一、知識梳理
1．直線與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理

文字語言
圖形語言
符號語言
判定定理
一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直

?l⊥α
性質(zhì)定理
垂直于同一個平面的兩條直線平行

?a∥b
2.平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理

文字語言
圖形語言
符號語言
判定定理
一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面互相垂直

?α⊥β
性質(zhì)定理
兩個平面互相垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面

?l⊥α
3.空間角
(1)直線與平面所成的角

①定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條直線和這個平面所成的角，如圖，∠PAO就是斜線AP與平面α所成的角．
②線面角θ的范圍：θ∈．
(2)二面角

①定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角．這條直線叫做二面角的棱．兩個半平面叫做二面角的面．
如圖的二面角，可記作：二面角α-l-β或二面角P-AB-Q．

②二面角的平面角
如圖，過二面角α-l-β的棱l上一點O在兩個半平面內(nèi)分別作BO⊥l，AO⊥l，則∠AOB就叫做二面角α-l-β的平面角．
③二面角的范圍
設(shè)二面角的平面角為θ，則θ∈[0，π]．
④當(dāng)θ＝時，二面角叫做直二面角．
常用結(jié)論
1．線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化

2．兩個重要定理
(1)三垂線定理
在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直．
(2)三垂線定理的逆定理
在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直．
3．重要結(jié)論
(1)若兩平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面．
(2)若一條直線垂直于一個平面，則它垂直于這個平面內(nèi)的任何一條直線(證明線線垂直的一個重要方法)．
(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行．
(4)一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則這一條直線與另一個平面也垂直．
二、教材衍化
1．下列命題中錯誤的是________(填序號)．
①如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面β
②如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面β
③如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
④如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β
解析：對于④，若平面α⊥平面β，則平面α內(nèi)的直線可能不垂直于平面β，即與平面β的關(guān)系還可以是斜交、平行或在平面β內(nèi)，其他選項均是正確的．
答案：④
2．在三棱錐P-ABC中，點P在平面ABC中的射影為點O.
(1)若PA＝PB＝PC，則點O是△ABC的________心；
(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，則點O是△ABC的________心．
解析：(1)如圖1，連接OA，OB，OC，OP，
在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，
所以O(shè)A＝OB＝OC，即O為△ABC的外心．
　　
(2)如圖2，延長AO，BO，CO分別交BC，AC，AB于點H，D，G.
因為PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，
所以PC⊥平面PAB，又AB平面PAB，所以PC⊥AB，
因為AB⊥PO，PO∩PC＝P，
所以AB⊥平面PGC，又CG平面PGC，
所以AB⊥CG，即CG為△ABC邊AB上的高．
同理可證BD，AH分別為△ABC邊AC，BC上的高，即O為△ABC的垂心．
答案：(1)外　(2)垂

一、思考辨析
判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則l⊥α.(　　)
(2)垂直于同一個平面的兩平面平行．(　　)
(3)直線a⊥α，b⊥α，則a∥b.(　　)
(4)若α⊥β，a⊥β，則a∥α.(　　)
(5)若直線a⊥平面α，直線b∥α，則直線a與b垂直．(　　)
(6)若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的無數(shù)條直線，則α⊥β.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√　(6)×
二、易錯糾偏
(1)忽略線面垂直的條件致誤；
(2)忽視平面到空間的變化致誤．
1．“直線a與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直”是“直線a與平面α垂直”的________條件．
解析：根據(jù)直線與平面垂直的定義知“直線a與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直”不能推出“直線a與平面α垂直”，反之則可以，所以應(yīng)是必要不充分條件．
答案：必要不充分
2．已知直線a，b，c，若a⊥b，b⊥c，則a與c的位置關(guān)系為________．
解析：若a，b，c在同一個平面內(nèi)，由題設(shè)條件可得a∥c；若在空間中，則直線a與c的位置關(guān)系不確定，平行，相交，異面都有可能．
答案：平行，相交或異面





