一、知識梳理
1．直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理

文字語言
圖形語言
符號語言
判定定理
平面外一條直線與這個平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(線線平行?線面平行)

因為l∥a，
aα，lα，所以l∥α
性質(zhì)定理
一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡記為“線面平行?線線平行”)

因為l∥α，lβ，
α∩β＝b，
所以l∥b
2.平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理


文字語言
圖形語言
符號語言
判定定理
一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行(簡記為“線面平行?面面平行”)

因為a∥β，b∥β，
a∩b＝P，
aα，bα，
所以α∥β
性質(zhì)定理
如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行

因為α∥β，α∩γ＝a，
β∩γ＝b，
所以a∥b

常用結(jié)論
牢記線面平行、面面平行的七個重要結(jié)論
(1)垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.
(2)垂直于同一個平面的兩條直線平行，即若a⊥α，b⊥α，則a∥b.
(3)夾在兩個平行平面之間的平行線段長度相等．
(4)經(jīng)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行．
(5)兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應(yīng)線段成比例．
(6)如果兩個平面分別平行于第三個平面，那么這兩個平面互相平行．
(7)如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條直線，那么這兩個平面平行．

二、教材衍化
1．下列命題中正確的是(　　)
A．若a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面
B．若直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內(nèi)的任何直線平行
C．平行于同一條直線的兩個平面平行
D．若直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，bα，則b∥α
解析：選D.A錯誤，a可能在經(jīng)過b的平面內(nèi)；B錯誤，a與α內(nèi)的直線平行或異面；C錯誤，兩個平面可能相交；D正確，由a∥α，可得a平行于經(jīng)過直線a的平面與α的交線c，即a∥c，又a∥b，所以b∥c，b?α，cα，所以b∥α.
2．平面α∥平面β的一個充分條件是(　　)
A．存在一條直線a，a∥α，a∥β
B．存在一條直線a，aα，a∥β
C．存在兩條平行直線a，b，aα，bβ，a∥β，b∥α
D．存在兩條異面直線a，b，aα，bβ，a∥β，b∥α
解析：選D.若α∩β＝l，a∥l，a?α，a?β，a∥α，a∥β，故排除A.若α∩β＝l，aα，a∥l，則a∥β，故排除B.若α∩β＝l，aα，a∥l，bβ，b∥l，則a∥β，b∥α，故排除C.
3．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為DD1的中點，則BD1與平面AEC的位置關(guān)系為________．

解析：連接BD，設(shè)BD∩AC＝O，連接EO，

在△BDD1中，E為DD1的中點，O為BD的中點，
所以EO為△BDD1的中位線，則BD1∥EO，
而BD1平面ACE，EO平面ACE，
所以BD1∥平面ACE.
答案：平行

一、思考辨析
判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)若一條直線平行于一個平面內(nèi)的一條直線，則這條直線平行于這個平面．(　　)
(2)若一條直線平行于一個平面，則這條直線平行于這個平面內(nèi)的任一條直線．(　　)
(3)如果一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行．(　　)
(4)如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內(nèi)的兩條直線平行或異面．(　　)
(5)若直線a與平面α內(nèi)無數(shù)條直線平行，則a∥α.(　　)
(6)若α∥β，直線a∥α，則a∥β.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×　(6)×
二、易錯糾偏
(1)對空間平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化條件理解不夠致誤；
(2)對面面平行判定定理的條件“平面內(nèi)兩相交直線”認識不清致誤；
(3)對面面平行性質(zhì)定理理解不深致誤．
1．若平面α∥平面β，直線a∥平面α，點B∈β，則在平面β內(nèi)且過B點的所有直線中(　　)
A．不一定存在與a平行的直線
B．只有兩條與a平行的直線
C．存在無數(shù)條與a平行的直線
D．存在唯一的與a平行的直線
解析：選A.當直線a在平面β內(nèi)且過B點時，不存在與a平行的直線．故選A.
2．下列條件中，能判斷兩個平面平行的是________．
①一個平面內(nèi)的一條直線平行于另一個平面；
②一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面；
③一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一個平面；
④一個平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個平面．
解析：由兩個平面平行的判定定理可知，如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另外一個平面平行，那么這兩個平面平行．顯然只有④符合條件．
答案：④
3．如圖是長方體被一平面所截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形狀為________．

