2019考綱考題考情



1．平面向量的數(shù)量積
(1)向量的夾角
①定義：已知兩個(gè)非零向量a和b，作＝a，＝b，則∠AOB就是向量a與b的夾角。
②范圍：設(shè)θ是向量a與b的夾角，則0°≤θ≤180°。
③共線與垂直：若θ＝0°，則a與b同向共線；若θ＝180°，則a與b反向共線；若θ＝90°，則a與b垂直。
(2)平面向量的數(shù)量積
①定義：已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0·a＝0。
②幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積。
2．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示
設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角。
(1)數(shù)量積：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2。
(2)模：|a|＝＝。
(3)夾角：cosθ＝＝。
(4)兩非零向量a⊥b的充要條件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0。
(5)|a·b|≤|a||b|(當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時(shí)等號(hào)成立)?|x1x2＋y1y2|≤ ·。
3．平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律
(1)a·b＝b·a(交換律)。
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(結(jié)合律)。
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)。

1．a(chǎn)在b方向上的投影與b在a方向上的投影不是一個(gè)概念，要加以區(qū)別。
2．對(duì)于兩個(gè)非零向量a與b，由于當(dāng)θ＝0°時(shí)，a·b>0，所以a·b>0是兩個(gè)向量a，b夾角為銳角的必要不充分條件；a·b＝0也不能推出a＝0或b＝0，因?yàn)閍·b＝0時(shí)，有可能a⊥b。
3．在實(shí)數(shù)運(yùn)算中，若a，b∈R，則|ab|＝|a|·|b|；若a·b＝a·c(a≠0)，則b＝c。但對(duì)于向量a，b卻有|a·b|≤|a|·|b|；若a·b＝a·c(a≠0)，則b＝c不一定成立。
4．向量數(shù)量積的運(yùn)算不滿足乘法結(jié)合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，這是由于(a·b)·c表示一個(gè)與c共線的向量，而a·(b·c)表示一個(gè)與a共線的向量，而c與a不一定共線。

一、走進(jìn)教材
1．(必修4P108A組T6改編)已知a·b＝－12，|a|＝4，a和b的夾角為135°，則|b|為(　　)
A．12 B．6
C．3 D．3
解析　a·b＝|a||b|cos135°＝－12，所以|b|＝＝6。
答案　B
2．(必修4P104例1改編)已知|a|＝5，|b|＝4，a與b的夾角θ＝120°，則向量b在向量a方向上的投影為_(kāi)_______。
解析　由數(shù)量積的定義知，b在a方向上的投影為|b|cosθ＝4×cos120°＝－2。
答案?。?
二、走近高考
3．(2018·全國(guó)卷Ⅱ)已知向量a，b滿足|a|＝1，a·b＝－1，則a·(2a－b)＝(　　)
A．4 B．3
C．2 D．0
解析　a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3。故選B。
答案　B
4．(2017·全國(guó)卷Ⅰ)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)。若向量a＋b與a垂直，則m＝________。
解析　由題得，a＋b＝(m－1,3)，因?yàn)閍＋b與a垂直，即(a＋b)·a＝0，所以有－(m－1)＋3×2＝0，解得m＝7。
答案　7
5．(2016·天津高考)已知△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)D，E分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使得DE＝2EF，則·的值為(　　)
A．－ B．
C． D．
解析?。剑剑剑剑?，所以·＝(－)·＝×1×1×－＋－×1×1×＝＋－－＝。
答案　B
三、走出誤區(qū)
微提醒：①搞錯(cuò)向量的夾角求錯(cuò)數(shù)量積；②不會(huì)用夾角公式計(jì)算向量的夾角。
6．已知△ABC的三邊長(zhǎng)均為1，且＝c，＝a，＝b，則a·b＋b·c＋a·c＝________。
解析　因?yàn)椤碼，b〉＝〈b，c〉＝〈a，c〉＝120°，|a|＝|b|＝|c|＝1，所以a·b＝b·c＝a·c＝1×1×cos120°＝－，所以a·b＋b·c＋a·c＝－。
答案　－
7．已知非零向量a，b滿足|a|＝|b|＝|a＋b|，則a與2a－b夾角的余弦值為(　　)
A． B．
C． D．
解析　不妨設(shè)|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，則|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝2＋2a·b＝1，所以a·b＝－，所以a·(2a－b)＝2a2－a·b＝，又|a|＝1，|2a－b|＝＝＝，所以a與2a－b夾角的余弦值為＝＝。
答案　D

考點(diǎn)一 平面向量的數(shù)量積運(yùn)算
【例1】　(1)設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，||＝6，||＝4，若點(diǎn)M，N滿足＝3，＝2，則·等于(　　)
A．20 B．15
C．9 D．6
(2)(2018·天津高考)在如圖的平面圖形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，＝2，＝2，則·的值為(　　)

A．－15 B．－9
C．－6 D．0
解析　(1)＝＋，＝－＝－＋，所以·＝(4＋3)·(4－3)＝(162－92)＝(16×62－9×42)＝9。故選C。
(2)由＝2，可知＝2，所以＝3。由＝2，可知＝2，所以＝3，故＝＝3，連接MN，則BC∥MN且||＝3||。所以＝3＝3(－)，所以·＝3(－)·＝3(·－2)＝3(||·||cos120°－2)＝－6。故選C。
答案　(1)C　(2)C

