[最新考綱]　1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點，認識和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理.2.能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡單命題．


1．直線與平面垂直
(1)定義：如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，則直線l與平面α垂直．
(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言
圖形語言
符號語言
判定定理
一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直

?l⊥α
性質(zhì)定理
垂直于同一個平面的兩條直線平行

?a∥b
2.直線和平面所成的角
(1)平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條直線和這個平面所成的角．
(2)當直線與平面垂直和平行(或直線在平面內(nèi))時，規(guī)定直線和平面所成的角分別為90°和0°．
(3)范圍：.
3．二面角的有關(guān)概念
(1)二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角．
(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一點為端點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角．
(3)范圍：[0，π]．
4．平面與平面垂直
(1)定義：如果兩個平面所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．
(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言
圖形語言
符號語言
判定定理
一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直

?α⊥β
性質(zhì)定理
兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直

?l⊥α

直線與平面垂直的五個結(jié)論
(1)若一條直線垂直于一個平面，則這條直線垂直于這個平面內(nèi)的任意直線.
(2)若兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面．
(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行．
(4)一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則這條直線與另一個平面也垂直．
(5)兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面．

一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)垂直于同一個平面的兩平面平行．(　　)
(2)若α⊥β，a⊥β?a∥α.(　　)
(3)若兩平面垂直，則其中一個平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個平面．(　　)
(4)若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的無數(shù)條直線，則α⊥β.(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3) ×　(4)×
二、教材改編
1．設(shè)α，β是兩個不同的平面，l，m是兩條不同的直線，且l?α，m?β.(　　)
A．若l⊥β，則α⊥β
B．若α⊥β，則l⊥m
C．若l∥β，則α∥β
D．若α∥β，則l∥m
A　[∵l⊥β，l?α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正確．]
2．下列命題中不正確的是(　　)
A．如果平面α⊥平面β，且直線l∥平面α，則直線l⊥平面β
B．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面β
C．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面β
D．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ
A　[A錯誤，l與β可能平行或相交，其余選項均正確．]

3.如圖所示，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，則圖中直角三角形的個數(shù)為________．
4　[∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，
則△PAB，△PAC為直角三角形．
由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，
∴BC⊥平面PAC，
從而BC⊥PC.
因此△ABC，△PBC也是直角三角形．]
4．在三棱錐P-ABC中，點P在平面ABC中的射影為點O.
(1)若PA＝PB＝PC，則點O是△ABC的________心；
(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，則點O是△ABC的________心．
(1)外　(2)垂　[(1)如圖，∵PO⊥平面ABC，連接OA，OB，OC，
在Rt△POA中，OA2＝PA2－PO2，
同理OB2＝PB2－PO2，
OC2＝PC2－PO2.
又PA＝PB＝PC，
故OA＝OB＝OC，
∴O是△ABC的外心．
(2)由PA⊥PB，PA⊥PC可知PA⊥平面PBC，
∴PA⊥BC，
又PO⊥BC，
∴BC⊥平面PAO，
∴AO⊥BC，
同理BO⊥AC，CO⊥AB.
故O是△ABC的垂心．]