解析：因為平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，所以EF∥HG.同理EH∥FG，所以四邊形EFGH是平行四邊形．
答案：平行四邊形



　　　　　　線面平行的判定與性質(zhì)(多維探究)



角度一　直線與平面平行的判定
如圖所示，斜三棱柱ABC-A1B1C1中，點D，D1分別為AC，A1C1的中點．
(1)證明：AD1∥平面BDC1；
(2)證明：BD∥平面AB1D1.

【證明】　(1)因為D1，D分別為A1C1，AC的中點，
四邊形ACC1A1為平行四邊形，所以C1D1綊DA，
所以四邊形ADC1D1為平行四邊形，所以AD1∥C1D，
又AD1平面BDC1，C1D平面BDC1，
所以AD1∥平面BDC1.
(2)連接D1D，

因為BB1∥平面ACC1A1，BB1平面BB1D1D，平面ACC1A1∩平面BB1D1D＝D1D，
所以BB1∥D1D，
又因為D1，D分別為A1C1，AC的中點，所以DD1綊AA1，
所以BB1＝AA1＝DD1，
故四邊形BDD1B1為平行四邊形，
所以BD∥B1D1，
又BD平面AB1D1，B1D1平面AB1D1，
所以BD∥平面AB1D1.
角度二　直線與平面平行的性質(zhì)
如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為8的正方形，四條側(cè)棱長均為2，點G，E，F(xiàn)，H分別是棱PB，AB，CD，PC上共面的四點，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.
(1)證明：GH∥EF；
(2)若EB＝2，求四邊形GEFH的面積．

【解】　(1)證明：因為BC∥平面GEFH，BC平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC.
同理可證EF∥BC，
因此GH∥EF.
(2)連接AC，BD交于點O，BD交EF于點K，連接OP，GK.
因為PA＝PC，O是AC的中點，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD.
又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面ABCD內(nèi)，所以PO⊥底面ABCD.又因為平面GEFH⊥平面ABCD，且PO平面GEFH，
所以PO∥平面GEFH.
因為平面PBD∩平面GEFH＝GK，
所以PO∥GK，所以GK⊥底面ABCD，
從而GK⊥EF.
所以GK是梯形GEFH的高．
由AB＝8，EB＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，
從而KB＝DB＝OB，即K為OB的中點．

再由PO∥GK得GK＝PO，且G是PB的中點，所以GH＝BC＝4.
由已知可得OB＝4，PO＝＝＝6，
所以GK＝3.
易得EF＝BC＝8，
故四邊形GEFH的面積S＝·GK＝×3＝18.

判斷或證明線面平行的常用方法
(1)利用線面平行的定義(無公共點)．
(2)利用線面平行的判定定理(aα，bα，a∥b?a∥α)．
(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(α∥β，aα?a∥β)．
(4)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，aα，aβ，a∥α?a∥β)．　

1．如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是(　　)

解析：選A.對于選項B，如圖所示，連接CD，因為AB∥CD，M，Q分別是所在棱的中點，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.同理可證選項C，D中均有AB∥平面MNQ.故選A.

2．如圖，四棱錐P-ABCD中AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F(xiàn)，H分別為線段AD，PC，CD的中點，AC與BE交于O點，G是線段OF上一點．
(1)求證：AP∥平面BEF；
(2)求證：GH∥平面PAD.
證明：(1)連接EC，因為AD∥BC，BC＝AD，

所以BC綊AE，
所以四邊形ABCE是平行四邊形，所以O(shè)為AC的中點．
又因為F是PC的中點，
所以FO∥AP，
FO平面BEF，AP平面BEF，
所以AP∥平面BEF.
(2)連接FH，OH，因為F，H分別是PC，CD的中點，
所以FH∥PD，所以FH∥平面PAD.
又因為O是BE的中點，H是CD的中點，
所以O(shè)H∥AD，所以O(shè)H∥平面PAD.
又FH∩OH＝H，
所以平面OHF∥平面PAD.
又因為GH平面OHF，
所以GH∥平面PAD.

