1．五種常見(jiàn)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)
函數(shù)特征性質(zhì)
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
圖象





定義域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
單調(diào)性
增
(－∞，0)減，(0，＋∞)增
增
增
(－∞，0)和(0，＋∞)減
公共點(diǎn)
(1,1)

2．二次函數(shù)解析式的三種形式
(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(2)頂點(diǎn)式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；
(3)零點(diǎn)式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
3．二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)
f(x)＝ax2＋bx＋c
a＞0
a＜0
圖象


定義域
R
值域


單調(diào)性
在上遞減，在上遞增
在上遞增，在上遞減
奇偶性
b＝0時(shí)為偶函數(shù)，b≠0時(shí)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)
圖象特點(diǎn)
①對(duì)稱(chēng)軸：x＝－；
②頂點(diǎn)：

[小題體驗(yàn)]
1．已知冪函數(shù)y＝f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則f(2)＝(　　)
A． B．4
C． D．
解析：選C　設(shè)f(x)＝xα，
∵圖象過(guò)點(diǎn)，∴f(4)＝4α＝，解得α＝－，
∴f(2)＝2－＝.
2．函數(shù)f(x)＝(m2－m－1)xm是冪函數(shù)，且在x∈(0，＋∞)上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)_______．
解析：∵f(x)＝(m2－m－1)xm是冪函數(shù)，
∴m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2.
又∵f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，
∴m＝2.
答案：2
3．已知f(x)＝4x2－mx＋5在[2，＋∞)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．
解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝4x2－mx＋5的單調(diào)遞增區(qū)間為，所以≤2，即m≤16.
答案：(－∞，16]

1．對(duì)于函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，要認(rèn)為它是二次函數(shù)，就必須滿足a≠0，當(dāng)題目條件中未說(shuō)明a≠0時(shí)，就要討論a＝0和a≠0兩種情況．
2．冪函數(shù)的圖象一定會(huì)出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會(huì)出現(xiàn)在第四象限，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi)，要看函數(shù)的奇偶性；冪函數(shù)的圖象最多只能同時(shí)出現(xiàn)在兩個(gè)象限內(nèi)；如果冪函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn)．
[小題糾偏]
1．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋x＋5的圖象在x軸上方，則a的取值范圍是________．
答案：
2．給出下列命題：
①函數(shù)y＝2x是冪函數(shù)；
②如果冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn)；
③當(dāng)n＜0時(shí)，冪函數(shù)y＝xn是定義域上的減函數(shù)；
④二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，x∈[m，n]的最值一定是.
其中正確的是________(填序號(hào))．
答案：②


[題組練透]
1．已知冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(9,3)，則f(2)－f(1)＝(　　)
A．3　　　　　　　　 　B．1－
C.－1 D．1
解析：選C　設(shè)冪函數(shù)f(x)＝xα，則f(9)＝9α＝3，即α＝，所以f(x)＝x＝，所以f(2)－f(1)＝－1.
2．當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，冪函數(shù)y＝(m2＋m－1)x－5m－3為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為(　　)
A．－2 B．1
C．1或－2 D．m≠
解析：選B　因?yàn)楹瘮?shù)y＝(m2＋m－1)x－5m－3既是冪函數(shù)又是(0，＋∞)上的減函數(shù)，所以解得m＝1.
3．冪函數(shù)y＝xm2－2m－3(m∈Z)的圖象如圖所示，則m的值為(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：選C　從圖象上看，由于圖象不過(guò)原點(diǎn)，且在第一象限下降，故m2－2m－3＜0，即－1＜m＜3；又從圖象看，函數(shù)是偶函數(shù)，故m2－2m－3為負(fù)偶數(shù)，將m＝0,1,2分別代入，可知當(dāng)m＝1時(shí)，m2－2m－3＝－4，滿足要求．
4．若(a＋1)＜(3－2a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
解析：易知函數(shù)y＝x的定義域?yàn)閇0，＋∞)，在定義域內(nèi)為增函數(shù)，
所以解得－1≤a＜.
答案：
[謹(jǐn)記通法]
冪函數(shù)的指數(shù)與圖象特征的關(guān)系
(1)冪函數(shù)的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一個(gè)參數(shù)α，因此只需一個(gè)條件即可確定其解析式．
(2)若冪函數(shù)y＝xα(α∈R)是偶函數(shù)，則α必為偶數(shù)．當(dāng)α是分?jǐn)?shù)時(shí)，一般將其先化為根式，再判斷．
(3)若冪函數(shù)y＝xα在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則α＞0，若在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，則α＜0.