　　　　　　線面垂直的判定與性質(zhì)(多維探究)
角度一　線面垂直的證明
如圖

所示，在四棱錐P-ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中點，F(xiàn)是DC上的點，且DF＝AB，PH為△PAD中AD邊上的高．
求證：(1)PH⊥平面ABCD；
(2)EF⊥平面PAB.
【證明】　(1)因為AB⊥平面PAD，PH平面PAD，所以PH⊥AB.
因為PH為△PAD中AD邊上的高，所以PH⊥AD.
因為AB∩AD＝A，AB平面ABCD，AD平面ABCD，所以PH⊥平面ABCD.

(2)如圖，取PA的中點M，連接MD，ME.因為E是PB的中點，所以ME綊AB.
又因為DF綊AB.
所以ME綊DF，
所以四邊形MEFD是平行四邊形，
所以EF∥MD.
因為PD＝AD，所以MD⊥PA.
因為AB⊥平面PAD，所以MD⊥AB.
因為PA∩AB＝A，所以MD⊥平面PAB，
所以EF⊥平面PAB.
角度二　線面垂直性質(zhì)的應(yīng)用
如圖，在三棱錐A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD.

求證：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC.
【證明】　(1)在平面ABD內(nèi)，因為AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB.
又因為EF平面ABC，AB平面ABC，
所以EF∥平面ABC.
(2)因為平面ABD⊥平面BCD，
平面ABD∩平面BCD＝BD，
BC平面BCD，BC⊥BD，
所以BC⊥平面ABD.
因為AD平面ABD，
所以BC⊥AD.
又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB平面ABC，BC平面ABC，
所以AD⊥平面ABC.
又因為AC平面ABC，
所以AD⊥AC.

(1)判定線面垂直的四種方法

(2)判定線線垂直的四種方法
　
　
如圖所示，在四棱錐

P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點．
證明：(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.
證明：(1)在四棱錐P-ABCD中，
因為PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，
所以PA⊥CD.因為AC⊥CD，PA∩AC＝A，
所以CD⊥平面PAC.
而AE平面PAC，所以CD⊥AE.
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.
因為E是PC的中點，所以AE⊥PC.
由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，
所以AE⊥平面PCD.
而PD平面PCD，
所以AE⊥PD.
因為PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB.
又因為AB⊥AD且PA∩AD＝A，
所以AB⊥平面PAD，而PD?平面PAD，
所以AB⊥PD.又因為AB∩AE＝A，
所以PD⊥平面ABE.

　　　　　　面面垂直的判定與性質(zhì)(典例遷移)
(一題多解)如圖，四棱錐P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F(xiàn)，G，M，N分別為PB，AB，BC，PD，PC的中點．

(1)求證：CE∥平面PAD；
(2)求證：平面EFG⊥平面EMN.
【證明】　(1)法一：取PA的中點H，連接EH，DH.

又E為PB的中點，
所以EH綊AB.
又CD綊AB，
所以EH綊CD.
所以四邊形DCEH是平行四邊形，
所以CE∥DH.
又DH平面PAD，CE平面PAD.
所以CE∥平面PAD.
法二：連接CF.因為F為AB的中點，所以AF＝AB.
又CD＝AB，

