2021版高考理科數(shù)學（北師大版）一輪復習教師用書：第八章　第2講　空間圖形的基本關系與公理-教案下載-教習網(wǎng)

一、知識梳理
1．空間圖形的基本位置關系
(1)空間點與直線的位置關系有兩種：點在直線上和點在直線外．
(2)空間點與平面的位置關系有兩種：點在平面內(nèi)和點在平面外．
(3)空間兩條直線的位置關系有三種
共面直線
異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線．
(4)空間直線與平面的位置關系有三種
①直線在平面內(nèi)，直線和平面有無數(shù)個公共點．
②直線和平面相交：直線和平面只有一個公共點．
③直線和平面平行：直線和平面沒有公共點．
(5)空間平面與平面的位置關系有兩種
①平行平面：兩個平面沒有公共點．
②相交平面：兩個平面不重合，但有公共點．
2．空間圖形的公理
公理1：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面(即可以確定一個平面)．
公理2：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)(即直線在平面內(nèi))．
推論1：一條直線和直線外一點確定一個平面；
推論2：兩條相交直線確定一個平面；
推論3：兩條平行直線確定一個平面．
公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．
公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行．
3．等角定理與異面直線所成的角
(1)等角定理：空間中，如果兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補．
(2)異面直線所成的角
①定義：設a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間中任一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的銳角(或直角)叫作異面直線a與b所成的角(或夾角)．
②范圍：．
4．空間中直線與平面、平面與平面的位置關系
(1)空間中直線與平面的位置關系

位置關系
圖形表示
符號表示
公共點
直線a在平面α內(nèi)

aα
有無數(shù)個公共點
直線在平面外
直線a與平面α平行

a∥α
沒有公共點
直線a與平面α斜交

a∩α＝A
有且只有一個公共點
直線a與平面α垂直

a⊥α
(2)空間中兩個平面的位置關系
位置關系
圖形表示
符號表示
公共點
兩平面平行

α∥β
沒有
公共點兩平面相交
斜交

α∩β＝l
有一條公共直線
垂直

α⊥β且
α∩β＝a
常用結(jié)論
1．唯一性定理
(1)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行．
(2)過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直．
(3)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行．
(4)過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直．
2．異面直線的判定定理
經(jīng)過平面內(nèi)一點的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線互為異面直線．
二、教材衍化
1．下列命題中正確的是(　　)
A．過三點確定一個平面
B．四邊形是平面圖形
C．三條直線兩兩相交則確定一個平面
D．兩個相交平面把空間分成四個區(qū)域
解析：選D.對于A，過不在同一條直線上的三點有且只有一個平面，故A錯誤；對于B，四邊形也可能是空間四邊形，不一定是平面圖形，故B錯誤；對于C，三條直線兩兩相交，可以確定一個平面或三個平面，故C錯誤；對于D，平面是無限延展的，兩個相交平面把空間分成四個區(qū)域，故D正確．
2．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，則異面直線B1C與EF所成角的大小為________．

解析：連接B1D1，D1C，則B1D1∥EF，故∠D1B1C為所求，又B1D1＝B1C＝D1C，所以∠D1B1C＝60°.
答案：60°
3．

如圖，在三棱錐A-BCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AB，BC，CD，DA的中點，則
(1)當AC，BD滿足條件________時，四邊形EFGH為菱形；
(2)當AC，BD滿足條件________時，四邊形EFGH為正方形．
解析：(1)因為四邊形EFGH為菱形，
所以EF＝EH，故AC＝BD.
(2)因為四邊形EFGH為正方形，
所以EF＝EH且EF⊥EH，
因為EF綊AC，EH綊BD，
所以AC＝BD且AC⊥BD.
答案：(1)AC＝BD　(2)AC＝BD且AC⊥BD

一、思考辨析
判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)如果兩個不重合的平面α，β有一條公共直線a，就說平面α，β相交，并記作α∩β＝a.(　　)
(2)兩個平面α，β有一個公共點A，就說α，β相交于過A點的任意一條直線．(　　)
(3)兩個平面ABC與DBC相交于線段BC.(　　)
(4)經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面．(　　)
(5)沒有公共點的兩條直線是異面直線．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×
二、易錯糾偏
(1)判斷直線與平面的位置關系時，忽視“直線在平面內(nèi)”；
(2)對等角定理的應用條件認識不清；
(3)對異面直線的概念理解有誤．
1．已知直線a和平面α，β，α∩β＝l，aα，aβ，且a在α，β內(nèi)的射影分別為直線b和c，則直線b和c的位置關系是(　　)
A．相交或平行　　　　　 B．相交或異面
C．平行或異面 D．相交、平行或異面
解析：選D.依題意，直線b和c的位置關系可能是相交、平行或異面．故選D.
2．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA與O1A1的方向相同，則下列結(jié)論中正確的是(　　)
A．OB∥O1B1且方向相同 B．OB∥O1B1
C．OB與O1B1不平行 D．OB與O1B1不一定平行
解析：選D.兩角相等，角的一邊平行且方向相同，另一邊不一定平行，故選D.

