人教A版 (2019)4.1 指數(shù)第2課時(shí)學(xué)案

這是一份人教A版 (2019)4.1 指數(shù)第2課時(shí)學(xué)案，共7頁(yè)。
國(guó)家統(tǒng)計(jì)局有關(guān)數(shù)據(jù)顯示，我國(guó)科研和開發(fā)機(jī)構(gòu)基礎(chǔ)研究經(jīng)費(fèi)支出近些年呈爆炸式增長(zhǎng)：2013年為221.59億元，2014年、2015年、2016年的年增長(zhǎng)率分別為16.84%,14.06%,14.26%.你能根據(jù)這三個(gè)年增長(zhǎng)率的數(shù)據(jù)，算出年平均增長(zhǎng)率，并以2013年的經(jīng)費(fèi)支出為基礎(chǔ)，預(yù)測(cè)2017年及以后各年的經(jīng)費(fèi)支出嗎？
知識(shí)點(diǎn)1 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義
在分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的互化公式a＝eq \r(n,am)中，為什么必須規(guī)定a>0?
[提示] ①若a＝0,0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪恒等于0，即eq \r(n,am)＝a＝0，無研究?jī)r(jià)值．
②若a0.
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)
(1)0的任何指數(shù)冪都等于0.( )
(2)5＝eq \r(53).( )
(3)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式可以相互轉(zhuǎn)化，如eq \r(4,a2)＝a.( )
(4)a可以理解為eq \f(m,n)個(gè)a相乘．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2.將下列根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：
①eq \r(3,16)＝________；
②eq \r(5,x2)＝________；
③eq \r(6,m－5)＝________(m≥0)．
[答案] ①16 ②x ③m
知識(shí)點(diǎn)2 有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
3.下列運(yùn)算結(jié)果中，正確的是( )
A．a(chǎn)2a3＝a5 B．(－a2)3＝(－a3)2
C．(eq \r(a)－1)0＝1D．(－a2)3＝a6
A [a2a3＝a2＋3＝a5；(－a2)3＝－a6≠(－a3)2＝a6；(eq \r(a)－1)0＝1，若成立，需要滿足a≠1，故選A.]
知識(shí)點(diǎn)3 無理數(shù)指數(shù)冪
一般地，無理數(shù)指數(shù)冪aα(a>0，α是無理數(shù))是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)．有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)同樣適用于無理數(shù)指數(shù)冪．
4.思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)
(1)5eq \r(3)是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)．( )
(2)指數(shù)冪aα的指數(shù)α只能取無理數(shù)．( )
(3)＝8.( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√
類型1 根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化
【例1】 (對(duì)接教材P106例題)將下列根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式：
(1)eq \r(a\r(a))(a>0)；(2)eq \f(1,\r(3,x?\r(5,x2)?2))；
(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(4,b))) (b>0)．
[解] (1)原式＝
根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪互化的規(guī)律
(1)根指數(shù)分?jǐn)?shù)指數(shù)的分母，被開方數(shù)(式)的指數(shù)分?jǐn)?shù)指數(shù)的分子．
(2)在具體計(jì)算時(shí)，通常會(huì)把根式轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，然后利用有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)解題．
eq \a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])
1．將下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪進(jìn)行互化：
(1)a3·eq \r(3,a2)；(2)eq \r(a－4b2\r(3,ab2))(a>0，b>0)．
[解]
類型2 利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值
【例2】 計(jì)算下列各式(式中字母均是正數(shù))：
[解]
＝[2×(－6)÷(－3)]
＝4ab0
＝4a.
＝m2n－3
＝eq \f(m2,n3).
指數(shù)冪運(yùn)算的常用技巧
(1)有括號(hào)先算括號(hào)里的，無括號(hào)先進(jìn)行指數(shù)運(yùn)算．
(2)負(fù)指數(shù)冪化為正指數(shù)冪的倒數(shù)．
(3)底數(shù)是小數(shù)，先要化成分?jǐn)?shù)；底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，要先化成假分?jǐn)?shù)，然后要盡可能用冪的形式表示，便于用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)．
eq \a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])
2．化簡(jiǎn)求值：
(1)0.027－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6\f(1,4)))＋256＋(2eq \r(2))－3－1＋π0；
(2)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)；
(3)2eq \r(3,a)÷4eq \r(6,ab)×3eq \r(b3).
[解] (1)原式＝＋
(2)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)
＝－eq \f(1,3)a－3－(－4)b－2－(－2)c－1
＝－eq \f(1,3)ac－1＝－eq \f(a,3c).