所以AF＝CD.
又AF∥CD，所以四邊形AFCD為平行四邊形．
因此CF∥AD.
又CF平面PAD，AD平面PAD，
所以CF∥平面PAD.
因為E，F(xiàn)分別為PB，AB的中點，所以EF∥PA.
又EF平面PAD，PA平面PAD，
所以EF∥平面PAD.
又因為CF∩EF＝F.故平面CEF∥平面PAD.
又因為CE平面CEF，
所以CE∥平面PAD.
(2)因為E，F(xiàn)分別為PB，AB的中點，
所以EF∥PA，又AB⊥PA，所以AB⊥EF.
同理可得AB⊥FG.
又EF∩FG＝F，EF?平面EFG，
FG平面EFG，
因此AB⊥平面EFG.
又M，N分別為PD，PC的中點，所以MN∥CD.
又AB∥CD，所以MN∥AB，所以MN⊥平面EFG.
又MN平面EMN，
所以平面EFG⊥平面EMN.
【遷移探究1】　(變問法)在本例條件下，證明：平面EMN⊥平面PAC.
證明：因為AB⊥PA，AB⊥AC，且PA∩AC＝A，
所以AB⊥平面PAC.
又MN∥CD，CD∥AB，所以MN∥AB.
所以MN⊥平面PAC.
又MN平面EMN，
所以平面EMN⊥平面PAC.
【遷移探究2】　(變問法)在本例條件下，證明：平面EFG∥平面PAC.
證明：因為E，F(xiàn)，G分別為PB，AB，BC的中點，
所以EF∥PA，F(xiàn)G∥AC，
又EF平面PAC，PA平面PAC，
所以EF∥平面PAC.
同理，F(xiàn)G∥平面PAC.
又EF∩FG＝F，所以平面EFG∥平面PAC.

證明面面垂直的兩種常用方法
(1)用面面垂直的判定定理，即先證明其中一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線．
(2)用面面垂直的定義，即證明兩個平面所成的二面角是直二面角，把證明面面垂直的問題轉(zhuǎn)化為證明平面角為直角的問題．　
　如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F(xiàn)分別為AD，PB的中點．
(1)求證：PE⊥BC；
(2)求證：平面PAB⊥平面PCD；
(3)求證：EF∥平面PCD.

證明：(1)因為PA＝PD，E為AD的中點，
所以PE⊥AD.因為底面ABCD為矩形，所以BC∥AD.
所以PE⊥BC.
(2)因為底面ABCD為矩形，所以AB⊥AD.又因為平面PAD⊥平面ABCD，所以AB⊥平面PAD.所以AB⊥PD.又因為PA⊥PD，所以PD⊥平面PAB.所以平面PAB⊥平面PCD.
(3)取PC的中點G，連接FG，DG.

因為F，G分別為PB，PC的中點，
所以FG∥BC，F(xiàn)G＝BC.
因為四邊形ABCD為矩形，且E為AD的中點，
所以DE∥BC，DE＝BC.
所以DE∥FG，DE＝FG.
所以四邊形DEFG為平行四邊形．
所以EF∥DG.
又因為EF平面PCD，DG平面PCD，
所以EF∥平面PCD.

　　　　　　垂直關(guān)系中的探索性問題(師生共研)
如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，M為棱AC的中點．AB＝BC，AC＝2，AA1＝.

(1)求證：B1C∥平面A1BM；
(2)求證：AC1⊥平面A1BM；
(3)在棱BB1上是否存在點N，使得平面AC1N⊥平面AA1C1C？如果存在，求此時的值；如果不存在，請說明理由．
【解】　(1)證明：連接AB1與A1B，兩線交于點O，連接OM.

在△B1AC中，因為M，O分別為AC，AB1的中點，
所以O(shè)M∥B1C，
又因為OM平面A1BM，B1C平面A1BM，
所以B1C∥平面A1BM.
(2)證明：因為側(cè)棱AA1⊥底面ABC ，BM平面ABC，
所以AA1⊥BM，
又因為M為棱AC的中點，AB＝BC，所以BM⊥AC.
因為AA1∩AC＝A，AA1，AC平面ACC1A1，
所以BM⊥平面ACC1A1，
所以BM⊥AC1.
因為AC＝2，所以AM＝1.
又因為AA1＝，所以在Rt△ACC1和Rt△A1AM中，
tan∠AC1C＝tan∠A1MA＝，
所以∠AC1C＝∠A1MA，
即∠AC1C＋∠C1AC＝∠A1MA＋∠C1AC＝90°，
所以A1M⊥AC1.
因為BM∩A1M＝M，BM，A1M平面A1BM，
所以AC1⊥平面A1BM.
(3)