考點1　直線與平面垂直的判定與性質(zhì)
　1.證明線面垂直的常用方法
(1)判定定理．
(2)垂直于平面的傳遞性．
(3)面面垂直的性質(zhì)．
2．證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直，而證明線線垂直，則需借助線面垂直的性質(zhì)．
　如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點．
證明：(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.
[證明]　(1)在四棱錐P-ABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD.
又∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，
PA，AC?平面PAC，
∴CD⊥平面PAC.
而AE?平面PAC，∴CD⊥AE.
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.
∵E是PC的中點，∴AE⊥PC.
由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，
PC，CD?平面PCD，
∴AE⊥平面PCD，
而PD?平面PCD，
∴AE⊥PD.
∵PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，
∴PA⊥AB.
又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，
∴AB⊥平面PAD，
而PD?平面PAD，
∴AB⊥PD.
又∵AB∩AE＝A，
AB，AE?平面ABE，
∴PD⊥平面ABE.
　通過本例的訓練我們發(fā)現(xiàn)：判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想；另外，在解題中要重視平面幾何知識，特別是正余弦定理及勾股定理的應(yīng)用．
　如圖所示，已知AB為圓O的直徑，點D為線段AB上一點，且AD＝DB，點C為圓O上一點，且BC＝AC，PD⊥平面ABC，PD＝DB.
求證：PA⊥CD.
[證明]　因為AB為圓O的直徑，所以AC⊥CB，在Rt△ACB中，由AC＝BC，得∠ABC＝30°.
設(shè)AD＝1，由3AD＝DB，得DB＝3，BC＝2，由余弦定理得CD2＝DB2＋BC2－2DB·BCcos 30°＝3，
所以CD2＋DB2＝BC2，即CD⊥AB.
因為PD⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，CD?平面ABC，
所以PD⊥CD，由PD∩AB＝D，得CD⊥平面PAB，又PA?平面PAB，所以PA⊥CD.
考點2　平面與平面垂直的判定與性質(zhì)
　(1)利用面面垂直的判定定理證明面面垂直的一般方法是：先尋找平面的垂線，若圖中存在這樣的直線，則可通過線面垂直來證明面面垂直；若圖中不存在這樣的直線，則可通過作輔助線來解決，作輔助線應(yīng)有理論根據(jù)并有利于證明．
(2)證明兩個平面垂直，通常是通過證明線線垂直→線面垂直→面面垂直來實現(xiàn)．
(3)兩平面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)，運用時要注意“平面內(nèi)的直線”這一條件．
　(2019·衡水中學模擬)如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為直角梯形，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠PAB＝120°，
DC＝PC＝2.PA＝AB＝BC＝1.
(1)證明：平面PAB⊥平面PBC；
(2)求四棱錐P-ABCD的體積．
[解]　(1)證明：在△PAB中，由PA＝AB＝1，∠PAB＝120°，得PB＝，
因為PC＝2，BC＝1，PB＝，
所以PB2＋BC2＝PC2，即BC⊥PB；
因為∠ABC＝90°，所以BC⊥AB，
又PB∩AB＝B，所以BC⊥平面PAB，
又BC?平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC.
(2)在平面PAB內(nèi)，過點P作PE⊥AB，交BA的延長線于點E，如圖所示．
由(1)知BC⊥平面PAB，
因為BC?平面ABCD，
所以平面PAB⊥平面ABCD.
又平面PAB∩平面ABCD＝AB, PE⊥AB，
所以PE⊥平面ABCD，
因為在Rt△PEA中，PA＝1，∠PAE＝60°，所以PE＝.
因為底面ABCD是直角梯形，所以四棱錐P-ABCD的體積為VP-ABCD＝××(1＋2)×1×＝.
　本例第(2)問在求四棱錐P-ABCD的高時，充分利用了三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化：