[典例引領(lǐng)]
已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，試確定此二次函數(shù)的解析式．
解：法一：(利用二次函數(shù)的一般式)
設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由題意得解得
故所求二次函數(shù)為f(x)＝－4x2＋4x＋7.
法二：(利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式)
設(shè)f(x)＝a(x－m)2＋n.
∵f(2)＝f(－1)，∴拋物線對(duì)稱(chēng)軸為x＝＝.
∴m＝，又根據(jù)題意函數(shù)有最大值8，∴n＝8，
∴y＝f(x)＝a2＋8.
∵f(2)＝－1，
∴a2＋8＝－1，解得a＝－4，
∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.
法三：(利用兩根式)
由已知f(x)＋1＝0的兩根為x1＝2，x2＝－1，
故可設(shè)f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函數(shù)有最大值ymax＝8，即＝8.
解得a＝－4或a＝0(舍去)，
故所求函數(shù)解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7.
[由題悟法]
求二次函數(shù)解析式的方法

[即時(shí)應(yīng)用]
已知二次函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,3)，它在x軸上截得的線段長(zhǎng)為2，并且對(duì)任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式．
解：∵f(2－x)＝f(2＋x)對(duì)x∈R恒成立，
∴f(x)的對(duì)稱(chēng)軸為x＝2.
又∵f(x)的圖象被x軸截得的線段長(zhǎng)為2，
∴f(x)＝0的兩根為1和3.
設(shè)f(x)的解析式為f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．
又∵f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(4,3)，
∴3a＝3，a＝1.
∴所求f(x)的解析式為f(x)＝(x－1)(x－3)，
即f(x)＝x2－4x＋3.

