第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值

?函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，反映了函數(shù)在區(qū)間上的函數(shù)值的變化趨勢，是函數(shù)在區(qū)間上的整體性質(zhì).
?對于?x1，x2∈D，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0或>0.

1．函數(shù)的單調(diào)性?
(1)增函數(shù)、減函數(shù)

增函數(shù)
減函數(shù)
定義
一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I：如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x
當(dāng)x1＜x2時，都有f(x1)＜f(x2)?，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)
當(dāng)x1＜x2時，都有f(x1)>f(x2)?，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)
圖象描述


(2)單調(diào)區(qū)間的定義
如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間?.
2．函數(shù)的最值?
前提
設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足
條件
①對于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
②存在x0∈I，使得f(x0)＝M
①對于任意x∈I，都有f(x)≥M；
②存在x0∈I，使得f(x0)＝M
結(jié)論
M為函數(shù)y＝f(x)的最大值
M為函數(shù)y＝f(x)的最小值
x1，x2的特征：
(1)任意性；
(2)有大小，即x1＜x2(x1>x2)；
(3)屬于同一個單調(diào)區(qū)間.
對于?x1，x2∈D，
都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＜0或＜0.
(1)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間或討論函數(shù)單調(diào)性必須先求函數(shù)的定義域．
(2)一個函數(shù)的同一種單調(diào)區(qū)間用“和”或“，”連接，不能用“∪”連接．
(3)函數(shù)在某個區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，但在整個定義域上不一定是單調(diào)函數(shù)，如函數(shù)y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是減函數(shù)，但在定義域上不具有單調(diào)性．
(4)“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是M”與“函數(shù)在區(qū)間N上單調(diào)”是兩個不同的概念，顯然N?M.
[熟記常用結(jié)論]
1．若函數(shù)f(x)，g(x)在區(qū)間I上具有單調(diào)性，則在區(qū)間I上具有以下性質(zhì)：
(1)f(x)與a·f(x)在a>0時具有相同的單調(diào)性，在a＜0時具有相反的單調(diào)性．
(2)當(dāng)f(x)，g(x)都是增(減)函數(shù)時，f(x)＋g(x)是增(減)函數(shù)．
(3)當(dāng)f(x)，g(x)都是增(減)函數(shù)時，若兩者都恒大于零，則f(x)·g(x)也是增(減)函數(shù)；若兩者都恒小于零，則f(x)·g(x)是減(增)函數(shù)．
2．復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性
對于復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在區(qū)間(a，b)上是單調(diào)函數(shù)，且y＝f(t)在區(qū)間(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上是單調(diào)函數(shù)，若t＝g(x)與y＝f(t)的單調(diào)性相同，則y＝f[g(x)]為增函數(shù)；若t＝g(x)與y＝f(t)的單調(diào)性相反，則y＝f[g(x)]為減函數(shù)．簡稱“同增異減”．
3．開區(qū)間上的“單峰”函數(shù)一定存在最大值(最小值)．
[小題查驗基礎(chǔ)]
一、判斷題(對的打“√”，錯的打“×”)
(1)函數(shù)y＝的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　　)
(2)函數(shù)y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[1，＋∞)．(　　)
(3)如果一個函數(shù)在定義域內(nèi)的某幾個子區(qū)間上都是增函數(shù)，則這個函數(shù)在定義域上是增函數(shù)．(　　)
(4)所有的單調(diào)函數(shù)都有最值．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
二、選填題
1．下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)的是(　　)
A．y＝|x|　　　　　　　　 B．y＝3－x
C．y＝ D．y＝－x2＋4
解析：選A　y＝3－x在R上遞減，y＝在(0，＋∞)上遞減，y＝－x2＋4在(0，＋∞)上遞減，故選A.
2．函數(shù)f(x)＝－x＋在區(qū)間上的最大值是(　　)
A. B．－
C．－2 D．2
解析：選A　∵函數(shù)y＝－x與y＝在x∈上都是減函數(shù)，∴函數(shù)f(x)＝－x＋在上是減函數(shù)，故f(x)的最大值為f(－2)＝2－＝.
3．設(shè)定義在[－1,7]上的函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝f(x)的增區(qū)間為________．