當(dāng)點N為BB1的中點，即＝時，
平面AC1N⊥平面AA1C1C.
證明如下：
設(shè)AC1的中點為D，連接DM，DN.因為D，M分別為AC1，AC的中點，
所以DM∥CC1，且DM＝CC1.
又因為N為BB1的中點，所以DM∥BN，且DM＝BN，
所以四邊形BNDM為平行四邊形，
所以BM∥DN，
因為BM⊥平面ACC1A1，所以DN⊥平面AA1C1C.
又因為DN平面AC1N，
所以平面AC1N⊥平面AA1C1C.

(1)對于線面關(guān)系中的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后在該假設(shè)條件下，利用線面關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論則否定假設(shè)．
(2)對于探索性問題用向量法比較容易入手．一般先假設(shè)存在，設(shè)出空間點的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有解的問題，若有解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或無解則不存在．　
　如圖所示，平面ABCD⊥平面BCE，四邊形ABCD為矩形，BC＝CE，點F為CE的中點．

(1)證明：AE∥平面BDF；
(2)點M為CD上任意一點，在線段AE上是否存在點P，使得PM⊥BE? 若存在，確定點P的位置，并加以證明；若不存在，請說明理由．
解：(1)證明：連接AC交BD于點O，連接OF.

因為四邊形ABCD是矩形，
所以O(shè)為AC的中點．
又F為EC的中點，所以O(shè)F∥AE.
又OF平面BDF，
AE平面BDF，
所以AE∥平面BDF.
(2)當(dāng)點P為AE的中點時，
有PM⊥BE，證明如下：


取BE的中點H，連接DP，PH，CH.
因為P為AE的中點，H為BE的中點，所以PH∥AB.
又AB∥CD，所以PH∥CD，
所以P，H，C，D四點共面．
因為平面ABCD⊥平面BCE，且平面ABCD∩平面BCE＝BC，CD⊥BC，
CD平面ABCD，所以CD⊥平面BCE.
又BE平面BCE，所以CD⊥BE，
因為BC＝CE，且H為BE的中點，
所以CH⊥BE.
又CH∩CD＝C，且CH，CD平面DPHC，
所以BE⊥平面DPHC.
又PM平面DPHC，所以PM⊥BE.
　邏輯推理平面圖形折疊問題的解題技巧
一、將平面圖形折疊成立體圖形
　如圖是一個正方體表面的一種展開圖，圖中的四條線段AB，CD，EF和GH在原正方體中相互異面的有________對．

【解析】　平面圖形的折疊應(yīng)注意折前折后各元素相對位置的變化．畫出圖形即可判斷，相互異面的線段有AB與CD，EF與GH，AB與GH，共3對．

【答案】　3

畫折疊圖形一般以某個面為基礎(chǔ)，依次將其余各面翻折還原，當(dāng)然，畫圖之前要對翻折后形成的立體圖形有所認(rèn)識，這是解答此類問題的關(guān)鍵．
　
二、折疊中的“變”與“不變”
　如圖①，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝6，D，E分別是AC，AB上的點，CD＝BE＝，O為BC的中點．將△ADE沿DE折起，得到如圖②所示的四棱錐A′－BCDE，其中A′O＝.
(1)證明：A′O⊥平面BCDE；
(2)求二面角A′－CD－B的平面角的余弦值．

【解】　(1)證明：在題圖①中，易得OC＝3，AC＝3，AD＝2.
連接OD，OE，在△OCD中，由余弦定理可得
OD＝＝.
由翻折不變性可知A′D＝2，
所以A′O2＋OD2＝A′D2，所以A′O⊥OD，
同理可證A′O⊥OE，又OD∩OE＝O，
所以A′O⊥平面BCDE.
(2)過O作OH⊥CD交CD的延長線于H，連接A′H，因為A′O⊥平面BCDE，所以A′H⊥CD，所以∠A′HO為二面角A′－CD－B的平面角．

結(jié)合題圖①可知，H為AC的中點，故OH＝，從而A′H＝＝，所以cos∠A′HO＝＝，
所以二面角A′－CD－B的平面角的余弦值為.