　　　　　　平面的基本性質(zhì)及其應用(師生共研)
在正方體ABCD-A1B1C1D1中，判斷下列說法是否正確，并說明理由．
(1)直線AC1在平面CC1B1B內(nèi)；
(2)設正方形ABCD與正方形A1B1C1D1的中心分別為O，O1，則平面AA1C1C與平面BB1D1D的交線為OO1；
(3)由點A，O，C可以確定一個平面；
(4)由A，C1，B1確定的平面是ADC1B1；
(5)設直線l是平面ABCD內(nèi)的直線，直線m是平面DD1C1C內(nèi)的直線，若l與m相交，則交點一定在直線CD上．
【解】　

(1)錯誤．若AC1平面CC1B1B，又BC平面CC1B1B，則A∈平面CC1B1B，且B∈平面CC1B1B，所以AB平面CC1B1B，與AB平面CC1B1B矛盾，故(1)中說法錯誤．
(2)正確．因為O，O1是兩平面的兩個公共點，所以平面AA1C1C與平面BB1D1D的交線為OO1.
(3)錯誤．因為A，O，C三點共線，所以不能確定一個平面．
(4)正確．因為A，C1，B1不共線，所以A，C1，B1三點可以確定平面α，又四邊形AB1C1D為平行四邊形，AC1，B1D相交于O2點，而O2∈α，B1∈α，所以B1O2α，又D∈B1O2，所以D∈α.
(5)正確．若l與m相交，則交點是兩平面的公共點，而直線CD為兩平面的交線，所以交點一定在直線CD上．

(1)三個公理是立體幾何的基礎．公理1是利用點或直線確定平面的依據(jù)；公理2是確定直線在平面內(nèi)的依據(jù)；公理3是確定兩個平面有一條交線的依據(jù)，同時也是證明多點共線、多線共點的依據(jù)．
(2)證明點共線或線共點的問題，關鍵是轉(zhuǎn)化為證明點在直線上，也就是利用公理3，證明點在兩個平面的交線上，或者選擇其中兩點確定一條直線，然后證明另一點也在該直線上．　

1．在空間四邊形ABCD各邊AB，BC，CD，DA上分別取E，F(xiàn)，G，H四點，如果EF，GH相交于點P，那么(　　)
A．點P必在直線AC上
B．點P必在直線BD上
C．點P必在平面DBC內(nèi)
D．點P必在平面ABC外
解析：選A.

如圖，因為EF平面ABC，而GH平面ADC，且EF和GH相交于點P，所以P在兩平面的交線上，因為AC是兩平面的交線，所以點P必在直線AC上．
2．如圖是正方體或四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點，則這四個點不共面的一個圖是(　　)

解析：選D.A，B，C圖中四點一定共面，D中四點不共面．

　　　　　　空間兩直線位置關系的判定(師生共研)
(1)(2019·高考全國卷Ⅲ)如圖，點N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點，則(　　)

A．BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線
B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線
C．BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線
D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線
(2)如圖中，G，N，M，H分別是正三棱柱(兩底面為正三角形的直棱柱)的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有(　　)

A．①③ B．②③
C．②④ D．②③④
【解析】　(1)取CD的中點O，連接ON，EO，因為△ECD為正三角形，所以EO⊥CD，又平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，所以EO⊥平面ABCD.設正方形ABCD的邊長為2，則EO＝，ON＝1，所以EN2＝EO2＋ON2＝4，得EN＝2.過M作CD的垂線，垂足為P，連接BP，則MP＝，CP＝，所以BM2＝MP2＋BP2＝()2＋()2＋22＝7，得BM＝，所以BM≠EN.連接BD，BE，因為四邊形ABCD為正方形，所以N為BD的中點，即EN，MB均在平面BDE內(nèi)，所以直線BM，EN是相交直線，選B.
(2)由題意，可知題圖①中，GH∥MN，因此直線GH與MN共面；題圖②中，G，H，N三點共面，但M?平面GHN，因此直線GH與MN異面；題圖③中，連接MG，則GM∥HN，因此直線GH與MN共面；題圖④中，連接GN，G，M，N三點共面，但H?平面GMN，所以直線GH與MN異面．故選C.
【答案】　(1)B　(2)C

