經(jīng)歷三種方式表示變量之間二次函數(shù)關(guān)系的過(guò)程，體會(huì)三種方式之間的聯(lián)系和各自不同點(diǎn)；掌握變量之間的二次函數(shù)關(guān)系，解決二次函數(shù)所表示的問(wèn)題；掌握根據(jù)二次函數(shù)不同的表達(dá)方式，從不同的側(cè)面對(duì)函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行研究．
學(xué)習(xí)重點(diǎn):
能夠根據(jù)二次函數(shù)的不同表示方式，從不同的側(cè)面對(duì)函數(shù)進(jìn)行研究．函數(shù)的綜合題目，往往是三種方式的綜合應(yīng)用，由三種不同方式，都能把握函數(shù)性質(zhì)，才會(huì)正確解題．
學(xué)習(xí)難點(diǎn):
用三種方式表示二次函數(shù)的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，忽略自變量的取值范圍是常見(jiàn)的錯(cuò)誤．
學(xué)習(xí)過(guò)程:
一、做一做：
已知矩形周長(zhǎng)20 cm,并設(shè)它的一邊長(zhǎng)為x cm,面積為y cm2，y隨x的而變化的規(guī)律是什么？你能分別用函數(shù)表達(dá)式，表格和圖象表示出來(lái)嗎？比較三種表示方式,你能得出什么結(jié)論?與同伴交流.
二、試一試：
兩個(gè)數(shù)相差2,設(shè)其中較大的一個(gè)數(shù)為x,那么它們的積y是如何隨x的變化而變化的？你能分別用函數(shù)表達(dá)式,表格和圖象表示這種變化嗎?
三、積累：
四、例題：
【例1】已知函數(shù)y=x2＋bx＋1的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，2）．
（1）求這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；
（2）畫(huà)出它的圖象，并指出圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）當(dāng)x＞0時(shí)，求使y≥2的x的取值范圍．
【例2】 一次函數(shù)y=2x＋3，與二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c的圖象交于A（m，5）和B（3，n）兩點(diǎn)，且當(dāng)x=3時(shí)，拋物線取得最值為9．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象；
（3）從圖象上觀察，x為何值時(shí)，一次函數(shù)與二次函數(shù)的值都隨x的增大而增大．
（4）當(dāng)x為何值時(shí)，一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值？
【例3】 行駛中的汽車(chē)，在剎車(chē)后由于慣性的作用，還要繼續(xù)向前滑動(dòng)一段距離才停止，這段距離稱為“剎車(chē)距離”．為了測(cè)定某種型號(hào)汽車(chē)的剎車(chē)性能（車(chē)速不超過(guò)130km/h），對(duì)這種汽車(chē)進(jìn)行測(cè)試，測(cè)得數(shù)據(jù)如下表：
（1）以車(chē)速為x軸，剎車(chē)距離為y軸，在下面的方格圖中建立坐標(biāo)系，描出這些數(shù)據(jù)所表示的點(diǎn)，并用平滑曲線連接這些點(diǎn)，得到函數(shù)的大致圖象；
（2）觀察圖象，估計(jì)該函數(shù)的類(lèi)型，并確定一個(gè)滿足這些數(shù)據(jù)的函數(shù)表達(dá)式；
（3）該型號(hào)汽車(chē)在國(guó)道上發(fā)生了一次交通事故，現(xiàn)測(cè)得剎車(chē)距離為26.4 m，問(wèn)在事故發(fā)生時(shí)，汽車(chē)是超速行駛還是正常行駛，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【例4】 某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場(chǎng)行情得知，從二月一日起的300天內(nèi)，西紅柿市場(chǎng)售價(jià)與上市時(shí)間的關(guān)系用圖①中的一條折線表示，西紅柿的種植成本與上市時(shí)間關(guān)系用圖②中的拋物線表示．（1）寫(xiě)出圖①中表示的市場(chǎng)售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)表達(dá)式P=f（t），寫(xiě)出圖②中表示的種植成本與時(shí)間函數(shù)表達(dá)式Q=g（t）；