折疊問題的關(guān)鍵有二：①畫好兩個圖——折疊前的平面圖和折疊后的立體圖；②分析好兩個關(guān)系——折疊前后哪些位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系發(fā)生了變化，哪些沒有改變．一般地，在同一半平面內(nèi)的幾何元素之間的關(guān)系是不變的．涉及兩個半平面內(nèi)的幾何元素之間的關(guān)系是要變化的．分別位于兩個半平面內(nèi)但垂直于折疊棱的直線翻折后仍然垂直于折疊棱．
　
三、立體圖形的表面展開圖的應(yīng)用
　在一個底面直徑是5 cm，高為2π cm的圓柱形玻璃杯子的上沿B處有一只蒼蠅，而恰好在相對的底沿A處有一只蜘蛛，蜘蛛要想用最快的速度捕捉到這只蒼蠅，蜘蛛所走的最短的路程是________．
【解析】　利用側(cè)面展開圖，如圖，蜘蛛所走的最短的路程是線段AB的長，AC＝×2π×＝π cm，BC＝2π cm，則AB＝＝π cm，即蜘蛛所走的最短的路程是π cm.

【答案】　π cm

求從一點出發(fā)沿幾何體表面到另一點的最短距離問題：通常把幾何體的側(cè)面展開，轉(zhuǎn)化為平面圖形中的距離問題．　
[基礎(chǔ)題組練]
1．(2020·遼寧大連模擬)已知直線l和平面α，β，且lα，則“l(fā)⊥β”是“α⊥β”的(　　)
A．充分不必要條件　　　 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
解析：選A.由面面垂直的判定定理可得，若lα，l⊥β，則α⊥β，充分性成立；若lα，α⊥β，則l與β平行或相交或垂直，必要性不成立．所以若lα，則“l(fā)⊥β”是“α⊥β”的充分不必要條件，故選A.
2．(2020·河北唐山模擬)如圖，在以下四個正方體中，直線AB與平面CDE垂直的是(　　)

A．①② B．②④
C．①③ D．②③
解析：選B.對于①，易證AB與CE所成角為45°，則直線AB與平面CDE不垂直；對于②，易證AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，則AB⊥平面CDE；對于③，易證AB與CE所成角為60°，則直線AB與平面CDE不垂直；對于④，易證ED⊥平面ABC，則ED⊥AB，同理EC⊥AB，可得AB⊥平面CDE.故選B.
3.(2020·黑龍江鶴崗模擬)如圖，在三棱錐V－ABC中，VO⊥平面ABC，O∈CD，VA＝VB，AD＝BD，則下列結(jié)論中不一定成立的是(　　)

A．AC＝BC
B．AB⊥VC
C．VC⊥VD
D．S△VCD·AB＝S△ABC·VO
解析：選C.因為VO⊥平面ABC，AB平面ABC，所以VO⊥AB.因為VA＝VB，AD＝BD，所以VD⊥AB.又因為VO∩VD＝V，所以AB⊥平面VCD.又因為CD平面VCD，所以AB⊥CD.又因為AD＝BD，所以AC＝BC，故A正確．
又因為VC平面VCD，所以AB⊥VC，故B正確；
因為S△VCD＝VO·CD，S△ABC＝AB·CD，所以S△VCD·AB＝S△ABC·VO，故D正確．由題中條件無法判斷VC⊥VD.故選C.
4.如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則C1在底面ABC上的射影H必在(　　)

