人教A版 (2019)必修第一冊(cè)4.1 指數(shù)第2課時(shí)導(dǎo)學(xué)案及答案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

第2課時(shí) 指數(shù)冪及其運(yùn)算

牛頓(Newtn 1643～1727)是大家所熟悉的物理學(xué)家，可是你知道他在數(shù)學(xué)史上的貢獻(xiàn)嗎？

牛頓

他在1676年6月13日寫給萊布尼茨的信里說：“因?yàn)閿?shù)學(xué)家將aa，aaa，aaaa，…寫成a2，a3，a4，…所以可將eq \r(a)，eq \r(a2)，eq \r(a3)，…寫成aeq \s\up12(eq \f(1,2))，aeq \s\up12(eq \f(2,2))，aeq \s\up12(eq \f(3,2))，…，將eq \f(1,a)，eq \f(1,aa)，eq \f(1,aaa)，…寫成a－1，a－2，a－3，…”，這是牛頓首次使用任意實(shí)數(shù)指數(shù)，這正是這節(jié)課我們要學(xué)習(xí)的指數(shù)冪的拓展過程，下面我們就進(jìn)入本課的學(xué)習(xí)．

問題：(1)aeq \s\up12(eq \f(m,n))、aeq \s\up12(－eq \f(m,n)) (a>0)寫成根式會(huì)是怎樣的形式？

(2)aeq \s\up12(eq \f(m,n))、aeq \s\up12(－eq \f(m,n))的根式形式中a≤0又如何？

提示：(1)aeq \s\up12(eq \f(m,n))＝eq \r(n,am)，aeq \s\up12(－eq \f(m,n))＝eq \f(1,a\f(m,n))＝eq \f(1,\r(n,am))(其中a>0，m，n∈N＋，且n>1)．

(2)若a≤0，aeq \s\up12(eq \f(m,n))、aeq \s\up12(－eq \f(m,n))不一定有意義，例如(－4)eq \s\up12(eq \f(1,2))、(－4)eq \s\up12(－eq \f(1,2))無意義，故規(guī)定a>0.

1．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義

思考：在分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的互化公式aeq \s\up12(eq \f(m,n))＝eq \r(n,am)中，為什么必須規(guī)定a>0?

提示：①若a＝0,0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪恒等于0，即eq \r(n,am)＝aeq \s\up12(eq \f(m,n))＝0，無研究價(jià)值．

②若a0.

2．有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)

(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．

(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．

(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．

3．無理數(shù)指數(shù)冪

一般地，無理數(shù)指數(shù)冪aα(a>0，α是無理數(shù))是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)．有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)同樣適用于無理數(shù)指數(shù)冪．

1．思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)

(1)0的任何指數(shù)冪都等于0.( )

(2)5eq \s\up12(eq \f(2,3))＝eq \r(53).( )

(3)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式可以相互轉(zhuǎn)化，如eq \r(4,a2)＝aeq \s\up12(eq \f(1,2)).( )

(4)aeq \s\up12(eq \f(m,n))可以理解為eq \f(m,n)個(gè)a.( )

[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×

2．下列運(yùn)算結(jié)果中，正確的是( )

A．a(chǎn)2a3＝a5 B．(－a2)3＝(－a3)2

C．(eq \r(a)－1)0＝1 D．(－a2)3＝a6

A [a2a3＝a2＋3＝a5；(－a2)3＝－a6≠(－a3)2＝a6；(eq \r(a)－1)0＝1，若成立，需要滿足a≠1，故選A.]

3．4eq \s\up12(eq \f(2,5))等于( )

A．25 B．eq \r(5,16)

C.eq \r(4eq \s\up12(\f(1,5))) D．eq \r(5,4)

B [4eq \s\up12(eq \f(2,5))＝eq \r(5,42)＝eq \r(5,16)，故選B.]

4．(meq \s\up12(eq \f(1,2)))4＋(－1)0＝________.

m2＋1 [(meq \s\up12(eq \f(1,2)))4＋(－1)0＝m2＋1.]

【例1】將下列根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式：

(1)eq \r(a\r(a))(a>0)；(2)eq \f(1,\r(3,x?\r(5,x2)?2))；

(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(4,b－\f(2,3))))eq \s\up12(－eq \f(2,3)) (b>0)．

根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪互化的規(guī)律

(1)根指數(shù)分?jǐn)?shù)指數(shù)的分母，被開方數(shù)(式)的指數(shù)分?jǐn)?shù)指數(shù)的分子．

(2)在具體計(jì)算時(shí)，通常會(huì)把根式轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，然后利用有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)解題．

eq \([跟進(jìn)訓(xùn)練])

1．將下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪進(jìn)行互化：

(1)a3·eq \r(3,a2)；(2)eq \r(a－4b2\r(3,ab2))(a>0，b>0)．

【例2】計(jì)算下列各式(式中字母均是正數(shù))：

指數(shù)冪運(yùn)算的常用技巧

?1?有括號(hào)先算括號(hào)里的，無括號(hào)先進(jìn)行指數(shù)運(yùn)算.