　　　　　　面面平行的判定與性質(zhì)(典例遷移)
如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點，求證：

(1)B，C，H，G四點共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
【證明】　(1)因為G，H分別是A1B1，A1C1的中點，
所以GH∥B1C1，又B1C1∥BC，
所以GH∥BC，所以B，C，H，G四點共面．
(2)在△ABC中，E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，
所以EF∥BC，
因為EF平面BCHG，BC平面BCHG，
所以EF∥平面BCHG.
又因為G，E分別為A1B1，AB的中點，
所以A1G綊EB，所以四邊形A1EBG是平行四邊形，
所以A1E∥GB.
因為A1E平面BCHG，GB平面BCHG，
所以A1E∥平面BCHG.
又因為A1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG.
【遷移探究1】　(變條件)在本例條件下，若D為BC1的中點，求證：HD∥平面A1B1BA.

證明：如圖所示，連接HD，A1B，
因為D為BC1的中點，
H為A1C1的中點，
所以HD∥A1B，
又HD平面A1B1BA，
A1B平面A1B1BA，
所以HD∥平面A1B1BA.
【遷移探究2】　(變條件)在本例條件下，若D1，D分別為B1C1，BC的中點，求證：平面A1BD1∥平面AC1D.
證明：如圖所示，

連接A1C交AC1于點M，
因為四邊形A1ACC1是平行四邊形，
所以M是A1C的中點，連接MD，
因為D為BC的中點，
所以A1B∥DM.
因為A1B平面A1BD1，
DM平面A1BD1，
所以DM∥平面A1BD1.
又由三棱柱的性質(zhì)知，D1C1綊BD，
所以四邊形BDC1D1為平行四邊形，
所以DC1∥BD1.
又DC1平面A1BD1，BD1平面A1BD1，
所以DC1∥平面A1BD1，
又因為DC1∩DM＝D，DC1，DM平面AC1D，
所以平面A1BD1∥平面AC1D.

證明面面平行的常用方法
(1)面面平行的定義．
(2)面面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行．
(3)利用垂直于同一條直線的兩個平面平行．
(4)如果兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行．
(5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化進行證明．　

1.如圖，AB∥平面α∥平面β，過A，B的直線m，n分別交α，β于C，E和D，F(xiàn)，若AC＝2，CE＝3，BF＝4，則BD的長為(　　)
A.　　　　　　　　　 B．
C. D．
解析：選C.由AB∥α∥β，易證 ＝.即＝，
所以BD＝＝＝.
2.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中點，E，F(xiàn)，G分別是BC，DC，SC的中點，求證：

(1)直線EG∥平面BDD1B1；
(2)平面EFG∥平面BDD1B1.
證明：(1)如圖，連接SB，
因為E，G分別是BC，SC的中點，
所以EG∥SB.

又因為SB平面BDD1B1，
EG平面BDD1B1，
所以直線EG∥平面BDD1B1.
(2)連接SD，
因為F，G分別是DC，SC的中點，
所以FG∥SD.
又因為SD平面BDD1B1，F(xiàn)G平面BDD1B1，
所以FG∥平面BDD1B1，又EG平面EFG，
FG平面EFG，EG∩FG＝G，
所以平面EFG∥平面BDD1B1.