A．直線AB上
B．直線BC上
C．直線AC上
D．△ABC內(nèi)部
解析：選A.由AC⊥AB，AC⊥BC1，得AC⊥平面ABC1.
因為AC平面ABC，
所以平面ABC1⊥平面ABC.
所以C1在平面ABC上的射影H必在兩平面的交線AB上．
5.如圖，在正四面體P-ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，下面四個結(jié)論不成立的是(　　)

A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面PAE
D．平面PDE⊥平面ABC
解析：選D.因為BC∥DF，DF平面PDF，
BC平面PDF，
所以BC∥平面PDF，故選項A正確；
在正四面體中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，
且AE，PE平面PAE，
所以BC⊥平面PAE，
因為DF∥BC，所以DF⊥平面PAE，
又DF平面PDF，
從而平面PDF⊥平面PAE.
因此選項B，C均正確．
6.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是邊AB上的一個動點，則PM的最小值為________．

解析：作CH⊥AB于H，連接PH.因為PC⊥平面ABC，所以PH⊥AB，PH為PM的最小值，等于2.
答案：2
7.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是邊PC上的一動點，當(dāng)點M滿足________時，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個你認(rèn)為是正確的條件即可)

解析：

連接AC，BD，則AC⊥BD，因為PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD.又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC.所以當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時，即有PC⊥平面MBD.
而PC平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.
答案：DM⊥PC(或BM⊥PC)
8.如圖，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，AE⊥PC，AF⊥PB，給出下列結(jié)論：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中正確結(jié)論的序號是________．

解析：①AE平面PAC，BC⊥AC，BC⊥PA?AE⊥BC，故①正確；②AE⊥PC，AE⊥BC，PB平面PBC?AE⊥PB，AF⊥PB，EF平面AEF?EF⊥PB，故②正確；③若AF⊥BC?AF⊥平面PBC，則AF∥AE與已知矛盾，故③錯誤；由①可知④正確．
答案：①②④
9.如圖，在多面體ABCDPE中，四邊形ABCD和CDPE都是直角梯形，AB∥DC，PE∥DC，AD⊥DC，PD⊥平面ABCD，AB＝PD＝DA＝2PE，CD＝3PE，F(xiàn)是CE的中點．

(1)求證：BF∥平面ADP；
(2)已知O是BD的中點，求證：BD⊥平面AOF.
證明：

(1)如圖，取PD的中點為G，連接FG，AG，
因為F是CE的中點，所以FG是梯形CDPE的中位線，
因為CD＝3PE，所以FG＝2PE，
FG∥CD，因為CD∥AB，AB＝2PE，
所以AB∥FG，AB＝FG，
即四邊形ABFG是平行四邊形，
所以BF∥AG，
又BF平面ADP，AG平面ADP，
所以BF∥平面ADP.
(2)延長AO交CD于點M，連接BM，F(xiàn)M，
因為BA⊥AD，CD⊥DA，AB＝AD，O為BD的中點，
所以ABMD是正方形，則BD⊥AM，MD＝2PE.
所以FM∥PD，因為PD⊥平面ABCD，
所以FM⊥平面ABCD，所以FM⊥BD，
因為AM∩FM＝M，所以BD⊥平面AMF，
所以BD⊥平面AOF.
10．(一題多解)如圖1，在等腰梯形PDCB中，PB∥DC，PB＝3，DC＝1，∠DPB＝45°，DA⊥PB于點A，將△PAD沿AD折起，構(gòu)成如圖2所示的四棱錐P-ABCD，點M在棱PB上，且PM＝MB.
(1)求證：PD∥平面MAC；
(2)若平面PAD⊥平面ABCD，求點A到平面PBC的距離．