[鎖定考向]
高考對(duì)二次函數(shù)圖象與性質(zhì)進(jìn)行單獨(dú)考查的頻率較低．常與一元二次方程、一元二次不等式等知識(shí)交匯命題是高考的熱點(diǎn)，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用．
常見(jiàn)的命題角度有：
(1)二次函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題；
(2)二次函數(shù)的最值問(wèn)題；
(3)二次函數(shù)中恒成立問(wèn)題．　　　 　
[題點(diǎn)全練]
角度一：二次函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題
1．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在區(qū)間[－1，＋∞)上是遞減的，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．[－3,0)　　　　　　　 　B．(－∞，－3]
C．[－2,0] D．[－3,0]
解析：選D　當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上遞減，滿足題意．
當(dāng)a≠0時(shí)，f(x)的對(duì)稱(chēng)軸為x＝，
由f(x)在[－1，＋∞)上遞減知解得－3≤a＜0.
綜上，a的取值范圍是[－3,0]．
角度二：二次函數(shù)的最值問(wèn)題
2．若函數(shù)f(x)＝ax2＋2ax＋1在[－1,2]上有最大值4，則a的值為_(kāi)_______．
解析：∵f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.
①當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,2]上的值為常數(shù)1，不符合題意，舍去；
②當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,2]上是增函數(shù)，最大值為f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝；
③當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,2]上是減函數(shù)，最大值為f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.
綜上可知，a的值為或－3.
答案：或－3
角度三：二次函數(shù)中恒成立問(wèn)題
3．已知函數(shù)f(x)＝x2－x＋1，在區(qū)間[－1,1]上，不等式f(x)＞2x＋m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．
解析：f(x)＞2x＋m等價(jià)于x2－x＋1＞2x＋m，
即x2－3x＋1－m＞0，
令g(x)＝x2－3x＋1－m，
要使g(x)＝x2－3x＋1－m＞0在[－1,1]上恒成立，
只需使函數(shù)g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可．
∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上單調(diào)遞減，
∴g(x)min＝g(1)＝－m－1.
由－m－1＞0，得m＜－1.
因此滿足條件的實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－∞，－1)．
答案：(－∞，－1)
[通法在握]
1．二次函數(shù)最值問(wèn)題的3種類(lèi)型及解題思路
(1)類(lèi)型：①對(duì)稱(chēng)軸、區(qū)間都是給定的；②對(duì)稱(chēng)軸動(dòng)、區(qū)間固定；③對(duì)稱(chēng)軸定、區(qū)間變動(dòng)．
(2)思路：抓“三點(diǎn)一軸”，三點(diǎn)是指區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和中點(diǎn)，一軸指的是對(duì)稱(chēng)軸．
2．由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的2大思路及1個(gè)關(guān)鍵
(1)思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù)．
(2)關(guān)鍵：兩種思路都是將問(wèn)題歸結(jié)為求函數(shù)的最值，至于用哪種方法，關(guān)鍵是看參數(shù)是否可分離．這兩個(gè)思路的依據(jù)是：a≥f(x)?a≥f(x)max，a≤f(x)?a≤f(x)min.
[演練沖關(guān)]
1．若二次函數(shù)y＝kx2－4x＋2在區(qū)間[1,2]上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為(　　)
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，2)
解析：選A　二次函數(shù)y＝kx2－4x＋2的對(duì)稱(chēng)軸為x＝，當(dāng)k＞0時(shí)，要使函數(shù)y＝kx2－4x＋2在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù)，只需≤1，解得k≥2.
當(dāng)k＜0時(shí)，＜0，此時(shí)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間[1,2]的左側(cè)，該函數(shù)y＝kx2－4x＋2在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù)，不符合要求．綜上可得，實(shí)數(shù)k的取值范圍為[2，＋∞)．
2．已知y＝f(x)是偶函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝(x－1)2，若當(dāng)x∈時(shí)，n≤f(x)≤m恒成立，則m－n的最小值為(　　)
A. B．
C. D．1
解析：選D　設(shè)x＜0，則－x＞0，
有f(－x)＝(－x－1)2＝(x＋1)2.又∵f(－x)＝f(x)，
∴當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝(x＋1)2，
∴該函數(shù)在上的最大值為1，最小值為0，
依題意，n≤f(x)≤m恒成立，
則n≤0，m≥1，即m－n≥1，故m－n的最小值為1.
3．設(shè)函數(shù)f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函數(shù)f(x)的最小值．
解：f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x＝1.
當(dāng)t＋1＜1，即t＜0時(shí)，函數(shù)圖象如圖(1)所示，函數(shù)f(x)在區(qū)間[t，t＋1]上為減函數(shù)，所以最小值為f(t＋1)＝t2＋1；
當(dāng)t≤1≤t＋1，即0≤t≤1時(shí)，函數(shù)圖象如圖(2)所示，在對(duì)稱(chēng)軸x＝1處取得最小值，最小值為f(1)＝1；

當(dāng)t＞1時(shí)，函數(shù)圖象如圖(3)所示，函數(shù)f(x)在區(qū)間[t，t＋1]上為增函數(shù)，所以最小值為f(t)＝t2－2t＋2.
綜上可知，f(x)min＝