平面向量數(shù)量積的三種運(yùn)算方法
1．當(dāng)已知向量的模和夾角時(shí)，可利用定義法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉。
2．當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2。
3．利用數(shù)量積的幾何意義求解。
【變式訓(xùn)練】　如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若·＝2·，則·＝________。

解析　因?yàn)椤ぃ?·，所以·－·＝·，所以·＝·。因?yàn)锳B∥CD，CD＝2，∠BAD＝，所以2||＝||||cos，化簡(jiǎn)得||＝2。故·＝·(＋)＝||2＋·＝(2)2＋2×2cos＝12。

解析：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xAy。

依題意，可設(shè)點(diǎn)D(m，m)，C(m＋2，m)，B(n,0)，其中m>0，n>0，則由·＝2·，得(n,0)·(m＋2，m)＝2(n,0)·(m，m)，所以n(m＋2)＝2nm，化簡(jiǎn)得m＝2。故·＝(m，m)·(m＋2，m)＝2m2＋2m＝12。

答案　12
考點(diǎn)二 解決有關(guān)向量的長(zhǎng)度、夾角、垂直問(wèn)題
微點(diǎn)小專題
　方向1：長(zhǎng)度問(wèn)題
【例2】　(1)已知向量a＝(1，－3)，b＝(2，m)，若a∥b，則|a－2b|＝(　　)
A．45 B．90
C．3 D．3
(2)已知向量，滿足||＝||＝2，·＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，且λ＋μ＝1，則||的最小值為(　　)
A．1 B．
C． D．
解析　(1)因?yàn)閍∥b，所以m＋6＝0，解得m＝－6，則b＝(2，－6)，所以a－2b＝(－3,9)，所以|a－2b|＝＝3。故選D。
(2)||2＝(λ＋μ)2＝[λ＋(1－λ)]2＝4λ2＋4(1－λ)2＋2λ(1－λ)·，因?yàn)椤ぃ?，所以||2＝4λ2＋4(1－λ)2＋2λ(1－λ)·2＝4λ2－4λ＋4＝42＋3，當(dāng)λ＝時(shí)，||取得最小值。
答案　(1)D　(2)D

1．利用數(shù)量積求解向量模的問(wèn)題常用的公式：
(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝；
(2)|a±b|＝＝；
(3)若a＝(x，y)，則|a|＝。
2．最值問(wèn)題是在變化中求得一個(gè)特殊情況，在此情況下求解目標(biāo)達(dá)到最值，因此函數(shù)方法是最基本的方法之一。
方向2：夾角問(wèn)題
【例3】　(2019·成都質(zhì)檢)已知平面向量a，b的夾角為，且|a|＝1，|b|＝，則a＋2b與b的夾角是(　　)
A． B．
C． D．
解析　因?yàn)閨a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝1＋1＋4×1××cos＝3，所以|a＋2b|＝。又(a＋2b)·b＝a·b＋2|b|2＝1××cos＋2×＝＋＝，所以cos〈a＋2b，b〉＝＝＝，所以a＋2b與b的夾角為。
答案　A

求向量夾角問(wèn)題的方法
1．當(dāng)a，b是非坐標(biāo)形式時(shí)，求a與b的夾角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它們之間的關(guān)系。
2．若已知a＝(x1，y1)與b＝(x2，y2)，則cos〈a，b〉＝
。
注意：〈a，b〉∈[0，π]。
方向3：垂直問(wèn)題
【例4】　已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，則實(shí)數(shù)k＝(　　)
A．－ B．0
C．3 D．
解析　因?yàn)?a－3b＝(2k－3，－6)，(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)·c＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3。故選C。
答案　C

兩個(gè)向量垂直的充要條件是兩向量的數(shù)量積為0，即：a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0。應(yīng)認(rèn)識(shí)到此充要條件對(duì)含零向量在內(nèi)的所有向量均成立，因?yàn)榭梢暳阆蛄颗c任意向量垂直。
【題點(diǎn)對(duì)應(yīng)練】　
1．(方向1)平面向量a與b的夾角為60°，a＝(2,0)，|b|＝1，則|a＋2b|＝(　　)
A．6 B．36
C．2 D．12
解析　因?yàn)閍＝(2,0)，所以|a|＝2，又|b|＝1，向量a與向量b的夾角為60°，所以|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12，所以|a＋2b|＝2。故選C。

解析：

如圖，作出＝a，＝2b，則以AB，AD為鄰邊作平行四邊形ABCD，可得＝a＋2b，所以|a＋2b|＝AC，由題意知∠DAB＝60°，AB＝AD＝2，所以在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，故AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos120°＝4＋4－2×2×2×＝12，則|a＋2b|＝AC＝2。故選C。

答案　C
2．(方向2)已知單位向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，則a與b－a的夾角是(　　)
A． B．
C． D．
解析　因?yàn)閨a＋b|＝|a－b|，所以(a＋b)2＝(a－b)2，整理得a·b＝0。在平面直角坐標(biāo)系中作出a，b，b－a，如圖，易知a與b－a的夾角是。故選D。

答案　D
3．(方向3)設(shè)非零向量a，b滿足|2a＋b|＝|2a－b|，則(　　)
A．a(chǎn)⊥b B．|2a|＝|b|
C．a(chǎn)∥b D．|a|

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