解：(1)證明：在四棱錐P-ABCD中，連接BD交AC于點N，連接MN，

依題意知AB∥CD，
所以△ABN∽△CDN，
所以＝＝2，
因為PM＝MB，
所以＝＝2，
所以在△BPD中，MN∥PD，
又PD平面MAC，MN平面MAC.
所以PD∥平面MAC.
(2)法一：因為平面PAD⊥平面ABCD，且兩平面相交于AD，PA⊥AD，PA平面PAD，
所以PA⊥平面ABCD，
所以VP-ABC＝S△ABC·PA＝××1＝.
因為AB＝2，AC＝＝，
所以PB＝＝，PC＝＝，BC＝＝，
所以PB2＝PC2＋BC2，故∠PCB＝90°，
記點A到平面PBC的距離為h，
所以VA-PBC＝S△PBC·h＝×h
＝h.
因為VP-ABC＝VA-PBC，
所以＝h，解得h＝.
故點A到平面PBC的距離為.
法二：

因為平面PAD⊥平面ABCD，且兩平面相交于AD，PA⊥AD，PA平面PAD，
所以PA⊥平面ABCD，
因為BC平面ABCD，
所以PA⊥BC，
因為AB＝2，AC＝＝，
BC＝＝，
所以∠ACB＝90°，即BC⊥AC，
又PA∩AC＝A，PA，AC平面PAC，
所以BC⊥平面PAC，
過點A作AE⊥PC于點E，則BC⊥AE，
因為PC∩BC＝C，PC，BC平面PBC，
所以AE⊥平面PBC，
所以點A到平面PBC的距離為AE＝＝＝.
[綜合題組練]
1.如圖，邊長為a的等邊三角形ABC的中線AF與中位線DE交于點G，已知△A′DE是△ADE繞DE旋轉(zhuǎn)過程中的一個圖形，則下列命題中正確的是(　　)

①動點A′在平面ABC上的射影在線段AF上；
②BC∥平面A′DE；
③三棱錐A′-FED的體積有最大值．
A．①　　　　　　　　　 B．①②
C．①②③ D．②③
解析：選C.①中由已知可得平面A′FG⊥平面ABC，
所以點A′在平面ABC上的射影在線段AF上．
②BC∥DE，根據(jù)線面平行的判定定理可得BC∥平面A′DE.
③當(dāng)平面A′DE⊥平面ABC時，三棱錐A′-FED的體積達(dá)到最大，故選C.
2.如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，將四邊形ADFE沿直線EF進行翻折，給出下列四個結(jié)論：①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面BDF⊥平面BCF；④平面DCF⊥平面BCF，則上述結(jié)論可能正確的是(　　)

A．①③ B．②③
C．②④ D．③④
解析：選B.對于①，因為BC∥AD，AD與DF相交但不垂直，所以BC與DF不垂直，則①不成立；對于②，設(shè)點D在平面BCF上的射影為點P，當(dāng)BP⊥CF時就有BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4可使條件滿足，所以②正確；對于③，當(dāng)點D在平面BCF上的射影P落在BF上時，DP平面BDF，從而平面BDF⊥平面BCF，所以③正確；對于④，因為點D在平面BCF上的射影不可能在FC上，所以④不成立．
3．在矩形ABCD中，AB＜BC，現(xiàn)將△ABD沿矩形的對角線BD所在的直線進行翻折，在翻折的過程中，給出下列結(jié)論：
①存在某個位置，使得直線AC與直線BD垂直；
②存在某個位置，使得直線AB與直線CD垂直；
③存在某個位置，使得直線AD與直線BC垂直．
其中正確結(jié)論的序號是________．(寫出所有正確結(jié)論的序號)
解析：①假設(shè)AC與BD垂直，過點A作AE⊥BD于點E，連接CE.則?BD⊥平面AEC?BD⊥CE，而在平面BCD中，EC與BD不垂直，故假設(shè)不成立，①錯．
②假設(shè)AB⊥CD，因為AB⊥AD，所以AB⊥平面ACD，所以AB⊥AC，由AB＜BC可知，存在這樣的等腰直角三角形，使AB⊥CD，故假設(shè)成立，②正確．
③假設(shè)AD⊥BC，
因為DC⊥BC，所以BC⊥平面ADC，
所以BC⊥AC，即△ABC為直角三角形，且AB為斜邊，而AB＜BC，故矛盾，假設(shè)不成立，③錯．綜上，填②.
答案：②
4．如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱長為2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中點，F(xiàn)是BB1上的動點，AB1，DF交于點E.要使AB1⊥平面C1DF，則線段B1F的長為________．
解析：設(shè)B1F＝x，因為AB1⊥平面C1DF，DF平面C1DF，所以AB1⊥DF.
由已知可以得A1B1＝，
設(shè)Rt△AA1B1斜邊AB1上的高為h，則DE＝h，
又2×＝h×，
所以h＝，DE＝.
在Rt△DB1E中，B1E＝＝.
由面積相等得× ＝x，得x＝.即線段B1F的長為.
答案：
5．(2020·河南鄭州第二次質(zhì)量預(yù)測)如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD＝，△PAD是等邊三角形，F(xiàn)為AD的中點，PD⊥BF.

