f(－2)＝f(－2＋4)＝f(2)，所以－2a＋1＝2a－1，解得a＝，所以f(2 018)＝f(2)＝2×－1＝0.
答案：0

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1．(2019·南通中學(xué)高三測試)已知函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，且f(－1)＝2，那么f(0)＋f(1)＝________.
解析：因為函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，
所以f(－x)＝－f(x)，
f(1)＝－f(－1)＝－2，f(0)＝0，
所以f(0)＋f(1)＝－2.
答案：－2
2．(2018·南京三模)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝2x－2，則不等式f(x－1)≤2的解集是________．
解析：偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，且f(2)＝2.
所以f(x－1)≤2，即f(|x－1|)≤f(2)，即|x－1|≤2，所以－1≤x≤3.
答案：[－1,3]
3．函數(shù)f(x)＝x＋＋1，f(a)＝3，則f(－a)＝________.
解析：由題意得f(a)＋f(－a)＝a＋＋1＋(－a)＋＋1＝2.
所以f(－a)＝2－f(a)＝－1.
答案：－1
4．函數(shù)f(x)在R上為奇函數(shù)，且x＞0時，f(x)＝＋1，則當(dāng)x＜0時，f(x)＝________.
解析：因為f(x)為奇函數(shù)，x＞0時，f(x)＝＋1，
所以當(dāng)x＜0時，－x＞0，
f(x)＝－f(－x)＝－(＋1)，
即x＜0時，f(x)＝－(＋1)＝－－1.
答案：－－1
5．(2019·連云港高三測試)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時，f(x)＝ x，則f(－2＋log35)＝________.
解析：由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，得f(－2＋log35)＝－f(2－log35)，
由于當(dāng)x＞0時，f(x)＝x，
故f(－2＋log35)＝－f＝－＝－.
答案：－
6．(2018·南通一調(diào))若函數(shù)f(x)＝(a，b∈R)為奇函數(shù)，則f(a＋b)＝________.
解析：法一：因為函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，
所以即
解得經(jīng)驗證a＝－1，b＝2滿足題設(shè)條件，
所以f(a＋b)＝f(1)＝－1.
法二：因為函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，由題意知，
當(dāng)x≥0，二次函數(shù)的圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
當(dāng)x＜0，二次函數(shù)的圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，－a)，
所以解得a＝－1，b＝2，
經(jīng)驗證a＝－1，b＝2滿足題設(shè)條件，
所以f(a＋b)＝f(1)＝－1.
答案：－1
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1．(2018·撫順期末)設(shè)f(x)是定義在[－2b,3＋b]上的偶函數(shù)，且在[－2b,0]上為增函數(shù)，則f(x－1)≥f(3)的解集為________．
解析：∵f(x)是定義在[－2b,3＋b]上的偶函數(shù)，
∴－2b＋3＋b＝0，
∴b＝3，
∴f(x)是定義在[－6,6]上的偶函數(shù)，且在[－6,0]上為增函數(shù)，
∴f(x)在[0,6]上為減函數(shù)，
∴由f(x－1)≥f(3)，得|x－1|≤3，
解得－2≤x≤4，
∴f(x－1)≥f(3)的解集為{x|－2≤x≤4}．
答案：{x|－2≤x≤4}
2．(2019·常州一中模擬)設(shè)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＋f(x)＝1，且當(dāng)x∈[1,2]時，f(x)＝2－x，則f(－2 018.5)＝________.
解析：由f(x＋1)＋f(x)＝1在R上恒成立，得f(x－1)＋f(x)＝1，兩式相減得f(x＋1)－f(x－1)＝0，即f(x＋1)＝f(x－1)恒成立，故函數(shù)f(x)的周期是2，
∴f(－2 018.5)＝f(－0.5)＝f(1.5)，
又當(dāng)x∈[1,2]時，f(x)＝2－x，
∴f(－2 018.5)＝f(1.5)＝2－1.5＝0.5.
答案：0.5
3．已知函數(shù)f(x)是定義在[－2,2]上的奇函數(shù)，且在區(qū)間[0,2]上是單調(diào)減函數(shù)．若f(2x＋1)＋f(1)＜0，則x的取值范圍是________．
解析：∵函數(shù)f(x)是定義在[－2,2]上的奇函數(shù)，且在區(qū)間[0,2]上是單調(diào)減函數(shù)，
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2,2]上是單調(diào)減函數(shù)．
∵f(2x＋1)＋f(1)＜0，即f(2x＋1)＜－f(1)，
∴f(2x＋1)＜f(－1)．
則解得－1＜x≤.
∴x的取值范圍是.
答案：
4．(2018·泰州期末)設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時，f(x)＝2x＋ln，記an＝f(n－5)，則數(shù)列{an}的前8項和為________．
解析：數(shù)列{an}的前8項和為f(－4)＋f(－3)＋…＋f(3)＝f(－4)＋(f(－3)＋f(3))＋(f(－2)＋f(2))＋(f(－1)＋f(1))＋f(0)＝f(－4)＝－f(4)＝－＝－16.
