一、知識(shí)梳理
1．函數(shù)的單調(diào)性
(1)單調(diào)函數(shù)的定義

增函數(shù)
減函數(shù)
定義
在函數(shù)y＝f(x)的定義域內(nèi)的一個(gè)區(qū)間A上，如果對(duì)于任意兩數(shù)x1，x2∈A
當(dāng)x1a
C．a(chǎn)>c>b D．b>a>c
【解析】　因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱(chēng)．
所以f＝f.當(dāng)x2>x1>1時(shí)，
[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)c.
【答案】　D
角度二　解函數(shù)不等式
已知函數(shù)f(x)＝若f(2－x2)>f(x)，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是(　　)
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)　 B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．(－1，2) D．(－2，1)
【解析】　因?yàn)楫?dāng)x＝0時(shí)，兩個(gè)表達(dá)式對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都為零，所以函數(shù)f(x)的圖象是一條連續(xù)的曲線．
因?yàn)楫?dāng)x≤0時(shí)，函數(shù)f(x)＝x3為增函數(shù)，
當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝ln(x＋1)也是增函數(shù)，
所以函數(shù)f(x)是定義在R上的增函數(shù)．
因此，不等式f(2－x2)>f(x)等價(jià)于2－x2>x，
即x2＋x－20，解得m>0.綜上可得，m的取值范圍是(0，1]．
2．已知函數(shù)f(x)＝log2x＋，若x1∈(1，2)，x2∈(2，＋∞)，則(　　)
A．f(x1)0
解析：選B.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝log2x＋在(1，＋∞)上為增函數(shù)，且f(2)＝0，所以當(dāng)x1∈(1，2)時(shí)，f(x1)f(2)＝0，
即f(x1)0.故選B.
3．設(shè)f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，則a的取值范圍為_(kāi)_______．
解析：因?yàn)楫?dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝(x－a)2，f(0)是f(x)的最小值，所以a≥0.當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝x＋＋a≥2＋a，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取“＝”．要滿足f(0)是f(x)的最小值，需2＋a≥f(0)＝a2，即a2－a－2≤0，解得－1≤a≤2，
所以a的取值范圍是0≤a≤2.
答案：[0，2]
4．如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間I上是增函數(shù)，且函數(shù)y＝在區(qū)間I上是減函數(shù)，那么稱(chēng)函數(shù)y＝f(x)是區(qū)間I上的“緩增函數(shù)”，區(qū)間I叫做“緩增區(qū)間”．若函數(shù)f(x)＝x2－x＋是區(qū)間I上的“緩增函數(shù)”，則“緩增區(qū)間”I為_(kāi)_______．
解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x2－x＋的對(duì)稱(chēng)軸為x＝1，所以函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)，又當(dāng)x≥1時(shí)，＝x－1＋，令g(x)＝x－1＋(x≥1)，則g′(x)＝－＝，
由g′(x)≤0得1≤x≤，即函數(shù)＝x－1＋在區(qū)間[1， ]上遞減，故“緩增區(qū)間”I為[1， ]．
答案：[1， ]
5．已知函數(shù)f(x)＝x2＋a|x－2|－4.
(1)當(dāng)a＝2時(shí)，求f(x)在[0，3]上的最大值和最小值；
(2)若f(x)在區(qū)間[－1，＋∞)上是增加的，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解：(1)當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)＝x2＋2|x－2|－4＝＝，
當(dāng)x∈[0，2)時(shí)，－1≤f(x)0時(shí)，f(x)>－1.
(1)求f(0)的值，并證明f(x)在R上是增函數(shù)；
(2)若f(1)＝1，解關(guān)于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4.
解：(1)令x＝y(tǒng)＝0，得f(0)＝－1.
在R上任取x1>x2，則x1－x2>0，f(x1－x2)>－1.
又f(x1)＝f[(x1－x2)＋x2]＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1>f(x2)，所以函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)．
(2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5.
由f(x2＋2x)＋f(1－x)>4得f(x2＋x＋1)>f(3)，
又函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，故x2＋x＋1>3，
解得x1，
故原不等式的解集為{x|x1}．





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