　　　　　　平行關(guān)系中的探索性問題(師生共研)
如圖，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中，點D，D1分別為AC，A1C1上的點．

(1)當?shù)扔诤沃禃r，BC1∥平面AB1D1?
(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值．
【解】　(1)

如圖，取D1為線段A1C1的中點，此時＝1，
連接A1B交AB1于點O，連接OD1.
由棱柱的性質(zhì)，知四邊形A1ABB1為平行四邊形，
所以點O為A1B的中點．
在△A1BC1中，點O，D1分別為A1B，A1C1的中點，
所以O(shè)D1∥BC1.
又因為OD1平面AB1D1，BC1平面AB1D1，
所以BC1∥平面AB1D1.
所以當＝1時，BC1∥平面AB1D1.
(2)由已知，平面BC1D∥平面AB1D1，
且平面A1BC1∩平面BDC1＝BC1，
平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O.
因此BC1∥D1O，同理AD1∥DC1.
因為＝，＝.
又因為＝1，所以＝1，即＝1.

解決探索性問題的方法
(1)根據(jù)探索性問題的設(shè)問，假設(shè)其存在并探索出結(jié)論，然后在這個假設(shè)下進行推理論證，若得到合乎情理的結(jié)論就肯定假設(shè)，若得到矛盾就否定假設(shè)．
(2)按類似于分析法的格式書寫步驟：從結(jié)論出發(fā)“要使……成立”“只需使……成立”．　
　(一題多解)如圖，四棱錐E-ABCD，平面ABCD⊥平面ABE，四邊形ABCD為矩形，AD＝6，AB＝5，BE＝3，F(xiàn)為CE上的點，且BF⊥平面ACE.

(1)求證：AE⊥BE；
(2)設(shè)M在線段DE上，且滿足EM＝2MD，試在線段AB上確定一點N，使得MN∥平面BCE，并求MN的長．
解：(1)證明：因為四邊形ABCD為矩形，所以BC⊥AB.
因為平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE＝AB，且BC平面ABCD，所以BC⊥平面ABE.
又AE平面ABE，所以BC⊥AE.
因為BF⊥平面ACE，AE平面ACE，
所以BF⊥AE.
又因為BC∩BF＝B，BC平面BCE，BF平面BCE，
所以AE⊥平面BCE，
因為BE平面BCE，
所以AE⊥BE.

(2)法一：如圖，在△ADE中過M點作MG∥AD交AE于G點，在△ABE中過G點作GN∥BE交AB于N點，連接MN，
因為NG∥BE，NG平面BCE，BE平面BCE，
所以NG∥平面BCE.
同理可證，GM∥平面BCE.
因為MG∩GN＝G，
所以平面MGN∥平面BCE，
又因為MN平面MGN，
所以MN∥平面BCE，
因為N點為線段AB上靠近A點的一個三等分點，
AD＝6，AB＝5，BE＝3，
所以MG＝AD＝4，NG＝BE＝1，
所以MN＝＝＝.
法二：如圖，過M點作MG∥CD交CE于G點，連接BG，在AB上取N點，使得BN＝MG，連接MN，
因為MG∥CD，EM＝2MD，
所以MG＝CD，
因為AB∥CD，BN＝MG，
所以四邊形MGBN是平行四邊形，
所以MN∥BG，
又因為MN平面BCE，BG平面BCE，

所以MN∥平面BCE，
又MG＝CD，MG＝BN，所以BN＝AB，
所以N點為線段AB上靠近A點的一個三等分點．
在△CBG中，因為BC＝AD＝6，CG＝CE＝＝，cos∠BCG＝，
所以BG2＝36＋5－2×6××＝17，
所以MN＝BG＝.