類型3 條件求值問題
【例3】 已知a＋a＝4，求下列各式的值：
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.
代數(shù)式“a＋a”與“a＋a－1、a2＋a－2”間存在怎樣的關(guān)系，可以借助哪些公式實(shí)現(xiàn)他們間的轉(zhuǎn)化與化歸？
[解] (1)將a＋a＝4兩邊平方，得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14.
(2)將a＋a－1＝14兩邊平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194.
1．在本例條件不變的條件下，求a－a－1的值．
[解] 令a－a－1＝t，則兩邊平方得a2＋a－2＝t2＋2，
∴t2＋2＝194，即t2＝192，∴t＝±8eq \r(3)，即a－a－1＝±8eq \r(3).
2．在本例條件不變的條件下，求a2－a－2的值．
[解] 由上題可知，a2－a－2＝(a－a－1)(a＋a－1)＝±8eq \r(3)×14＝±112eq \r(3).
解決條件求值的思路
(1)在利用條件等式求值時(shí)，往往先將所求式子進(jìn)行有目的的變形，或先對(duì)條件式加以變形，溝通所求式子與條件等式的聯(lián)系，以便用整體代入法求值．
(2)在利用整體代入的方法求值時(shí)，要注意完全平方公式的應(yīng)用．
eq \a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])
3．已知a－a＝m，求a＋a－1及a2＋a－2的值．
[解] ∵a－a＝m，
∴(a－a)2＝a＋a－1－2＝m2，
即a＋a－1＝m2＋2.
∴a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝(m2＋2)2－2＝m4＋4m2＋2.
1．(多選)下列各式既符合分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義，值又相等的是( )
BC [A不符合題意，(－1)和(－1)均符合分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義，但(－1)＝eq \r(3,－1)＝－1，(－1)＝eq \r(6,?－1?2)＝1；
B符合題意，eq \f(1,3)＝3；
C符合題意，4＝eq \r(4,22)＝2；
D不符合題意，4和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－3均符合分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義，但4＝eq \f(1,4)＝eq \f(1,8)，
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－3＝23＝8.]
2．把根式aeq \r(a)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是( )
A．(－a) B．－(－a)
C．－aD．a(chǎn)
D [由題意可知a≥0，故排除A、B、C選項(xiàng)，選D.]
3．已知x＋x＝5，則eq \f(x2＋1,x)的值為( )
A．5 B．23
C．25 D．27
B [∵x＋x＝5，∴x＋x－1＝23，即eq \f(x2＋1,x)＝23.]
4．若10x＝3,10y＝4，則102x－y＝________.
eq \f(9,4) [∵10x＝3，∴102x＝9，
又10y＝4，∴102x－y＝eq \f(102x,10y)＝eq \f(9,4).]
5．計(jì)算：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(3,5)))0＋2－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(1,4)))－(0.01)0.5＝________.
eq \f(16,15) [原式＝1＋eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,9)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,100)))＝1＋eq \f(1,6)－eq \f(1,10)＝eq \f(16,15).]
回顧本節(jié)知識(shí)，自我完成以下問題：
1.eq \r(n,am)用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪如何表示？
[提示] eq \r(n,am)＝a.
2．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪有哪些性質(zhì)？
[提示] (1)as·ar＝as＋r；
(2)(ar)s＝ars；
(3)(ab)r＝arbr.
3．已知eq \r(a)＋eq \f(1,\r(a))的值，如何求a＋eq \f(1,a)的值？反之呢？
[提示] 設(shè)eq \r(a)＋eq \f(1,\r(a))＝m，則兩邊平方得a＋eq \f(1,a)＝m2－2；反之若設(shè)a＋eq \f(1,a)＝n，則n＝m2－2，∴m＝eq \r(n＋2).即eq \r(a)＋eq \f(1,\r(a))＝eq \r(n＋2).
學(xué) 習(xí) 任 務(wù)
核 心 素 養(yǎng)
1．理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的含義，掌握根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化．(重點(diǎn)、難點(diǎn))
2．掌握實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，并能對(duì)代數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)或求值．(重點(diǎn))
1．通過分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)的推導(dǎo)，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)．
2．借助指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)代數(shù)式化簡(jiǎn)或求值，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
分?jǐn)?shù)指數(shù)冪
正分?jǐn)?shù)
指數(shù)冪
規(guī)定：a＝eq \r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)
負(fù)分?jǐn)?shù)
指數(shù)冪
規(guī)定：a＝eq \f(1,a)＝eq \f(1,\r(n,am))
(a>0，m，n∈N*，且n>1)
0的分?jǐn)?shù)
指數(shù)冪
0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，
0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義