解析：由圖可知函數(shù)的增區(qū)間為[－1,1]和[5,7]．
答案：[－1,1]和[5,7]
4．若函數(shù)y＝(2k＋1)x＋b在R上是減函數(shù)，則k的取值范圍是________．
解析：因為函數(shù)y＝(2k＋1)x＋b在R上是減函數(shù)，所以2k＋1＜0，即k＜－.
答案：
5．若函數(shù)f(x)滿足“對任意的x1，x2∈R，當(dāng)x1＜x2時，都有f(x1)>f(x2)”，則滿足f(2x－1)＜f(1)的實數(shù)x的取值范圍為________．
解析：由題意知，函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)為減函數(shù)，
∵f(2x－1)＜f(1)，∴2x－1>1，
即x>1，∴x的取值范圍為(1，＋∞)．
答案：(1，＋∞)


[考法全析]
考法(一)　確定不含參函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)
[例1]　(1)函數(shù)f(x)＝|x2－3x＋2|的單調(diào)遞增區(qū)間是(　　)
A.　　　　　　 B.和[2，＋∞)
C．(－∞，1]和 D.和[2，＋∞)
(2)函數(shù)y＝的單調(diào)遞增區(qū)間為__________，單調(diào)遞減區(qū)間為____________．
[解析]　 (1)y＝|x2－3x＋2|
＝
如圖所示，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和[2，＋∞)．
(2)令u＝x2＋x－6，
則y＝可以看作是由y＝與u＝x2＋x－6復(fù)合而成的函數(shù)．
令u＝x2＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2.
易知u＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是減函數(shù)，在[2，＋∞)上是增函數(shù)，而y＝在[0，＋∞)上是增函數(shù)，
∴y＝的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－3]，單調(diào)遞增區(qū)間為[2，＋∞)．
[答案]　(1)B　(2)[2，＋∞)　(－∞，－3]
考法(二)　確定含參函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)
[例2]　試討論函數(shù)f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的單調(diào)性．
[解]　法一：(定義法)設(shè)－1＜x1＜x2＜1，
f(x)＝a＝a，
則f(x1)－f(x2)＝a－a
＝.
由于－1＜x1＜x2＜1，
所以x2－x1>0，x1－1＜0，x2－1＜0，
故當(dāng)a>0時，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
函數(shù)f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減；
當(dāng)a＜0時，f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
函數(shù)f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞增．
法二：(導(dǎo)數(shù)法)f′(x)＝
＝＝－.
當(dāng)a>0時，f′(x)＜0，函數(shù)f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減；
當(dāng)a＜0時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞增．
[規(guī)律探求]

看個性
考法(一)中的函數(shù)不含有參數(shù)．解決此類問題時，首先確定定義域，然后利用單調(diào)性的定義或借助圖象求解即可．
考法(二)是在考法(一)的基礎(chǔ)上增加了參數(shù)，解決此類問題除利用定義外，導(dǎo)數(shù)法是一種非常有效的方法．注意分類討論思想的應(yīng)用
找共性
無論考法(一)還是考法(二)，判斷函數(shù)單調(diào)性常用以下幾種方法：
(1)定義法：一般步驟為設(shè)元→作差→變形→判斷符號→得出結(jié)論．
(2)圖象法：如果f(x)是以圖象形式給出的，或者f(x)的圖象易作出，則可由圖象的上升或下降確定單調(diào)性．
(3)導(dǎo)數(shù)法：先求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)值的正負確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
(4)性質(zhì)法：①對于由基本初等函數(shù)的和、差構(gòu)成的函數(shù)，根據(jù)各初等函數(shù)的增減性及f(x)±g(x)增減性質(zhì)進行判斷；
②對于復(fù)合函數(shù)，先將函數(shù)y＝f(g(x))分解成y＝f(t)和t＝g(x)，再討論(判斷)這兩個函數(shù)的單調(diào)性，最后根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”的規(guī)則進行判斷