(1)求證：AD⊥PB；
(2)若E在線段BC上，且EC＝BC，能否在棱PC上找到一點G，使平面DEG⊥平面ABCD？若存在，求出三棱錐D－CEG的體積；若不存在，請說明理由．
解：(1)證明：連接PF，因為△PAD是等邊三角形，F(xiàn)是AD的中點，所以PF⊥AD.
因為底面ABCD是菱形，∠BAD＝，所以BF⊥AD.
又PF∩BF＝F，所以AD⊥平面BFP，又PB平面BFP，
所以AD⊥PB.

(2)能在棱PC上找到一點G，使平面DEG⊥平面ABCD.
由(1)知AD⊥BF，因為PD⊥BF，AD∩PD＝D，所以BF⊥平面PAD.
又BF平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面PAD，
又平面ABCD∩平面PAD＝AD，且PF⊥AD，所以PF⊥平面ABCD.
連接CF交DE于點H，過H作HG∥PF交PC于點G，所以GH⊥平面ABCD.
又GH平面DEG，所以平面DEG⊥平面ABCD.
因為AD∥BC，所以△DFH∽△ECH，所以＝＝，
所以＝＝，
所以GH＝PF＝，
所以VD－CEG＝VG－CDE＝S△CDE·GH＝×DC·CE·sin ·GH＝.
6．如圖(1)，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D為AC的中點，AE⊥BD于點E(不同于點D)，延長AE交BC于點F，將△ABD沿BD折起，得到三棱錐A1-BCD，如圖(2)所示．

(1)若M是FC的中點，求證：直線DM∥平面A1EF；
(2)求證：BD⊥A1F；
(3)若平面A1BD⊥平面BCD，試判斷直線A1B與直線CD能否垂直？并說明理由．
解：(1)證明：因為D，M分別為AC，F(xiàn)C的中點，
所以DM∥EF，
又EF平面A1EF，DM平面A1EF，
所以DM∥平面A1EF.
(2)證明：因為A1E⊥BD，EF⊥BD且A1E∩EF＝E，
所以BD⊥平面A1EF.
又A1F平面A1EF，
所以BD⊥A1F.
(3)直線A1B與直線CD不能垂直．理由如下：
因為平面A1BD⊥平面BCD，平面A1BD∩平面BCD＝BD，EF⊥BD，EF?平面BCD，
所以EF⊥平面A1BD.
因為A1B平面A1BD，
所以A1B⊥EF，
又因為EF∥DM，所以A1B⊥DM.
假設(shè)A1B⊥CD，
因為CD∩DM＝D，
所以A1B⊥平面BCD，
所以A1B⊥BD，
這與∠A1BD為銳角矛盾，
所以直線A1B與直線CD不能垂直．




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