[教師備選例題]
(2015·全國卷Ⅰ)如圖，四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD的交點，BE⊥平面ABCD.
(1)證明：平面AEC⊥平面BED；
(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱錐E-ACD的體積為，求該三棱錐的側(cè)面積．
[解]　(1)證明：因為四邊形ABCD為菱形，所以AC⊥B D.
因為BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE.
故AC⊥平面BED.
又AC?平面AEC，
所以平面AEC⊥平面BED.
(2)設(shè)AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝x，GB＝GD＝.
因為AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝x.
由BE⊥平面ABCD，知△EBG為直角三角形，可得BE＝x.
由已知得，三棱錐E-ACD的體積VE-ACD＝×AC·GD·BE＝x3＝，故x＝2.
從而可得AE＝EC＝ED＝.
所以△EAC的面積為3，△EAD的面積與△ECD的面積均為.
故三棱錐E-ACD的側(cè)面積為3＋2.
　(2019·銀川一模)如圖，在三棱錐V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB為等邊三角形，AC⊥BC，且AC＝BC＝，O，M分別為AB，VA的中點．
(1)求證：平面MOC⊥平面VAB；
(2)求三棱錐B-VAC的高．
[解]　(1)證明：∵AC＝BC，O為AB的中點，
∴OC⊥AB.
∵平面VAB⊥平面ABC，平面VAB∩平面ABC＝AB，OC?平面ABC，
∴OC⊥平面VAB.
∵OC?平面MOC, ∴平面MOC⊥平面VAB.
(2)在等腰直角△ACB中，AC＝BC＝，
∴AB＝2，OC＝1，
∴等邊△VAB的面積為S△VAB＝×22×sin 60°＝，
又∵OC⊥平面VAB，∴OC⊥OM，
△AMC中，AM＝1，AC＝，MC＝，
∴S△AMC＝×1×＝，
∴S△VAC＝2S△MAC＝，
由三棱錐V-ABC的體積與三棱錐C-VAB的體積相等，
即S△VAC·h＝S△VAB·OC, ∴h＝＝，
即三棱錐B-VAC的高為.
考點3　平行與垂直的綜合問題
　探索性問題中的平行與垂直關(guān)系
　處理空間中平行或垂直的探索性問題，一般先根據(jù)條件猜測點的位置，再給出證明．探索點存在問題，點多為中點或n等分點中的某一個，需根據(jù)相關(guān)的知識確定點的位置．
　(2019·北京高考)如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為菱形，E為CD的中點．
(1)求證：BD⊥平面PAC；
(2)若∠ABC＝60°，求證：平面PAB⊥平面PAE；
(3)棱PB上是否存在點F，使得CF∥平面PAE？說明理由．
[解]　(1)證明：因為PA⊥平面ABCD，
所以PA⊥BD.
因為底面ABCD為菱形，所以BD⊥AC.
又PA∩AC＝A，
所以BD⊥平面PAC.
(2)證明：因為PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
所以PA⊥AE.
因為底面ABCD為菱形，∠ABC＝60°，且E為CD的中點，所以AE⊥CD，所以AB⊥AE.
又AB∩PA＝A，
所以AE⊥平面PAB.
因為AE?平面PAE，
所以平面PAB⊥平面PAE.
(3)棱PB上存在點F，使得CF∥平面PAE.
取F為PB的中點，取G為PA的中點，連接CF，F(xiàn)G，EG.
則FG∥AB，且FG＝AB.
因為底面ABCD為菱形，且E為CD的中點，
所以CE∥AB，且CE＝AB.
所以FG∥CE，且FG＝CE.
所以四邊形CEGF為平行四邊形．
所以CF∥EG.
因為CF?平面PAE，EG?平面PAE，
所以CF∥平面PAE.
　對命題條件的探索的三種途徑
途徑一：先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明．
途徑二：先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明充分性．
途徑三：將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題．
　如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別是棱BC，AB的中點，點F在棱CC1上，已知AB＝AC，AA1＝3，BC＝CF＝2.
(1)求證：C1E∥平面ADF；
(2)設(shè)點M在棱BB1上，當BM為何值時，平面CAM⊥平面ADF.