?2?負(fù)指數(shù)冪化為正指數(shù)冪的倒數(shù).

?3?底數(shù)是小數(shù)，先要化成分?jǐn)?shù)；底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，要先化成假分?jǐn)?shù)，然后要盡可能用冪的形式表示，便于用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì).

eq \([跟進(jìn)訓(xùn)練])

2．化簡求值：

[探究問題]

1.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,a)))eq \s\up12(2)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,a)))eq \s\up12(2)存在怎樣的等量關(guān)系？

提示：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,a)))eq \s\up12(2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,a)))eq \s\up12(2)＋4.

2．已知eq \r(a)＋eq \f(1,\r(a))的值，如何求a＋eq \f(1,a)的值？反之呢？

提示：設(shè)eq \r(a)＋eq \f(1,\r(a))＝m，則兩邊平方得a＋eq \f(1,a)＝m2－2；反之若設(shè)a＋eq \f(1,a)＝n，則n＝m2－2，∴m＝eq \r(n＋2).即eq \r(a)＋eq \f(1,\r(a))＝eq \r(n＋2).

【例3】已知aeq \s\up12(eq \f(1,2))＋aeq \s\up12(－eq \f(1,2))＝4，求下列各式的值：

(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.

[思路點(diǎn)撥] eq \(――――→,\s\up7(兩邊平方))eq \x(得a＋a－1的值)eq \(――――→,\s\up7(兩邊平方))eq \x(得a2＋a－2的值)

[解] (1)將aeq \s\up12(eq \f(1,2))＋aeq \s\up12(－eq \f(1,2))＝4兩邊平方，得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14.

(2)將a＋a－1＝14兩邊平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194.

1．在本例條件不變的條件下，求a－a－1的值．

[解] 令a－a－1＝t，則兩邊平方得a2＋a－2＝t2＋2，

∴t2＋2＝194，即t2＝192，∴t＝±8eq \r(3)，即a－a－1＝±8eq \r(3).

2．在本例條件不變的條件下，求a2－a－2的值．

[解] 由上題可知，a2－a－2＝(a－a－1)(a＋a－1)＝±8eq \r(3)×14＝±112eq \r(3).

解決條件求值的思路

?1?在利用條件等式求值時(shí)，往往先將所求式子進(jìn)行有目的的變形，或先對(duì)條件式加以變形，溝通所求式子與條件等式的聯(lián)系，以便用整體代入法求值.

?2?在利用整體代入的方法求值時(shí)，要注意完全平方公式的應(yīng)用.

1．掌握2個(gè)知識(shí)點(diǎn)

(1)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義；

(2)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)．

2．掌握2種方法

(1)對(duì)根式進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，一般先將根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，這樣可以方便使用同底數(shù)冪的運(yùn)算律．

(2)解決較復(fù)雜的條件求值問題時(shí)，“整體思想”是簡化求解的“利器”．

3．規(guī)避1個(gè)易錯(cuò)

在運(yùn)用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡時(shí)，其結(jié)果不能同時(shí)含有根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既含有分母又含有負(fù)指數(shù)．

1．把根式aeq \r(a)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是( )

D [由題意可知a≥0，故排除A、B、C選項(xiàng)，選D.]

2．已知xeq \s\up12(eq \f(1,2))＋xeq \s\up12(－eq \f(1,2))＝5，則eq \f(x2＋1,x)的值為( )

A．5 B．23

C．25 D．27

B [∵xeq \s\up12(eq \f(1,2))＋xeq \s\up12(－eq \f(1,2))＝5，∴x＋x－1＝23，即eq \f(x2＋1,x)＝23.]

3．計(jì)算：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(3,5)))eq \s\up12(0)＋2－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(1,4)))eq \s\up12(－eq \f(1,2))－(0.01)0.5＝________.

eq \f(16,15) [原式＝1＋eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,9)))eq \s\up12(eq \f(1,2))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,100)))eq \s\up12(eq \f(1,2))＝1＋eq \f(1,6)－eq \f(1,10)＝eq \f(16,15).]

5．求下列各式的值：

學(xué) 習(xí) 目標(biāo)
核心素養(yǎng)
1.理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的含義，掌握根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化．(重點(diǎn)、難點(diǎn))

2．掌握實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，并能對(duì)代數(shù)式進(jìn)行化簡或求值．(重點(diǎn))
1.通過分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)的推導(dǎo)，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)．

2．借助指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)代數(shù)式化簡或求值，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
分?jǐn)?shù)指數(shù)冪
正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪
規(guī)定：aeq \s\up12(eq \f(m,n))＝eq \r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)
負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪
規(guī)定：aeq \s\up12(－eq \f(m,n))＝＝eq \f(1,\r(n,am))

(a>0，m，n∈N*，且n>1)
0的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪
0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，

0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義
根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化
利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡求值
指數(shù)冪運(yùn)算中的條件求值

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