[過關(guān)訓(xùn)練]
1．函數(shù)f(x)＝的單調(diào)遞增區(qū)間為(　　)
A. B.
C. D.
解析：選D　令t＝，由x－x2≥0，得0≤x≤1，故函數(shù)的定義域為[0,1]．因為g(t)＝t是減函數(shù)，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間即t＝的單調(diào)遞減區(qū)間．利用二次函數(shù)的性質(zhì)，得t＝的單調(diào)遞減區(qū)間為，即原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選D.
2．判斷函數(shù)f(x)＝x＋(a>0)在(0，＋∞)上的單調(diào)性．
解：設(shè)x1，x2是任意兩個正數(shù)，且x1＜x2，
則f(x1)－f(x2)＝－
＝(x1x2－a)．
當(dāng)0＜x1＜x2≤時，
0＜x1x2＜a，x1－x2＜0，
所以f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)，
所以函數(shù)f(x)在(0， ]上是減函數(shù)；
當(dāng)≤x1＜x2時，x1x2>a，x1－x2＜0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，
即f(x1)＜f(x2)，
所以函數(shù)f(x)在[，＋∞)上是增函數(shù)．
綜上可知，函數(shù)f(x)＝x＋(a>0)在(0， ]上是減函數(shù)，在[，＋∞)上是增函數(shù)．

[考法全析]
考法(一)　比較函數(shù)值的大小
[例1]　已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，當(dāng)x2>x1>1時，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立，設(shè)a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　)
A．c>a>b　　　　　　 B．c>b>a
C．a(chǎn)>c>b D．b>a>c
[解析]　由f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，可得f＝f.由x2>x1>1時，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)＜0恒成立，知f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減．
∵1＜2＜＜e，∴f(2)>f>f(e)，∴b>a>c.
[答案]　D
考法(二)　解函數(shù)不等式
[例2]　(1)已知函數(shù)f(x)為R上的減函數(shù)，則滿足f＜f(1)的實數(shù)x的取值范圍是(　　)
A．(－1,1) B．(0,1)
C．(－1,0)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
(2)定義在[－2,2]上的函數(shù)f(x)滿足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，x1≠x2，且f(a2－a)>f(2a－2)，則實數(shù)a的取值范圍為________．
[解析]　(1)由f(x)為R上的減函數(shù)且f＜f(1)，得即所以－1＜x＜0或0＜x＜1.故選C.
(2)因為函數(shù)f(x)滿足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，x1≠x2，所以函數(shù)在[－2,2]上單調(diào)遞增，
所以－2≤2a－2＜a2－a≤2，
解得0≤a＜1.
[答案]　(1)C　(2)[0,1)
考法(三)　利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)
[例3]　若f(x)＝是定義在R上的減函數(shù)，則a的取值范圍為________．
[解析]　由題意知，
解得
所以a∈.
[答案]　
[規(guī)律探求]
看個性
考法(一)是比較函數(shù)值的大?。鉀Q此類問題時，應(yīng)根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)(如對稱性等)將自變量轉(zhuǎn)化到函數(shù)的同一個單調(diào)區(qū)間上，利用單調(diào)性比較大?。?br /> 考法(二)是求解與函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的抽象函數(shù)不等式．求解此類問題，主要是利用函數(shù)的單調(diào)性將“f”符號脫掉，使其轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解．此時應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域以及函數(shù)奇偶性質(zhì)的應(yīng)用．
考法(三)是在考法(一)和考法(二)基礎(chǔ)上的更深一步的拓展，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性把問題轉(zhuǎn)化為單調(diào)區(qū)間關(guān)系的比較
找共性
對于求解此類有關(guān)函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用的題目，其通用的方法是利用轉(zhuǎn)化思想解題，其思維流程是：