[基礎(chǔ)題組練]
1．(2020·河北衡水模擬一)已知m，n為兩條不重合直線，α，β為兩個不重合平面，下列條件中，α∥β的充分條件是(　　)
A．m∥n，mα，nβ B．m∥n，m⊥α，n⊥β
C．m⊥n，m∥α，n∥β D．m⊥n，m⊥α，n⊥β
解析：選B.對于A，兩個平面內(nèi)分別有一條直線，這兩條直線互相平行，這兩個平面可能平行， 也可能相交，因此A中條件不是α∥β的充分條件；對于B，因為m∥n，m⊥α，所以n⊥α，結(jié)合n⊥β，知α∥β，因此B中條件是α∥β的充分條件；對于C，由m⊥n，m∥α知nα，或n∥α，或n與α相交，結(jié)合n∥β，知α，β可能平行，也可能相交，所以C中條件不是α∥β的充分條件；對于D，由m⊥n，m⊥α知nα，或n∥α，結(jié)合n⊥β，知α⊥β，所以D中條件不是α∥β的充分條件．綜上可知．選B.
2．(2020·江西紅色七校聯(lián)考)設(shè)m，n是空間中兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列說法正確的是(　　)
A．若m∥n，nα，則m∥α
B．若mα，nβ，α∥β，則m∥n
C．若α∥β，m⊥α，則m⊥β
D．若mα，nβ，m∥β，n∥α，則α∥β
解析：選C.若m∥n，nα，則m∥α或mα，所以選項A不正確；若mα，nβ，α∥β，則m∥n或m與n異面，所以選項B不正確；若mα，nβ，m∥β，n∥α，則α∥β或α與β相交，所以選項D不正確．故選C.
3．(2020·湖南長沙模擬)設(shè)a，b，c表示不同直線，α，β表示不同平面，下列命題：
①若a∥c，b∥c，則a∥b；
②若a∥b，b∥α，則a∥α；
③若a∥α，b∥α，則a∥b；
④若aα，bβ，α∥β，則a∥b.
其中真命題的個數(shù)是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：選A.由題意，對于①，根據(jù)線線平行的傳遞性可知①是真命題；對于②，根據(jù)a∥b，b∥α，可以推出a∥α或aα，故②是假命題；對于③，根據(jù)a∥α，b∥α，可以推出a與b平行，相交或異面，故③是假命題；對于④，根據(jù)aα，bβ，α∥β，可以推出a∥b或a與b異面，故④是假命題．所以真命題的個數(shù)是1.故選A.
4.如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，AD上的點，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分別為BC，CD的中點，則(　　)

A．BD∥平面EFGH，且四邊形EFGH是矩形
B．EF∥平面BCD，且四邊形EFGH是梯形
C．HG∥平面ABD，且四邊形EFGH是菱形
D．EH∥平面ADC，且四邊形EFGH是平行四邊形
解析：選B.由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知EF綊BD，又EF平面BCD，所以EF∥平面BCD.又H，G分別為BC，CD的中點，所以HG綊BD，所以EF∥HG且EF≠HG.所以四邊形EFGH是梯形．
5.

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是A1B1，B1C1，BB1的中點，給出下列四個推斷：
①FG∥平面AA1D1D；
②EF∥平面BC1D1；
③FG∥平面BC1D1；
④平面EFG∥平面BC1D1.
其中推斷正確的序號是(　　)
A．①③　　 B．①④
C．②③　　 D．②④
解析：選A.因為在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是A1B1，B1C1，BB1的中點，所以FG∥BC1，因為BC1∥AD1，所以FG∥AD1，
因為FG?平面AA1D1D，AD1?平面AA1D1D，所以FG∥平面AA1D1D，故①正確；
因為EF∥A1C1，A1C1與平面BC1D1相交，所以EF與平面BC1D1相交，故②錯誤；
因為E，F(xiàn)，G分別是A1B1，B1C1，BB1的中點，
所以FG∥BC1，因為FG平面BC1D1，BC1平面BC1D1，
所以FG∥平面BC1D1，故③正確；
因為EF與平面BC1D1相交，所以平面EFG與平面BC1D1相交，故④錯誤．故選A.
6．在四面體A-BCD中，M，N分別是△ACD，△BCD的重心，則四面體的四個面中與MN平行的是________．
解析：如圖，取CD的中點E，連接AE，BE，

則EM∶MA＝1∶2，
EN∶BN＝1∶2，
所以MN∥AB.
因為AB平面ABD，MN平面ABD，AB平面ABC，MN平面ABC，
所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC.
答案：平面ABD與平面ABC

7．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，點E為AD的中點，點F在CD上．若EF∥平面AB1C，則線段EF的長度等于________．

