課前知識管理


1、坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)的特征


2、對稱點的坐標(biāo)特征


點P關(guān)于軸對稱的點的坐標(biāo)是，關(guān)于軸對稱的點的坐標(biāo)是.


3、圖形坐標(biāo)變換規(guī)律


平移: 上下平移：橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)改變； 左右平移：橫坐標(biāo)改變,縱坐標(biāo)不變.


對稱: 關(guān)于x軸對稱：橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)改變；關(guān)于y軸對稱：橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)不變.


關(guān)于原點中心對稱：橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都互為相反數(shù).


旋轉(zhuǎn)：改變圖形的位置，不改變圖形的大小和形狀.


名師導(dǎo)學(xué)互動


典例精析：


知識點1：建坐標(biāo)系求點的坐標(biāo)


例1、如圖的圍棋盤放在某個平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，白棋②的坐標(biāo)為（-7，-4），白棋④的坐標(biāo)為（-6，-8），那么黑棋①的坐標(biāo)應(yīng)該是___________.





【解題思路】只要我們能找出坐標(biāo)系的原點，問題即可很快解決.由白棋②的坐標(biāo)為（-7，-4），白棋④的坐標(biāo)為（-6，-8），可得x軸正方向向右，y軸正方向向上，從④坐標(biāo)開始向右平移3個，再向上平移1個即到黑棋①的位置，可得坐標(biāo)（-3，-7）.


【解】（-3，-7）


【方法歸納】在同一個圖形中，建立不同的坐標(biāo)系，點的坐標(biāo)也不同，但如果點的坐標(biāo)知道了，那么坐標(biāo)系也就確定了.在解題時，要根據(jù)題目特點建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系來描述物體的位置.


對應(yīng)練習(xí)：如圖，平行四邊形的中心在原點，AD∥BC，D（3，2），C（1，-2），則其他點的坐標(biāo)為_________________________．


答案：A（-1，2），B（-3，-2）





知識點2：對稱變換


例2、在直角坐標(biāo)系中，的三個頂點的位置如圖所示．（1）請畫出關(guān)于軸對稱的（其中分別是的對應(yīng)點，不寫畫法）；（2）直接寫出三點的坐標(biāo)：．





【解題思路】如圖，根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)為原橫坐標(biāo)的相反數(shù)，即橫坐標(biāo)乘以，可求出相應(yīng)點的坐標(biāo)，之后再連線畫出對稱變換后的圖形.


【解】（1）如上圖；（2），，


【方法歸納】關(guān)于x軸對稱的點的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)為原縱坐標(biāo)的相反數(shù)，即縱坐標(biāo)乘以；關(guān)于y軸對稱的點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)為原橫坐標(biāo)的相反數(shù)，即橫坐標(biāo)乘以；關(guān)于原點成中心對稱的點的，橫坐標(biāo)為原橫坐標(biāo)的相反數(shù)，縱坐標(biāo)為原縱坐標(biāo)的相反數(shù)，即橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)同乘以.


對應(yīng)練習(xí)：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，．


（1）求出的面積．（2）在圖中作出關(guān)于軸的對稱圖形．


（3）寫出點的坐標(biāo)．





答案：（1）（或7.5）（平方單位）；（2）如圖（2）；（3）A1（1，5），B1（1，0），C1（4，3）





知識點3：位似變換


例3如圖,已知O是坐標(biāo)原點，B、C兩點的坐標(biāo)分別為(3，-1)、(2,1)．


(1)以0點為位似中心在y軸的左側(cè)將△OBC放大到兩倍(即新圖與原圖的相似比為2)，畫出圖形；


(2)分別寫出B、C兩點的對應(yīng)點B′、C′的坐標(biāo)；


(3)如果△OBC內(nèi)部一點M的坐標(biāo)為(x，y),寫出M的對應(yīng)點M′的坐標(biāo)．





【解題思路】本題是一道在直角坐標(biāo)系內(nèi)畫位似圖形的試題，根據(jù)位似比為2∶1，可延長BO到B′，使OB′=2BO，延長CO到C′，使C′O=2CO，連結(jié)B′C′，則△OB′C′即位所作的位似圖形.進一步可以求到B′、C′點的坐標(biāo).