(1)異面直線的判定方法

(2)構(gòu)造法判斷空間兩直線的位置關系
對于線面、面面平行、垂直的位置關系的判定，可構(gòu)造長方體或正方體化抽象為直觀去判斷，可避免因考慮不全面而導致錯誤，構(gòu)造法實質(zhì)上是結(jié)合題意構(gòu)造符合題意的直觀模型，然后將問題利用模型直觀地作出判斷，這樣減少了抽象性．　

1．若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是(　　)
A．l與l1，l2都不相交
B．l與l1，l2都相交
C．l至多與l1，l2中的一條相交
D．l至少與l1，l2中的一條相交
解析：選D.由直線l1和l2是異面直線可知l1與l2不平行，故l1，l2中至少有一條與l相交．
2.

如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點，有以下四個結(jié)論：
①直線AM與CC1是相交直線；
②直線AM與BN是平行直線；
③直線BN與MB1是異面直線；
④直線AM與DD1是異面直線．
其中正確的結(jié)論為________(把你認為正確的結(jié)論的序號都填上)．
解析：直線AM與CC1是異面直線，直線AM與BN也是異面直線，故①②錯誤．
答案：③④

　　　　　　異面直線所成的角(典例遷移)
如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，則異面直線AP與BD所成的角為________．

【解析】　如圖，

將原圖補成正方體ABCD-QGHP，連接AG，GP，則GP∥BD，所以∠APG為異面直線AP與BD所成的角，
在△AGP中，AG＝GP＝AP，所以∠APG＝.
【答案】　
【遷移探究】　(變條件)在本例條件下，若E，F(xiàn)，M分別是AB，BC，PQ的中點，異面直線EM與AF所成的角為θ，求cos θ的值．
解：設N為BF的中點，連接EN，MN，則∠MEN是異面直線EM與AF所成的角或其補角．

不妨設正方形ABCD和ADPQ的邊長為4，則EN＝，EM＝2，MN＝.
在△MEN中，由余弦定理得
cos ∠MEN＝
＝＝－＝－.
即cos θ＝.

用平移法求異面直線所成角的步驟
(1)一作：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角．
(2)二證：證明作出的角(或其補角)是異面直線所成的角．
(3)三求：解三角形，求出作出的角．如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補角才是要求的角．　

1．(2020·太原模擬)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB＝BB1，D是CC1的中點，則CA1與BD所成角的大小是(　　)
A. B．
C. D．
解析：選C.

如圖，取A1C1的中點E，連接BE，DE，則DE∥A1C，所以∠BDE或其補角即為CA1與BD所成的角，設為θ.由幾何體ABC-A1B1C1是正三棱柱且AB＝BB1，可設其棱長為2.在△BDE中，BD＝，BE＝，DE＝，
由余弦定理可得cos θ＝＝0，所以θ＝.故選C.
2．如圖，E，F(xiàn)分別是三棱錐P-ABC的棱AP，BC的中點，PC＝10，AB＝6，EF＝7，則異面直線AB與PC所成的角為________．

解析：

取AC的中點M，連接EM，MF.因為E，F(xiàn)分別是AP，BC的中點，所以MF∥AB，MF＝AB＝3，ME∥PC，ME＝PC＝5，所以MF與ME所成的角即為AB與PC所成的角(或其補角)．在三角形MEF中，cos∠EMF＝＝－＝－，所以∠EMF＝120°，所以異面直線AB與PC所成的角為60°.
答案：60°
　構(gòu)造平面研究直線相交問題
　(一題多解)設l是直線，α，β是兩個不同的平面，則下列說法正確的是(　　)
A．若l∥α，l∥β，則α∥β
B．若l∥α，l⊥β，則α⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，則l⊥β
D．若α⊥β，l∥α，則l⊥β
【解析】　法一：設α∩β＝a，若直線l∥a，且lα，lβ，則l∥α，l∥β，因此α不一定平行于β，故A錯誤；由于l∥α，故在α內(nèi)存在直線l′∥l.又因為l⊥β.所以l′⊥β，故α⊥β，所以B正確；若α⊥β，在β內(nèi)作交線的垂線l，則l⊥α，此時l在平面β內(nèi)，因此C錯誤；已知α⊥β，若α∩β＝a，l∥a，且l不在平面α，β內(nèi)，則l∥α且l∥β，因此D錯誤．故選B.
法二：借助于長方體模型解決本題：對于A，如圖①，α與β可相交；對于B，如圖②，不論β在何位置，都有α⊥β；對于C，如圖③，l可與β平行或lβ內(nèi)；對于D，如圖④，l⊥β或lβ或l∥β.故選B.