一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快
1．冪函數(shù)y＝f(x)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3，)，則f(x)是(　　)
A．偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)
B．偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)
C．奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)
D．非奇非偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)
解析：選D　設(shè)冪函數(shù)的解析式為y＝xα，將(3，)代入解析式得3α＝，解得α＝，所以y＝x.故選D.
2．(2018·麗水調(diào)研)設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0，x∈R)，對(duì)任意實(shí)數(shù)t都有f(2＋t)＝f(2－t)成立，在函數(shù)值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的一個(gè)不可能是(　　)
A．f(－1)　　　　　　　 　B．f(1)
C．f(2) D．f(5)
解析：選B　由f(2＋t)＝f(2－t)知函數(shù)y＝f(x)的圖象對(duì)稱(chēng)軸為x＝2.當(dāng)a＞0時(shí)，易知f(5)＝f(－1)＞f(1)＞f(2)；當(dāng)a＜0時(shí)，f(5)＝f(－1)＜f(1)＜f(2)，故最小的不可能是f(1)．
3．(2018·金華模擬)已知冪函數(shù)y＝f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則它的單調(diào)遞增區(qū)間為(　　)
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，＋∞)
解析：選C　設(shè)冪函數(shù)f(x)＝xα，
∵f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
∴2α＝，解得α＝－2，
則f(x)＝x－2＝，且x≠0，
∵y＝x2在(－∞，0)上遞減，在(0，＋∞)上遞增，
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，0)．
4．定義：如果在函數(shù)y＝f(x)定義域內(nèi)的給定區(qū)間[a，b]上存在x0(a＜x0＜b)，滿足f(x0)＝，則稱(chēng)函數(shù)y＝f(x)是[a，b]上的“平均值函數(shù)”，x0是它的一個(gè)均值點(diǎn)，如y＝x4是[－1,1]上的平均值函數(shù)，0就是它的均值點(diǎn)．現(xiàn)有函數(shù)f(x)＝－x2＋mx＋1是[－1,1]上的平均值函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．
解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝－x2＋mx＋1是[－1,1]上的平均值函數(shù)，
設(shè)x0為均值點(diǎn)，所以＝m＝f(x0)，
即關(guān)于x0的方程－x＋mx0＋1＝m在(－1,1)內(nèi)有實(shí)數(shù)根，解方程得x0＝1或x0＝m－1.
所以必有－1＜m－1＜1，即0＜m＜2，
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(0,2)．
答案：(0,2)
5．若函數(shù)f(x)＝x2－2x＋1在區(qū)間[a，a＋2]上的最小值為4，則實(shí)數(shù)a的取值集合為_(kāi)_______．
解析：∵函數(shù)f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝1，且f(x)在區(qū)間[a，a＋2]上的最小值為4，
∴當(dāng)a≥1時(shí)，f(a)＝(a－1)2＝4，
∴a＝－1(舍去)或a＝3；
當(dāng)a＋2≤1，即a≤－1時(shí)，f(a＋2)＝(a＋1)2＝4，
∴a＝1(舍去)或a＝－3；
當(dāng)a＜1＜a＋2，即－1＜a＜1時(shí)，f(1)＝0≠4.
故a的取值集合為{－3,3}．
答案：{－3,3}
二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)
1．已知點(diǎn)(m,8)在冪函數(shù)f(x)＝(m－1)xn的圖象上，設(shè)a＝f，b＝f(ln π)，c＝f，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　)
A．c＜a＜b B．a(chǎn)＜b＜c
C．b＜c＜a D．b＜a＜c
解析：選A　根據(jù)題意，m－1＝1，∴m＝2，∴2n＝8，
∴n＝3，∴f(x)＝x3.
∵f(x)＝x3是定義在R上的增函數(shù)，
又－＜0＜＜0＝1＜ln π，
∴c＜a＜b.
2．設(shè)abc＞0，二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的圖象可能是(　　)