【解】（1）延長BO到B′，使B′O=2BO，延長CO到C′，使C′O=2CO，連結(jié)B′、C′.則△OB′C′即為△OBC的位似圖形（如圖）.（2）觀察可知B′(-6,2)，C′(-4,-2).（3）M′(-2x．-2y).


【方法歸納】若以點O為位似中心在y軸的左側(cè)將△OBC放大到n倍，則對應(yīng)點坐標(biāo)為原坐標(biāo)的倍；


若以點O為位似中心在y軸的右側(cè)將△OBC放大到n倍，則對應(yīng)點坐標(biāo)為原坐標(biāo)的倍.


對應(yīng)練習(xí)：如圖，方格紙中有一條美麗可愛的小金魚．（1）在同一方格紙中，畫出將小金魚圖案繞原點O旋轉(zhuǎn)180°后得到的圖案；（2）在同一方格紙中，并在軸的右側(cè)，將原小金魚圖案以原點O為位似中心放大，使它們的位似比為1：2，畫出放大后小金魚的圖案．





答案：如圖：





知識點4：根據(jù)已知點坐標(biāo)求對稱點坐標(biāo)


例4、點A（-1，2）關(guān)于x軸的對稱點坐標(biāo)是__________；點A關(guān)于y軸的對稱點坐標(biāo)是__________；點A關(guān)于原點的對稱點的坐標(biāo)是____________.


【解題思路】本題考查關(guān)于x軸、y軸、原點對稱點的坐標(biāo)的特征，關(guān)于x軸對稱的點，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于原點對稱的點，橫、縱坐標(biāo)均互為相反數(shù).


【解】（-1，-2） （1，2） （1，-2）


【方法歸納】根據(jù)已知點坐標(biāo)求對稱點坐標(biāo)在中考題中出現(xiàn)的頻率較高，有時會結(jié)合其他知識點來考查，但只要我們記住它的變化規(guī)律就不會出錯了.規(guī)律為：關(guān)于什么軸對稱，什么軸的坐標(biāo)就不變；關(guān)于原點對稱橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都要改變.


對應(yīng)練習(xí)：M(1,2)關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為( )


A.(-1,2) B.(-1,-2) C.(1,-2) D.(2,-1)


答案：C


知識點5：旋轉(zhuǎn)變換


例5.如圖，在直角坐標(biāo)系中，△ABO的頂點A、B、O的坐標(biāo)分別為（1，0）、（0，1）、（0，0）.點列P1、P2、P3、…中的相鄰兩點都關(guān)于△ABO的一個頂點對稱： 點P1與點P2關(guān)于點A對稱，點P2與點P3關(guān)于點B對稱，點P3與P4關(guān)于點O對稱，點P4與點P5關(guān)于點A對稱，點P5與點P6關(guān)于點B對稱，點P6與點P7關(guān)于點O對稱，….對稱中心分別是A、B，O，A，B，O，…，且這些對稱中心依次循環(huán).已知點P1的坐標(biāo)是（1，1），試求出點P2、P7、P100的坐標(biāo).





【解題思路】本題是一道和對稱有關(guān)的探索題，是在中心對稱和點的坐標(biāo)知識基礎(chǔ)上的拓寬題，由于是規(guī)律循環(huán)的對稱，所以解決問題的關(guān)鍵是找出循環(huán)規(guī)律.如圖，標(biāo)出P1到P7各點，可以發(fā)現(xiàn)點P7和點P1重合，繼續(xù)下去可以發(fā)現(xiàn)點P8和點P2循環(huán),所以6個點循環(huán)一次，這樣可以求出各點的坐標(biāo).


【解】如圖P2(1,-1)， P7(1,1)，因為100除以6余4，所以點P100和點P4的坐標(biāo)相同，所以P100的坐標(biāo)為(1,-3).


