學(xué)習(xí)目標(biāo)：


經(jīng)歷運(yùn)用試驗(yàn)的方法說明勾股定理逆定理是正確的過程，在數(shù)學(xué)活動(dòng)中發(fā)展學(xué)生的探究意識(shí)和合作交流的習(xí)慣。


掌握勾股定理逆定理和他的簡單應(yīng)用


重點(diǎn)難點(diǎn)：


重點(diǎn)： 能熟練運(yùn)用勾股定理逆定理解決實(shí)際問題


難點(diǎn)：用面積證勾股定理能熟練運(yùn)用勾股定理逆定理解決實(shí)際問題


1．把握勾股定理的逆定理；


2，用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是不是直角三角形。


學(xué)習(xí)過程


1．勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a、b、c有下面關(guān)系：


a+b= c，那么這個(gè)三角形是直角三角形。


注意：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理。


1．用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的步驟：


（1）首先求出最大邊（如c）；


（2）驗(yàn)證a+b與c是否具有相等關(guān)系；


若c2=a2+b，則△ABC是以∠C=90°的直角三角形。


若c2 ≠a2+b，則△ABC不是直角三角形。


2．直角三角形的判定方法小結(jié)：


（1）三角形中有兩個(gè)角互余；


（2）勾股定理的逆定理；


3．緊記一些常用的勾股數(shù)，將為我們應(yīng)用勾股定理逆定理帶來方便，如3、4、5；5、12、13；6、8、10；12、16、20等。


四、典型例題


例1. 在中，，于D，求證：


（1）


（2）


分析：在圖中有與三個(gè)直角三角形，利用勾股定理可以求證。


證明：


（1）





（2）又








即





例2、 已知中，，求AC邊上的高線的長。


分析：首先通過所給的三角形的三邊長，判斷出所求高線長的三角形為直角三角形，并且要求的為斜邊上的高線，通過勾股定理可解，未知量可用方程的思想求得。


解：


為，且


作于D


設(shè)，則








答：AC邊上的高線長為。




















例3.已知：如圖，△ABC中，AB=AC，D為BC上任一點(diǎn)，





求證：AB2－AD2=BD·DC


思路分析：通常遇到等腰三角形問題，都是作底邊上的高轉(zhuǎn)化為直角三角形，再按解直角三角形的思路探索。本例首先作AE⊥BC于E，便出現(xiàn)兩個(gè)全等的直角三角形。


由AB=ACBE=EC


結(jié)論又以平方差“面目”出現(xiàn)，也就告知我們應(yīng)用勾股定理是打開思路的好方法，那么在Rt△ABE，Rt△ADE中，由勾股定理，得


AB2－AD2=BE2－DE2


AB2=AE2+BE2


AD2=AE2+DE2


由于BE、DE均在一條直線BC上，通常是平方差公式進(jìn)行因式分解，轉(zhuǎn)化為求同一條線段的和差問題，使結(jié)論明朗化，于是


AB2－AD2=BD·CD


AB2－AD2=(BE+DE)(BE－DE)


結(jié)合圖形知：BE+DE=BD


BE－DE=CE－DE=CD








例4.如圖，已知四邊形ABCD的四邊AB、BC、CD和DA的長分別為3、4、13、12，∠CBA=90°,求S四邊形ABCD


思路分析：遇到四邊形，通常是連對(duì)角線轉(zhuǎn)化為三角形問題，對(duì)本例連對(duì)角線AC為佳，因∠CBA=90°，便出現(xiàn)了直角三角形ABC，由勾股定理可求


AC2=AB2+BC2=32+42=25


在△CAD中，我們又可發(fā)現(xiàn)：


AC2+AD2=25+122=169


DC2=132=169


∴AC2+AD2=CD2，由勾股定理逆定理知


∴△ACD為Rt△，且∠DAC=90°


此時(shí)，已清晰可知，這個(gè)四邊形由兩個(gè)直角三角形構(gòu)成，求其面積便容易了。


S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD








例5、在正方形ABCD中, F為DC的中點(diǎn), E為BC上一點(diǎn), 且EC = , 求證: ?EFA = 90?


分析: 通過圖形結(jié)構(gòu)和求證本題思路十分明顯, 就是要找Rt, 那就是要通過勾股定理逆定理來完成。


證明: 設(shè)正方形ABCD的邊長為4a


則EC = a, BE = 3a, CF = DF = 2a


在RtABE中


在RtADF中


在RtECF中


由上述結(jié)果可得


由勾股定理逆定理可知AEF為Rt, 且AE是最大邊, 即?AFE = 90?





例6、 已知：如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別AB，AD上的點(diǎn)，又AB=12，EF=10，△AEF的面積等于五邊形EBCDF面積的，求AE，AF的長。


思路分析：依題意知△AEF為Rt△用勾股定理，立馬而定，于是有 EF2=AE2+AF2


設(shè)AE=x,AF=y,又EF2=100,則x2+y2=100 ①








本例未告知AF,AE誰大,所以應(yīng)取兩解.
































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2 一定是直角三角形嗎

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