解析：選D　由A、C、D知，f(0)＝c＜0.
∵abc＞0，∴ab＜0，
∴對(duì)稱(chēng)軸x＝－＞0，知A、C錯(cuò)誤，D符合要求．
由B知f(0)＝c＞0，
∴ab＞0，
∴x＝－＜0，B錯(cuò)誤．故選D.
3．(2018·諸暨月考)已知冪函數(shù)f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)，則n的值為(　　)
A．－3 B．1
C．2 D．1或2
解析：選B　∵冪函數(shù)f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)，
∴解得n＝1.
4．若a＝，b＝，c＝，則a，b，c的大小關(guān)系是(　　)
A．a(chǎn)＜b＜c　　　　　　　 　B．c＜a＜b
C．b＜c＜a D．b＜a＜c
解析：選D　∵y＝x(x＞0)是增函數(shù)，∴a＝＞b＝.∵y＝x是減函數(shù)，∴a＝＜c＝，∴b＜a＜c.
5．若函數(shù)y＝x2－3x－4的定義域?yàn)閇0，m]，值域?yàn)椋瑒tm的取值范圍是(　　)
A．[0,4]　　　　　　　 B.
C. D.
解析：選D　二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x＝，且f＝－，f(3)＝f(0)＝－4，由圖得m∈.
6．(2018·寧波模擬)已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，總存在實(shí)數(shù)m，當(dāng)x∈[m，m＋1]時(shí)，使得f(x)≤0恒成立，則b的取值范圍為_(kāi)_______．
解析：設(shè)f(x)＝x2＋ax＋b＝0，有兩根x1，x2，
∴4b＜a2，x1＋x2＝－a，x1x2＝b，
∵對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，總存在實(shí)數(shù)m，當(dāng)x∈[m，m＋1]時(shí)，使得f(x)≤0恒成立，
∴(x1－x2)2≥1恒成立，∴a2－1≥4b，
∴b≤－，故b的取值范圍為.
答案：
7．已知函數(shù)f(x)＝為奇函數(shù)，則a＋b＝________.
解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù)，
所以當(dāng)x＜0時(shí)，－x＞0，
所以f(x)＝x2＋x，f(－x)＝ax2－bx，
而f(－x)＝－f(x)，即－x2－x＝ax2－bx，
所以a＝－1，b＝1，故a＋b＝0.
答案：0
8．已知對(duì)于任意的x∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x2－2(a－2)x＋a＞0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
解析：Δ＝4(a－2)2－4a＝4a2－20a＋16＝4(a－1)(a－4)．
(1)若Δ＜0，即1＜a＜4時(shí)，x2－2(a－2)x＋a＞0在R上恒成立，符合題意；
(2)若Δ＝0，即a＝1或a＝4時(shí)，方程x2－2(a－2)x＋a＞0的解為x≠a－2，
顯然當(dāng)a＝1時(shí)，不符合題意，當(dāng)a＝4時(shí)，符合題意；
(3)當(dāng)Δ＞0，即a＜1或a＞4時(shí)，因?yàn)閤2－2(a－2)x＋a＞0在(－∞，1)∪(5，＋∞)上恒成立，
所以解得3＜a≤5，
又a＜1或a＞4，所以4＜a≤5.
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,5]．
答案：(1,5]
9．(2018·杭州五校聯(lián)盟)已知值域?yàn)閇－1，＋∞)的二次函數(shù)滿足f(－1＋x)＝f(－1－x)，且方程f(x)＝0的兩個(gè)實(shí)根x1，x2滿足|x1－x2|＝2.
(1)求f(x)的表達(dá)式；
(2)函數(shù)g(x)＝f(x)－kx在區(qū)間[－1,2]內(nèi)的最大值為f(2)，最小值為f(－1)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
解：(1)∵f(－1＋x)＝f(－1－x)，
可得f(x)的圖象關(guān)于x＝－1對(duì)稱(chēng)，
∴設(shè)f(x)＝a(x＋1)2＋h＝ax2＋2ax＋a＋h，
∵函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇－1，＋∞)，可得h＝－1，
由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1＋x2＝－2，x1x2＝1＋，
∴|x1－x2|＝＝ ＝2，
解得a＝－h(huán)＝1，
∴f(x)＝x2＋2x.
(2)由題意得函數(shù)g(x)在區(qū)間[－1,2]遞增，
又g(x)＝f(x)－kx＝x2－(k－2)x＝2－，
∴≤－1，即k≤0，
綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍為(－∞，0]．
10．(2017·紹興期中)已知函數(shù)f(x)＝－x2＋2bx＋c，設(shè)函數(shù)g(x)＝|f(x)|在區(qū)間[－1,1]上的最大值為M.
(1)若b＝2，試求出M；
(2)若M≥k對(duì)任意的b，c恒成立，試求k的最大值．
解：(1)當(dāng)b＝2時(shí)，函數(shù)f(x)＝－x2＋2bx＋c＝－x2＋4x＋c＝－(x－2)2＋4＋c，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,1]上是增函數(shù)，
則M是g(－1)和g(1)中較大的一個(gè)，
又g(－1)＝|－5＋c|，g(1)＝|3＋c|，
則M＝
(2)g(x)＝|f(x)|＝|－(x－b)2＋b2＋c|，
①當(dāng)|b|＞1時(shí)，y＝g(x)在區(qū)間[－1,1]上是單調(diào)函數(shù)，
則M＝max{g(－1)，g(1)}，
而g(－1)＝|－1－2b＋c|，g(1)＝|－1＋2b＋c|，
則2M ≥g(－1)＋g(1)≥|f(－1)－f(1)|＝4|b|＞4，可知M ＞2.
②當(dāng)|b|≤1時(shí)，函數(shù)y＝g(x)的對(duì)稱(chēng)軸x＝b位于區(qū)間[－1，1]之內(nèi)，
此時(shí)M＝max{g(－1)，g(1)，g(b)}，
又g(b)＝|b2＋c|，
a．當(dāng)－1≤b≤0時(shí)，有f(1)≤f(－1)≤f(b)，
則M＝max{g(b)，g(1)}≥(g(b)＋g(1))≥|f(b)－f(1)|＝(b－1)2≥；
b．當(dāng)0＜b≤1時(shí)，有f(－1)≤f(1)≤f(b)．
則M＝max{g(b)，g(－1)}≥(g(b)＋g(－1))≥|f(b)－f(－1)|＝(b＋1)2≥.
綜上可知，對(duì)任意的b，c都有M≥.
而當(dāng)b＝0，c＝時(shí)，g(x)＝在區(qū)間[－1,1]上的最大值M＝，
故M ≥k對(duì)任意的b，c恒成立的k的最大值為.
三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校
1．已知在(－∞，1]上遞減的函數(shù)f(x)＝x2－2tx＋1，且對(duì)任意的x1，x2∈[0，t＋1]，總有|f(x1)－f(x2)|≤2，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為(　　)
A．[－，] B．[1， ]
C．[2,3] D．[1,2]
解析：選B　由于函數(shù)f(x)＝x2－2tx＋1的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x＝t，
函數(shù)f(x)＝x2－2tx＋1在區(qū)間(－∞，1]上單調(diào)遞減，
所以t≥1.
則在區(qū)間[0，t＋1]上，0距對(duì)稱(chēng)軸x＝t最遠(yuǎn)，故要使對(duì)任意的x1，x2∈[0，t＋1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤2，
只要f(0)－f(t)≤2即可，即1－(t2－2t2＋1)≤2，
求得－≤t≤.
再結(jié)合t≥1，可得1≤t≤.故選B.
2．(2018·金華期末)已知f(x)＝mx2＋(1－3m)x＋2m－1.
(1)設(shè)m＝2時(shí)，f(x)≤0的解集為A，集合B＝(a,2a＋1](a＞0)．若A?B，求a的取值范圍；
(2)求關(guān)于x的不等式f(x)≤0的解集S；
(3)若存在x＞0，使得f(x)＞－3mx＋m－1成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
解：(1)∵m＝2，∴f(x)＝mx2＋(1－3m)x＋2m－1＝2x2－5x＋3.又f(x)≤0，
∴(x－1)(2x－3)≤0，
∴1≤x≤，∴A＝.
∵A?(a,2a＋1](a＞0)，
∴且a＞0，∴≤a＜1.
故a的取值范圍為.
(2)∵f(x)＝mx2＋(1－3m)x＋2m－1，f(x)≤0，
∴(x－1)[mx－(2m－1)]≤0，
當(dāng)m＜0時(shí)，S＝(－∞，1]∪；
當(dāng)m＝0時(shí)，S＝(－∞，1]；
當(dāng)0＜m＜1時(shí)，S＝；
當(dāng)m＝1時(shí)，S＝{1}；
當(dāng)m＞1時(shí)，S＝.
(3)∵f(x)＞－3mx＋m－1，∴m＞－.
令g(x)＝－＝－(x＞0)，
∵x＞0，∴x＋≥2，∴0＜≤，
∴－≤g(x)＜0，
∵存在x＞0，使得f(x)＞－3mx＋m－1成立，
∴m＞[g(x)]min，∴m＞－.
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是.


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