【方法歸納】一般而言，對于這樣的圖形旋轉(zhuǎn)及點的坐標(biāo)的問題，通過畫圖來探究可以達到一目了然之效．


對應(yīng)練習(xí)：如圖，在一個的正方形DEFG網(wǎng)格中有一個．





（1）在網(wǎng)格中畫出向下平移3個單位得到的；


（2）在網(wǎng)格中畫出繞Ｃ點逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到的；


（3）若以所在直線為x軸，所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，寫出，兩點的坐標(biāo)．


解：（1）、（2）見圖；（3），，


知識點6：確定圖形變換后圖形中點的坐標(biāo)


例6、（1）請在如圖所示的方格紙中，將向上平移格，再向右平移格，得，再將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，得，最后將以點為位似中心放大到倍，得；





（2）請在方格紙的適當(dāng)位置畫上坐標(biāo)軸（一個小正方形的邊長為個單位長度），在你所建立的直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)分別為： 點（ ），點（ ），點（ ）．


【解題思路】本題求解的步驟為：首先按要求畫出相應(yīng)的圖形，再建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，最后觀察坐標(biāo)系中的各個圖形中所求點的位置，即求出相應(yīng)點的坐標(biāo)．


【解】（1）小題的答案見上圖；（2）小題的答案不唯一，略．


【方法歸納】本題是一道集平移、旋轉(zhuǎn)、位似圖形知識和直角坐標(biāo)系知識為一體的考題，考察了綜合利用所學(xué)知識求解問題的能力．


例7、如圖，在12×12的正方形網(wǎng)格中，△TAB的頂點坐標(biāo)分別為T(1，1)，A(2，3)，B(4，2) ．


(1)以點T(1，1)為位似中心，按比例尺(TA?∶TA)3∶1在位似中心的同側(cè)將△TAB放大為△TA′B?，放大后點A,B的對應(yīng)點分別為A?，B?．畫出△TA′B?，并寫出點A′，B?的坐標(biāo)；


(2)在(1)中，若C(a，b)為線段AB上任一點，寫出變化后點C的對應(yīng)點C ?的坐標(biāo)．





【解題思路】利用位似的方法將一個圖形放大，從特殊到一般，探究、歸納位置變換后點的坐標(biāo)的變化．也可利用相似的性質(zhì)，進一步驗證．


【解】(1)如圖所示，點A?，B?的坐標(biāo)分別為(4，7)，(10，4)；(2)變化后點C的對應(yīng)點C′的坐標(biāo)為．


【方法歸納】將圖形放入平面直角坐標(biāo)系里，通過量化的方式來研究圖形和圖形之間的關(guān)系，體現(xiàn)了形與數(shù)的統(tǒng)一，它是用代數(shù)方法研究圖形的起始與基礎(chǔ)．如果題目中“在位似中心的同側(cè)”這一條件去掉,那么還要考慮兩種情況.


對應(yīng)練習(xí)：如圖，將三角形向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度，則平移后三個頂點的坐標(biāo)是（ ）





A.（2，2）,（3，4）,（1，7） B.（-2，2）,（4，3）,（1，7）


C.（-2，2）,（3，4）,（1，7） D.（2，-2）,（3，3）,（1，7）


答案：C.


知識點七：平移變換


例8、如圖，要把線段AB平移，使得點A到達點A'(4，2)，點B到達點B'，那么點B'的坐標(biāo)是_______.








【解題思路】平移時點的坐標(biāo)變化規(guī)律是：左右平移，橫變縱不變；上下平移，縱變橫不變.點向上（右）移為加法，點向下（左）移為減法.


【解】由圖可知點A移動到A/可以認(rèn)為先向右平移4個單位，再向上平移1個單位，∴經(jīng)過相同的平移后可得.


【方法歸納】平移時點的坐標(biāo)變化規(guī)律：左右平移時：向左平移個單位，向右平移 個單位；上下平移時：向上平移個單位，向下平移 個單位.


對應(yīng)練習(xí)：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，把點P（－2，1）向右平移一個單位，則得到的對應(yīng)點P′的坐標(biāo)是（ ）


A．（－2，2） B．（－1，1） C．（－3，1） D．（－2，0）


答案：B


課堂練習(xí)評測


考點1：旋轉(zhuǎn)變換


1、正方形ABCD在坐標(biāo)系中的位置如圖所示，將正方形ABCD繞D點順時針方向旋轉(zhuǎn)后，B點的坐標(biāo)為（ ）


A． B． C． D．





考點2：平移變換


2、如圖，把圖①中的△ABC經(jīng)過一定的變換得到圖②中的△A′B′C′，如果圖①中△ABC上點P的坐標(biāo)為（a，b），那么這個點在圖②中的對應(yīng)點P′的坐標(biāo)為（ ）





A．(a-2,b-3) B．(a-3,b-2) C．(a+3,b+2) D．(a+2,b+3)


3、如圖，在直角坐標(biāo)系中，右邊的圖案是由左邊的圖案經(jīng)過平移以后得到的.左圖案中左右眼睛的坐標(biāo)分別是(-4，2)，(-2，2)，右圖中左眼的坐標(biāo)是(3，4)，則右圖案中右眼的坐標(biāo)是 .





