一、知識(shí)梳理
1．空間向量的有關(guān)定理
(1)共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb．
(2)共面向量定理：如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb．
(3)空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc．其中{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底．
2．兩個(gè)向量的數(shù)量積(與平面向量基本相同)
(1)兩向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間中任取一點(diǎn)O，作＝a，＝b，則∠AOB叫做向量a與b的夾角，記作〈a，b〉．通常規(guī)定0≤〈a，b〉≤π．若〈a，b〉＝，則稱向量a，b互相垂直，記作a⊥b.
(2)兩向量的數(shù)量積
兩個(gè)非零向量a，b的數(shù)量積a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(3)向量的數(shù)量積的性質(zhì)
①a·e＝|a|cos〈a，e〉(其中e為單位向量)；
②a⊥b?a·b＝0；
③|a|2＝a·a＝a2；
④|a·b|≤|a||b|.
(4)向量的數(shù)量積滿足如下運(yùn)算律
①(λa)·b＝λ(a·b)；
②a·b＝b·a(交換律)；
③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．
3．空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算
(1)設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，
λa＝(λa1，λa2，λa3)，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3，
a⊥b?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0，
a∥b?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，
cos〈a，b〉＝＝ .
(2)設(shè)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，
則＝－＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．
4．直線的方向向量與平面的法向量的確定
(1)直線的方向向量：l是空間一直線，A，B是直線l上任意兩點(diǎn)，則稱為直線l的方向向量，與平行的任意非零向量也是直線l的方向向量，顯然一條直線的方向向量可以有無(wú)數(shù)個(gè)．
(2)平面的法向量
①定義：與平面垂直的向量，稱做平面的法向量．一個(gè)平面的法向量有無(wú)數(shù)多個(gè)，任意兩個(gè)都是共線向量．
②確定：設(shè)a，b是平面α內(nèi)兩不共線向量，n為平面α的法向量，則求法向量的方程組為
5．空間位置關(guān)系的向量表示

位置關(guān)系
向量表示
直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2
l1∥l2
n1∥n2?n1＝λn2
l1⊥l2
n1⊥n2?n1·n2＝0
直線l的方向向量為n，平面α的法向量為m
l∥α
n⊥m?n·m＝0
l⊥α
n∥m?n＝λm
平面α，β的法向量分別為n，m
α∥β
n∥m?n＝λm
α⊥β
n⊥m?n·m＝0

常用結(jié)論
1．向量三點(diǎn)共線定理
在平面中A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)．
2．向量四點(diǎn)共面定理
在空間中P，A，B，C四點(diǎn)共面的充要條件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O為空間任意一點(diǎn)．
二、教材衍化
1.如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點(diǎn)．若＝a，＝b，＝c，則＝________(用a，b，c表示)．

解析：＝＋＝＋(－)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.
答案：－a＋b＋c
2．正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，則EF的長(zhǎng)為_(kāi)_______．
解析：||2＝2＝(＋＋)2
＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)
＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)
＝2，
所以||＝，所以EF的長(zhǎng)為.
答案：
3．如圖所示，

在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點(diǎn)，N是A1B1的中點(diǎn)，則直線ON，AM的位置關(guān)系是________．
解析：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)DA＝2，則A(2，0，0)，M(0，0，1)，O(1，1，0)，N(2，1，2)，所以＝(－2，0，1)，＝(1，0，2)，·＝－2＋0＋2＝0，所以AM⊥ON.
答案：垂直

一、思考辨析
判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)空間中任意兩非零向量a，b共面．(　　)
(2)在向量的數(shù)量積運(yùn)算中(a·b)·c＝a·(b·c)．(　　)
(3)對(duì)于非零向量b，由a·b＝b·c，則a＝c.(　　)
(4)若{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，則a，b，c中至多有一個(gè)零向量．(　　)
(5)兩向量夾角的范圍與兩異面直線所成角的范圍相同．(　　)
(6)若A，B，C，D是空間任意四點(diǎn)，則有＋＋＋＝0.(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)√
二、易錯(cuò)糾偏

在空間直角坐標(biāo)系中，已知A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，則直線AB與CD的位置關(guān)系是(　　)
A．垂直　　　　　　　　 B．平行
C．異面 D．相交但不垂直
解析：選B.由題意得，＝(－3，－3，3)，＝(1，1，－1)，所以＝－3，所以與共線，又AB與CD沒(méi)有公共點(diǎn)，所以AB∥CD.


　　　　　　空間向量的線性運(yùn)算(自主練透)
1．在空間四邊形ABCD中，若＝(－3，5，2)，＝(－7，－1，－4)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段BC，AD的中點(diǎn)，則的坐標(biāo)為(　　)
A．(2，3，3) B．(－2，－3，－3)
C．(5，－2，1) D．(－5，2，－1)
解析：選B.因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段BC，AD的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，所以＝－，＝(＋)，＝(＋)．
所以＝(＋)－(＋)＝(＋)
＝[(3，－5，－2)＋(－7，－1，－4)]
＝(－4，－6，－6)＝(－2，－3，－3)．
2.在三棱錐O-ABC中，M，N分別是OA，BC的中點(diǎn)，G是△ABC的重心，用基向量，，表示(1)；(2).

解：(1)＝＋
＝＋
＝＋(－)
＝＋[(＋)－]
＝－＋＋.
(2)＝＋
＝－＋＋
＝＋＋.
3.如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)＝a，＝b，＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點(diǎn)，試用a，b，c表示以下各向量：

(1)；(2)；(3)＋.
解：(1)因?yàn)镻是C1D1的中點(diǎn)，
所以＝＋＋＝a＋＋
＝a＋c＋＝a＋c＋b.
(2)因?yàn)镹是BC的中點(diǎn)，
所以＝＋＋＝－a＋b＋
＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.
(3)因?yàn)镸是AA1的中點(diǎn)，
所以＝＋＝＋
＝－a＋
＝a＋b＋c，
又＝＋＝＋
＝＋＝c＋a，
所以＋＝＋
＝a＋b＋c.

用已知向量表示未知向量的解題策略
(1)用已知向量來(lái)表示未知向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵．
(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量，我們可把這個(gè)法則稱為向量加法的多邊形法則．
(3)在立體幾何中要靈活應(yīng)用三角形法則，向量加法的平行四邊形法則在空間仍然成立．　

　　　　　　共線、共面向量定理的應(yīng)用(師生共研)
　如圖所示，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，點(diǎn)M，N分別在AC1和BC上，且滿足＝k，＝k(0≤k≤1)．
(1)向量是否與向量，共面？
(2)直線MN是否與平面ABB1A1平行？

【解】　(1)因?yàn)椋絢，＝k，
所以＝＋＋
＝k＋＋k
＝k(＋)＋
＝k(＋)＋
＝k＋
＝－k＝－k(＋)
＝(1－k)－k，
所以由共面向量定理知向量與向量，共面．
(2)當(dāng)k＝0時(shí)，點(diǎn)M，A重合，點(diǎn)N，B重合，
MN在平面ABB1A1內(nèi)，當(dāng)0

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