（2）認(rèn)定市場(chǎng)售價(jià)減去種植成本為純收益，問(wèn)何時(shí)上市的西紅柿純收益最大？（注：市場(chǎng)售價(jià)和種植成本的單位：元/102 kg，時(shí)間單位：天）
五、隨堂練習(xí)：
1．已知函數(shù)y=ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象，如圖①所示，則下列關(guān)系式中成立的是（ ）
A．0＜－＜1 B．0＜－＜2 C．1＜－＜2 D．－=1
圖① 圖②
2．拋物線y=ax2＋bx＋c（c≠0）如圖②所示，回答：
（1）這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式是；
（2）當(dāng)x=時(shí)，y=3；
（3）根據(jù)圖象回答：當(dāng)x時(shí)，y＞0．
3．已知拋物線y=－x2＋（6－2k）x＋2k－1與y軸的交點(diǎn)位于（0，5）上方，則k的取值范圍是．
六、課后練習(xí)
1．若拋物線y=ax2＋b不經(jīng)過(guò)第三、四象限，則拋物線y=ax2＋bx＋c（ ）
A．開(kāi)口向上，對(duì)稱軸是y軸B．開(kāi)口向下，對(duì)稱軸是y軸
C．開(kāi)口向上，對(duì)稱軸平行于y軸D．開(kāi)口向下，對(duì)稱軸平行于y軸
2．二次函數(shù)y=－x2＋bx＋c圖象的最高點(diǎn)是（－1，－3），則b，c的值是（ ）
A．b=2，c=4 B．b=2，c=4 C．b=－2，c=4 D．b=－2，c=－4．
3．二次函數(shù)y= ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①c＜0；②b＞0；③4a＋2b＋c＞0；④（a＋c）2＜b2．其中正確的有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
4．兩個(gè)數(shù)的和為8，則這兩個(gè)數(shù)的積最大可以為，若設(shè)其中一個(gè)數(shù)為x，積為y，則y與x的函數(shù)表達(dá)式為．
5．一根長(zhǎng)為100 m的鐵絲圍成一個(gè)矩形的框子，要想使鐵絲框的面積最大，邊長(zhǎng)分別為．
6．若兩個(gè)數(shù)的差為3，若其中較大的數(shù)為x，則它們的積y與x的函數(shù)表達(dá)式為，它有最值，即當(dāng)x=時(shí)，y=．
7．邊長(zhǎng)為12 cm的正方形鐵片，中間剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為x的小正方形鐵片，剩下的四方框鐵片的面積y（cm2）與x（cm）之間的函數(shù)表達(dá)式為．
8．等邊三角形的邊長(zhǎng)2x與面積y之間的函數(shù)表達(dá)式為．
9．拋物線y=x2＋kx－2k通過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)為．
10．已知拋物線y=x2＋x＋b2經(jīng)過(guò)點(diǎn)（a，－1/4）和（－a，y1），則y1的值是 ．
11．某公司推出了一種高效環(huán)保型洗滌用品，年初上市后，公司經(jīng)歷了從虧損到盈利的過(guò)程．圖中二次函數(shù)圖象（部分）刻畫(huà)了該公司年初以來(lái)累積利潤(rùn)S（萬(wàn)元）與銷(xiāo)售時(shí)間t（月）之間的關(guān)系（即前t個(gè)月的利潤(rùn)總和S與t之間的關(guān)系）．
根據(jù)圖象提供的信息，解答下列問(wèn)題：
（1）由已知圖象上的三點(diǎn)坐標(biāo)，求累積利潤(rùn)S（萬(wàn)元）與時(shí)間t（月）之間的函數(shù)表達(dá)式；
（2）求截止到幾月末公司累積利潤(rùn)可達(dá)到30萬(wàn)元；
（3）求第8個(gè)月公司所獲利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？
表示方法
優(yōu)點(diǎn)
缺點(diǎn)
解析法
表格法
圖像法
三者關(guān)系
表示方法
優(yōu)點(diǎn)
缺點(diǎn)
解析法
表格法
圖像法
三者關(guān)系
剎車(chē)時(shí)車(chē)速（km/h）
0
10
20
30
40
50
60
70
剎車(chē)距離（m）
0
1．1
2．4
3．9
5．6
7．5
9．6
11．9

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初中數(shù)學(xué)北師大版（2024）九年級(jí)下冊(cè)電子課本

3 確定二次函數(shù)的表達(dá)式

版本： 北師大版（2024）

年級(jí)： 九年級(jí)下冊(cè)

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