解析：因為EF∥平面AB1C，EF平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，
所以EF∥AC，所以點F為DC的中點．
故EF＝AC＝.
答案：
8.如圖所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中點，N是 BC的中點，點M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運動，則M只需滿足條件________時，就有MN∥平面B1BDD1.(注：請?zhí)钌夏阏J為正確的一個條件即可，不必考慮全部可能情況)

解析：連接HN，F(xiàn)H，F(xiàn)N，則FH∥DD1，HN∥BD，F(xiàn)H∩HN＝H，DD1∩BD＝D，
所以平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，則MN平面FHN，所以MN∥平面B1BDD1.
答案：點M在線段FH上(或點M與點H重合)
9.在如圖所示的一塊木料中，棱BC平行于平面A′B′C′D′.

(1)要經(jīng)過平面A′B′C′D′內(nèi)的一點P和棱BC將木料鋸開，應(yīng)怎樣畫線？
(2)所畫的線與平面ABCD是什么位置關(guān)系？并證明你的結(jié)論．
解：(1)過點P作B′C′的平行線，
交A′B′，C′D′于點E，F(xiàn)，
連接BE，CF.
作圖如下：

(2)EF∥平面ABCD.理由如下：
因為BC∥平面A′B′C′D′，
又因為平面B′C′CB∩平面A′B′C′D′＝B′C′，
所以BC∥B′C′，因為EF∥B′C′，所以EF∥BC，
又因為EF平面ABCD，BC平面ABCD，
所以EF∥平面ABCD.
10．如圖所示，四邊形ABCD與四邊形ADEF都為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點．求證：

(1)BE∥平面DMF；
(2)平面BDE∥平面MNG.
證明：(1)如圖所示，設(shè)DF與GN交于點O，連接AE，則AE必過點O，

連接MO，則MO為△ABE的中位線，
所以BE∥MO.
因為BE平面DMF，MO平面DMF，
所以BE∥平面DMF.
(2)因為N，G分別為平行四邊形ADEF的邊AD，EF的中點，
所以DE∥GN.
因為DE平面MNG，GN平面MNG，
所以DE∥平面MNG.
因為M為AB的中點，
所以MN為△ABD的中位線，
所以BD∥MN.
因為BD平面MNG，MN平面MNG，
所以BD∥平面MNG.
因為DE與BD為平面BDE內(nèi)的兩條相交直線，
所以平面BDE∥平面MNG.
[綜合題組練]
1．如圖，透明塑料制成的長方體容器ABCD-A1B1C1D1內(nèi)灌進一些水，固定容器底面一邊BC于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下面四個命題：

①沒有水的部分始終呈棱柱形；
②水面EFGH所在四邊形的面積為定值；
③棱A1D1始終與水面所在的平面平行；
④當容器傾斜如圖所示時，BE·BF是定值．
其中正確的個數(shù)是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：選C.由題圖，顯然①是正確的，②是錯的；
對于③因為A1D1∥BC，BC∥FG，
所以A1D1∥FG且A1D1平面EFGH，
所以A1D1∥平面EFGH(水面)．
所以③是正確的；
因為水是定量的(定體積V)．
所以S△BEF·BC＝V，
即BE·BF·BC＝V.
所以BE·BF＝(定值)，即④是正確的，故選C.
2.(2020·江西吉安一模)如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是A1D1，A1B1的中點，過直線BD的平面α∥平面AMN，則平面α截該正方體所得截面的面積為(　　)

A. B．
C. D．
解析：選B.如圖1，取B1C1的中點E，C1D1的中點F，連接EF，BE，DF，B1D1，則EF∥B1D1，B1D1∥BD，所以EF∥BD，故EF，BD在同一平面內(nèi)，連接ME，因為M，E分別為A1D1，B1C1的中點，所以ME∥AB，且ME＝AB，所以四邊形ABEM是平行四邊形，所以AM∥BE，又因為BE平面BDFE，
AM平面BDFE，
所以AM∥平面BDFE，同理AN∥平面BDFE，因為AM∩AN＝A，
所以平面AMN∥平面BDFE，
BD＝，EF＝B1D1＝，DF＝BE＝，等腰梯形BDFE如圖2，