[解]　(1)證明：連接CE交AD于O，連接OF.
因為CE，AD為△ABC的中線，
則O為△ABC的重心，
故＝＝，故OF∥C1E，
因為OF?平面ADF，C1E?平面ADF，
所以C1E∥平面ADF.
(2)當BM＝1時，平面CAM⊥平面ADF.
證明如下：因為AB＝AC，D為BC的中點，
故AD⊥BC.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，
BB1⊥平面ABC，BB1?平面B1BCC1，
故平面B1BCC1⊥平面ABC.
又平面B1BCC1∩平面ABC＝BC，AD?平面ABC，
所以AD⊥平面B1BCC1，
又CM?平面B1BCC1，
故AD⊥CM.
又BM＝1，BC＝2，CD＝1，F(xiàn)C＝2，
故Rt△CBM≌Rt△FCD.
易證CM⊥DF，又DF∩AD＝D，DF，AD?平面ADF，
故CM⊥平面ADF.
又CM?平面CAM，
故平面CAM⊥平面ADF.
　折疊問題中的平行與垂直關(guān)系
　解決平面圖形翻折問題的關(guān)鍵是抓住“折痕”，準確把握平面圖形翻折前后的兩個“不變”．
(1)與折痕垂直的線段，翻折前后垂直關(guān)系不改變；
(2)與折痕平行的線段，翻折前后平行關(guān)系不改變．
　(2018·全國卷Ⅰ)如圖，在平行四邊形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC為折痕將△ACM折起，使點M到達點D的位置，且AB⊥DA.
(1)證明：平面ACD⊥平面ABC；
(2)Q為線段AD上一點，P為線段BC上一點，且BP＝DQ＝DA，求三棱錐Q-ABP的體積．
[解]　(1)證明：由已知可得，∠BAC＝90°，即BA⊥AC.
又BA⊥AD，AD∩AC＝A，AD，AC?平面ACD，
所以AB⊥平面ACD.
又AB?平面ABC，
所以平面ACD⊥平面ABC.
(2)由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝3.
又BP＝DQ＝DA，所以BP＝2.
如圖，過點Q作QE⊥AC，垂足為E，

則QE∥DC且QE＝DC.
由已知及(1)可得，DC⊥平面ABC，
所以QE⊥平面ABC，QE＝1.
因此，三棱錐Q-ABP的體積為
VQ-ABP＝×S△ABP×QE
＝××3×2sin 45°×1＝1.
　本例第(1)問是垂直關(guān)系證明問題，求解的關(guān)鍵是抓住“BA⊥AC”折疊過程中始終不變；本例第(2)問是計算問題，求解的關(guān)鍵是抓住“∠ACM＝90°”折疊過程中始終不變．即折疊問題的處理可采用：不變的關(guān)系可在平面圖形中處理，而對于變化的關(guān)系則要在立體圖形中解決.
[教師備選例題]
如圖，在三棱錐ABCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
求證：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC.
[證明]　(1)在平面ABD內(nèi)，因為AB⊥AD，EF⊥AD，
則AB∥EF.
又因為EF?平面ABC，AB?平面ABC，
所以EF∥平面ABC.
(2)因為平面ABD⊥平面BCD，
平面ABD∩平面BCD＝BD，BC?平面BCD，BC⊥BD，
所以BC⊥平面ABD.
因為AD?平面ABD，所以BC⊥AD.
又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB?平面ABC，
BC?平面ABC，
所以AD⊥平面ABC.
又因為AC?平面ABC，所以AD⊥AC.

　如圖(1)，在邊長為1的等邊三角形ABC中，D，E分別是AB，AC邊上的點，AD＝AE，F(xiàn)是BC的中點，AF與DE交于點G，將△ABF沿AF折起，得到如圖(2)所示的三棱錐A-BCF，其中BC＝.

(1)　　　　　　　(2)
(1)證明：DE∥平面BCF；
(2)證明：CF⊥平面ABF.
[證明]　(1)在折疊后的圖形中，因為AB＝AC，AD＝AE，所以＝，
所以DE∥BC.
因為DE?平面BCF，BC?平面BCF，
所以DE∥平面BCF.
(2)在折疊前的圖形中，因為△ABC為等邊三角形，BF＝CF，
所以AF⊥BC，則在折疊后的圖形中，AF⊥BF，AF⊥CF.
又BF＝CF＝，BC＝，
所以BC2＝BF2＋CF2，
所以BF⊥CF.
又BF∩AF＝F，BF?平面ABF，
AF?平面ABF，
所以CF⊥平面ABF.


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