答案：－16
5．(2018·徐州期中)已知函數(shù)f(x)＝ex－e－x＋1(e為自然對數(shù)的底數(shù))，若f(2x－1)＋f(4－x2)＞2，則實數(shù)x的取值范圍為________．
解析：令g(x)＝f(x)－1＝ex－e－x，則g(x)為奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增．因為f(2x－1)＋f(4－x2)＞2，所以f(2x－1)－1＋f(4－x2)－1＞0，即g(2x－1)＋g(4－x2)＞0，所以g(2x－1)＞g(x2－4)，即2x－1＞x2－4，解得x∈(－1,3)．
答案：(－1,3)
6．(2019·鎮(zhèn)江中學(xué)測試)已知奇函數(shù)f(x)在定義域R上是單調(diào)減函數(shù)，若實數(shù)a滿足 f(2|2a－1|)＋f(－2)＞0，則a的取值范圍是________．
解析：由f(2|2a－1|)＋f(－2)＞0，可得f(2|2a－1|)＞－f(－2)．因為f(x)為奇函數(shù)，所以f(2|2a－1|)＞f(2)．因為f(x)在定義域R上是單調(diào)減函數(shù)，所以2|2a－1|＜2，即|2a－1|＜，解得－＜a＜.
答案：
7．(2019·蘇州調(diào)研)已知奇函數(shù)f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，且f(2)＝0，則不等式＞0的解集為________．
解析：由＞0，可得或因為奇函數(shù)f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，且f(2)＝f(－2)＝0，所以當(dāng)x＞1時，f(x)＞0的解集為(1,2)；當(dāng)x＜1時，f(x)＜0的解集為(－2,0)．
所以不等式＞0的解集為(－2,0)∪(1,2)．
答案：(－2,0)∪(1,2)
8．函數(shù)f(x)在R上滿足f(－x)＝－f(x)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝－ex＋1＋mcos(π＋x)，記a＝－πf(－π)，b＝－·f，c＝ef(e)，則a，b，c的大小關(guān)系為________．
解析：∵函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f(x)＝－ex＋1＋mcos(π＋x)，
∴f(0)＝－1＋1－m＝0，即m＝0，
∴f(x)＝－ex＋1(x≥0)．
令g(x)＝xf(x)，
有g(shù)(－x)＝(－x)f(－x)＝xf(x)＝g(x)，
∴函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，
當(dāng)x≥0時，g(x)＝xf(x)＝x(1－ex)，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)＝1－(1＋x)ex＜0，
∴函數(shù)g(x)在[0，＋∞)上為減函數(shù)，
∵a＝－πf(－π)＝g(－π)＝g(π)，b＝－f＝g＝g，c＝ef(e)＝g(e)，
又e＜π＜，∴b＜a＜c.
答案：b＜a＜c
9．已知函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)．
(1)求實數(shù)m的值；
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，a－2]上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍．
解：(1)設(shè)x＜0，則－x＞0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)為奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，
于是x＜0時，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上單調(diào)遞增，
結(jié)合f(x)的圖象(如圖所示)知
所以1＜a≤3，故實數(shù)a的取值范圍是(1,3]．

10．(2018·大同期末)已知函數(shù)f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝loga(1－x)，其中a＞0，a≠1.
(1)求函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)的定義域；
(2)判斷F(x)＝f(x)－g(x)的奇偶性，并說明理由；
(3)當(dāng)a＞1時，求使F(x)＞0成立的x的取值范圍．
解：(1)∵F(x)＝f(x)－g(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，
∴解得－1＜x＜1，
∴函數(shù)F(x)的定義域為(－1,1)．
(2)F(x)為(－1,1)上的奇函數(shù)．理由如下：
由(1)知F(x)的定義域為(－1,1)，關(guān)于原點(diǎn)對稱，F(xiàn)(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]＝－F(x)，
∴函數(shù)F(x)為(－1,1)上的奇函數(shù)．
(3)根據(jù)題意，F(xiàn)(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，
當(dāng)a＞1時，由F(x)＞0，得loga(x＋1)＞loga(1－x)，
即
解得0＜x＜1，
故x的取值范圍為(0,1)．
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1．(2019·南通模擬)已知定義在R上的奇函數(shù)y＝f(x)滿足f(2＋x)＝f(2－x)，當(dāng)－2≤x＜0時，f(x)＝2x，若an＝f(n)(n∈N*)，則a2 018＝________.
解析：∵f(2＋x)＝f(2－x)，以2＋x代替上式中的x，得f(4＋x)＝f(－x)，
又函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(4＋x)＝f(－x)＝－f(x)，
再以4＋x代替上式中的x，得f(8＋x)＝－f(4＋x)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)的周期為8.
∴a2 018＝f(2 018)＝f(252×8＋2)＝f(2)，
而f(2)＝－f(－2)＝－，
∴a2 018＝－.
答案：－
2．設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，對任意實數(shù)x有f＝－f成立．
(1)證明y＝f(x)是周期函數(shù)，并指出其周期；
(2)若f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值；
(3)若g(x)＝x2＋ax＋3，且y＝|f(x)|·g(x)是偶函數(shù)，求實數(shù)a的值．
解：(1)由f＝－f，
且f(－x)＝－f(x)，知f(3＋x)＝f＝
－f＝－f(－x)＝f(x)，
所以y＝f(x)是周期函數(shù)，且T＝3是其一個周期．
(2)因為f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，
且f(－1)＝－f(1)＝－2，又T＝3是y＝f(x)的一個周期，
所以f(2)＋f(3)＝f(－1)＋f(0)＝－2＋0＝－2.
(3)因為y＝|f(x)|·g(x)是偶函數(shù)，
且|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，所以|f(x)|為偶函數(shù)．
故g(x)＝x2＋ax＋3為偶函數(shù)，
即g(－x)＝g(x)恒成立，
于是(－x)2＋a(－x)＋3＝x2＋ax＋3恒成立．
于是2ax＝0恒成立，所以a＝0.