過E，F(xiàn)作BD的垂線，垂足分別為G，H，則四邊形EFGH為矩形，所以FG＝＝＝，
故所得截面的面積為××＝，故選B.
3．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N，Q分別是棱D1C1，A1D1，BC的中點，點P在BD1上且BP＝BD1.則以下四個說法：
①MN∥平面APC；
②C1Q∥平面APC；
③A，P，M三點共線；
④平面MNQ∥平面APC.
其中說法正確的是________(填序號)．
解析：

①連接MN，AC，則MN∥AC，連接AM，CN，
易得AM，CN交于點P，即MN平面APC，所以MN∥平面APC是錯誤的；
②由①知M，N在平面APC上，由題易知AN∥C1Q，AN平面APC，
所以C1Q∥平面APC是正確的；
③由①知A，P，M三點共線是正確的；
④由①知MN平面APC，
又MN平面MNQ，
所以平面MNQ∥平面APC是錯誤的．
答案：②③
4.如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，點P是棱AD上一點，且AP＝，過B1，D1，P的平面交底面ABCD于PQ，Q在直線CD上，則PQ＝________．

解析：因為平面A1B1C1D1∥平面ABCD，而平面B1D1P∩平面ABCD＝PQ，平面B1D1P∩平面A1B1C1D1＝B1D1，
所以B1D1∥PQ.
又因為B1D1∥BD，所以BD∥PQ，
設(shè)PQ∩AB＝M，因為AB∥CD，
所以△APM∽△DPQ.

所以＝＝2，即PQ＝2PM.
又知△APM∽△ADB，
所以＝＝，
所以PM＝BD，又BD＝a，
所以PQ＝a.
答案：a
5.如圖，在四棱錐P-ABCD的底面ABCD中，BC∥AD，且AD＝2BC，O，E分別為AD，PD的中點．

(1)設(shè)平面PAB∩平面PCD＝l，請作圖確定l的位置并說明你的理由；
(2)若Q為直線CE上任意一點，證明：OQ∥平面PAB.

解：(1)分別延長AB和DC交于點R，連接PR，則直線PR就是l的位置；
R∈AB平面PAB，R∈CD平面PCD，
所以P、R是平面PAB和平面PCD的兩個公共點，
由公理1可知，過P、R的直線就是兩個平面的交線l.
(2)證明：連接OE、OC，因為BC∥AD，且BC＝AD，
又AO＝AD，所以BC∥AO，
且BC＝AO，所以四邊形ABCO為平行四邊形，
所以O(shè)C∥AB，則OC∥平面PAB；
又OE為△PAD的中位線，則OE∥AP，
所以O(shè)E∥平面PAB，
又OE平面OEC，OC平面OEC，且OE∩OC＝O，
所以平面PAB∥平面OEC，
又OQ平面OEC，
所以O(shè)Q∥平面PAB.
6．如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．

(1)證明：平面A1BD∥平面CD1B1；
(2)若平面ABCD∩平面B1D1C＝直線l，證明B1D1∥l.
證明：(1)由題設(shè)知BB1綊DD1，
所以四邊形BB1D1D是平行四邊形，
所以BD∥B1D1.
又BD平面CD1B1，
B1D1平面CD1B1，
所以BD∥平面CD1B1.
因為A1D1綊B1C1綊BC，
所以四邊形A1BCD1是平行四邊形，
所以A1B∥D1C.
又A1B平面CD1B1，
D1C平面CD1B1，
所以A1B∥平面CD1B1.
又因為BD∩A1B＝B，
所以平面A1BD∥平面CD1B1.
(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，
又平面ABCD∩平面B1D1C＝直線l，
平面ABCD∩平面A1BD＝直線BD，
所以直線l∥直線BD，
在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四邊形BDD1B1為平行四邊形，
所以B1D1∥BD，
所以B1D1∥l.







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