考點3：對稱變換


4、已知點P(5，a)與P′(b，-1)是關(guān)于原點的對稱點，則a、b的值是（ ）.


A.a=1，b=5 B.a=1，b=-5 C.a=-1，b=5 D.a=-1，b=-5


考點4：位似變換


5、已知：如圖，，，以為位似中心，按比例尺，把縮小，則點的對應(yīng)點的坐標(biāo)為（ ）


A．或B．或 C． D．





考點5：綜合應(yīng)用


6、如圖，方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位的正方形，在建立平面直角坐標(biāo)系后，△ABC的頂點均在格點上，點B的坐標(biāo)為（1,0）.


①畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1；


②畫出將△ABC繞原點O按逆時針旋轉(zhuǎn)90°所得的△A2B2C2；


③△A1B1C1與△A2B2C2成軸對稱圖形嗎？若成軸對稱圖形，畫出所有的對稱軸；


④△A1B1C1與△A2B2C2成中心對稱圖形嗎？若成中心對稱圖形，寫出所有的對稱中心的坐標(biāo).





7、在平面內(nèi)，先將一個多邊形以點為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對應(yīng)線段的比為，并且原多邊形上的任一點，它的對應(yīng)點在線段或其延長線上；接著將所得多邊形以點為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度，這種經(jīng)過和旋轉(zhuǎn)的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)相似變換，記為，其中點叫做旋轉(zhuǎn)相似中心，叫做相似比，叫做旋轉(zhuǎn)角．


（1）填空： ①如圖1，將以點為旋轉(zhuǎn)相似中心，放大為原來的2倍，再逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，這個旋轉(zhuǎn)相似變換記為（，）；


②如圖2，是邊長為的等邊三角形，將它作旋轉(zhuǎn)相似變換，得到，則線段的長為；


（2）如圖3，分別以銳角三角形的三邊，，為邊向外作正方形，，，點，，分別是這三個正方形的對角線交點，試分別利用與，與之間的關(guān)系，運用旋轉(zhuǎn)相似變換的知識說明線段與之間的關(guān)系．





課后作業(yè)練習(xí)


基礎(chǔ)訓(xùn)練


一、選擇題(每小題3分，共30分)


1、點M（-5，y）向下平移5個單位的像關(guān)于x軸對稱，則y的值是（ ）


A、-5 B、5 C、 D、－


2、在直角坐標(biāo)系中，點A（2，1）向左平移2個單位長度后的坐標(biāo)為（ ）


A、（4，1） B、（0，1） C、（2，3） D、（2，-1）


3、觀察圖（1）與（2）中的兩個三角形，可把（1）中的三角形的三個頂點，怎樣變化就得到（2）中的三角形的三個頂點（ ）


A、每個點的橫坐標(biāo)加上2 B、每個點的縱坐標(biāo)加上2


C、每個點的橫坐標(biāo)減去2 D、每個點的縱坐標(biāo)減去2





4、如圖，小明從點O出發(fā)，先向西走40米，再向南走30米到達點M，如果點M的位置用(－40，－30)表示，那么(10，20)表示的位置是（ ）


A．點A B．點B C．點C D．點D





5、在平面直角坐標(biāo)系中，將點A（1，2）的橫坐標(biāo)乘以-1，縱坐標(biāo)不變，得到點A′，則點A與點A′的關(guān)系是（ ）


A、關(guān)于x軸對稱 B、關(guān)于y軸對稱


C、關(guān)于原點對稱 D、將點A向x軸負(fù)方向平移一個單位得點A′


6、如圖，一個機器人從Ｏ點出發(fā)，向正東方向走到達點，再向正北方向走到達點，再向正西方向走到達點，再向正南方向走到達點，再向正東方向走到達點．按如此規(guī)律走下去，當(dāng)機器人走到點時，離Ｏ點的距離是（ ）


A、 10 B、 12 C、 15 D、 20





二、填空題：


7、將點P(-3，y)向下平移3個單位，向左平移2個單位后得到點Q(x，-1)，則xy=___________.