[過關(guān)訓(xùn)練]
1．已知函數(shù)f(x)＝log2x＋，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，則(　　)
A．f(x1)＜0，f(x2)＜0 B．f(x1)＜0，f(x2)>0
C．f(x1)>0，f(x2)＜0 D．f(x1)>0，f(x2)>0
解析：選B　因為函數(shù)f(x)＝log2x＋在(1，＋∞)上為增函數(shù)，且f(2)＝0，
所以當(dāng)x1∈(1,2)時，f(x1)＜f(2)＝0，
當(dāng)x2∈(2，＋∞)時，f(x2)>f(2)＝0，
即f(x1)＜0，f(x2)>0.故選B.
2．設(shè)函數(shù)f(x)＝若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，a＋1)上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．(－∞，1] B．[1,4]
C．[4，＋∞) D．(－∞，1]∪[4，＋∞)
解析：選D　作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，由圖象可知，若f(x)在(a，a＋1)上單調(diào)遞增，需滿足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4，故選D.
3．已知定義在R上的奇函數(shù)y＝f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且f＝0，則不等式f(logx)>0的解集為________．
解析：∵y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且y＝f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．
∴y＝f(x)在(－∞，0)上也是增函數(shù)，
又f＝0，知f＝－f＝0.
故原不等式f(logx)>0可化為
f(logx)>f或f＜f(logx)＜f，
∴l(xiāng)ogx>或－＜logx＜0，
解得0＜x＜或1＜x＜3.
所以原不等式的解集為.
答案：

[典例精析]
(1)已知函數(shù)y＝＋的最大值為M，最小值為m，則的值為(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
(2)函數(shù)f(x)＝的最大值為________．
[解析]　(1)由得函數(shù)的定義域是{x|－3≤x≤1}，
y2＝4＋2·＝4＋2，
當(dāng)x＝－1時，y取得最大值M＝2；
當(dāng)x＝－3或1時，y取得最小值m＝2，所以＝.
(2)當(dāng)x≥1時，函數(shù)f(x)＝為減函數(shù)，所以f(x)在x＝1處取得最大值，為f(1)＝1；當(dāng)x＜1時，易知函數(shù)f(x)＝－x2＋2在x＝0處取得最大值，為f(0)＝2.
故函數(shù)f(x)的最大值為2.
[答案]　(1)C　(2)2
[解題技法]
求函數(shù)最值(值域)的常用方法
單調(diào)性法
易確定單調(diào)性的函數(shù)，利用單調(diào)性法研究函數(shù)最值(值域)
圖象法
能作出圖象的函數(shù)，用圖象法，觀察其圖象最高點、最低點，求出最值(值域)
基本不等式法
分子、分母其中一個為一次，一個為二次的函數(shù)結(jié)構(gòu)以及兩個變量(如x，y)的函數(shù)，一般通過變形使之具備“一正、二定、三相等”的條件，用基本不等式法求最值(值域)

[過關(guān)訓(xùn)練]
1．函數(shù)f(x)＝在區(qū)間[a，b]上的最大值是1，最小值是，則a＋b＝________.
解析：易知f(x)在[a，b]上為減函數(shù)，
所以即
所以所以a＋b＝6.
答案：6
2．函數(shù)y＝－x(x≥0)的最大值為________．
解析：令t＝，則t≥0，所以y＝t－t2＝－2＋，當(dāng)t＝，即x＝時，ymax＝.
答案：
3．設(shè)0＜x＜，則函數(shù)y＝4x(3－2x)的最大值為________．
解析：y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22＝，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝3－2x，即x＝時，等號成立．
∵∈，
∴函數(shù)y＝4x(3－2x)的最大值為.
答案：

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