8、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，線段是由線段平移得到的，已知兩點的坐標(biāo)分別為，，若的坐標(biāo)為，則的坐標(biāo)為 ．





9、若B地在A地的南偏東500方向,5km處，則A地在B地的 方向 處.


10、已知點A（a，-3），B（4，b）關(guān)于y軸對稱，則a-b= .





三、解答題：





11、如圖，在直角坐標(biāo)系中，第一次將△OAB變換成△OA1B1，第二次將△OA1B1變換成△OA2B2，第三次將△OA2B2變換成△OA3B3．已知A（1，3），A1（2，3），A2（4，3），A3（8，3），B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）；.














（1）觀察每次變換前后的三角形有何變化，找出規(guī)律，按此變換規(guī)律再將△OA3B3變換成△OA4B4，則的坐標(biāo)是________，的坐標(biāo)是________．


（2）若按第（1）題找到的規(guī)律將△OAB進行了次變換，得到△OAnBn，比較每次變換中三角形頂點坐標(biāo)有何變化，找出規(guī)律，推測的坐標(biāo)是________，的坐標(biāo)是________．





12、在某河流的北岸有A、B兩個村子，A村距河北岸的距離為1千米，B村距河北岸的距離為4千米，且兩村相距5千米，現(xiàn)以河北岸為x軸，A村在y軸正半軸上（單位：千米）.


（1）請建立平面直角坐標(biāo)系，并描出A、B兩村的位置，寫出其坐標(biāo).


（2）近幾年，由于亂砍濫伐，生態(tài)環(huán)境受到破壞，A、B兩村面臨缺水的危險.兩村商議，共同在河北岸修一個水泵站，分別向兩村各鋪一條水管，要使所用水管最短，水泵站應(yīng)修在什么位置？在圖中標(biāo)出水泵站的位置，并求出所用水管的長度.























23.6.2圖形的變換與坐標(biāo)作業(yè)參考答案：


1、D


2、C


3、(5，4)


4、B


5、A


6、解：如下圖所示，（4）對稱中心是（0，0）





7、解：（1）①，； ②；


（2）經(jīng)過旋轉(zhuǎn)相似變換，得到，此時，線段變?yōu)榫€段；經(jīng)過旋轉(zhuǎn)相似變換，得到，此時，線段變?yōu)榫€段．，，，.





課后作業(yè)參考答案


一、選擇題


CBBBB C


二、填空題：


7、-10；


8、（2，2）


9、北偏西500，5km；


10、-1；


三、解答題：


11、（1） （16，3），（32，0）； （2） （2n，3），（2n+1，0）；


12、（1）如圖，點A（0，1），點B（4，4）；





（2）找A關(guān)于x軸的對稱點A′，連結(jié)A′B交x軸于點P，則P點即為水泵站的位置， PA＋PB=PA′＋PB=A′B且最短（如上圖）.過B、A′分別作x軸、y軸的垂線交于E，作AD⊥BE，垂足為D，則BD=3，


在Rt△ABD中,AD==4，所以A點坐標(biāo)為（0，1），B點坐標(biāo)為（4，4）；A′點坐標(biāo)為（0，－1），由A′E=4，BE=5，在Rt△A′BE中，A′B==. 故所用水管最短長度為千米.點P所在位置
軸
軸
原點
點P的坐標(biāo)

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初中數(shù)學(xué)華師大版九年級上冊第23章 圖形的相似23.6 圖形與坐標(biāo)2. 圖形的變換與坐標(biāo)精品導(dǎo)學(xué)案
華師大版九年級上冊24.1 測量導(dǎo)學(xué)案

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初中數(shù)學(xué)華師大版九年級上冊24.1 測量導(dǎo)學(xué)案

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初中數(shù)學(xué)華師大版九年級上冊電子課本 舊教材

2. 圖形的變換與坐標(biāo)

版本： 華師大版

年級： 九年級上冊

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