【答案】　B
　(一題多解)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1、CC1的中點，則在空間中與三條直線A1D1，EF，CD都相交的直線有________條．
【解析】　法一：如圖，在EF上任意取一點M，直線A1D1與M確定一個平面，這個平面與CD有且僅有一個交點N，當M取不同的位置時就確定不同的平面，從而與CD有不同的交點
N，而直線MN與這三條異面直線都有交點，所以在空間中與這三條直線都相交的直線有無數(shù)條．
法二：在A1D1上任取一點P，過點P與直線EF作一個平面α，因為CD與平面α不平行，所以它們相交，設它們交于點Q，連接PQ(圖略)，則PQ與EF必然相交，即PQ為所求直線．由點P的任意性，知有無數(shù)條直線與三條直線A1D1，EF，CD都相交．
【答案】　無數(shù)

(1)平面幾何和立體幾何在點、線、面的位置關系中有很多的不同，借助確定的幾何模型，利用直觀想象討論點、線、面的位置關系在平面和空間中的差異．
(2)本題難度不大，但比較靈活．對平面的基本性質(zhì)、空間兩條直線的位置關系的考查難度一般都不會太大．
(3)注意本題解法較多，但關鍵在于構(gòu)造平面，但不少學生不會構(gòu)造平面，因此失分較多．　
[基礎題組練]
1．四條線段順次首尾相連，它們最多可確定的平面?zhèn)€數(shù)有(　　)
A．4個　　　　　　　　　 B．3個
C．2個 D．1個
解析：選A.首尾相連的四條線段每相鄰兩條確定一個平面，所以最多可以確定四個平面．
2．已知l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是(　　)
A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面
D．l1，l2，l3共點?l1，l2，l3共面
解析：選B.在空間中，垂直于同一直線的兩條直線不一定平行，故A錯；兩條平行直線中的一條垂直于第三條直線，則另一條也垂直于第三條直線，B正確；相互平行的三條直線不一定共面，如三棱柱的三條側(cè)棱，故C錯；共點的三條直線不一定共面，如三棱錐的三條側(cè)棱，故D錯．
3．如圖，ABCD-A1B1C1D1是長方體，O是B1D1的中點，直線A1C交平面AB1D1于點M，則下列結(jié)論正確的是(　　)

A．A，M，O三點共線 B．A，M，O，A1不共面
C．A，M，C，O不共面 D．B，B1，O，M共面
解析：選A.連接A1C1，AC，則A1C1∥AC，

所以A1，C1，C，A四點共面，
所以A1C平面ACC1A1，
因為M∈A1C，
所以M∈平面ACC1A1.
又M∈平面AB1D1，
所以M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上，
同理A，O在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上．
所以A，M，O三點共線．

4.

(2020·廣東東莞模擬)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中點，則下列敘述正確的是(　　)
A．CC1與B1E是異面直線
B．AC⊥平面ABB1A1
C．AE，B1C1為異面直線，且AE⊥B1C1
D．A1C1∥平面AB1E
解析：選C.因為CC1與B1E都在平面CC1B1B內(nèi)，且CC1與B1E是相交直線，所以選項A錯誤．假設AC⊥平面ABB1A1，則AC⊥AB，即∠CAB＝90°，從而可得∠C1A1B1＝90°，這與題設“底面三角形A1B1C1是正三角形”矛盾，故假設錯誤，即選項B錯誤．因為點B1?AE，直線B1C1交平面AEB1于點B1，所以AE，B1C1為異面直線；由題意可知△ABC是正三角形，又E是BC的中點，所以AE⊥BC，結(jié)合BC∥B1C1可得AE⊥B1C1，故選項C正確．因為直線AC交平面AB1E于點A，又AC∥A1C1，所以直線A1C1與平面AB1E相交，故選項D錯誤．綜上，選C.
5．在各棱長均相等的直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知M是棱BB1的中點，N是棱AC的中點，則異面直線A1M與BN所成角的正切值為(　　)
A. B．1
C. D．
解析：選C.法一：如圖，取AA1的中點P，連接PN，PB，則由直三棱柱的性質(zhì)可知A1M∥PB，則∠PBN為異面直線A1M與BN所成的角(或其補角)．設三棱柱的棱長為2，則PN＝，PB＝，BN＝，所以PN2＋BN2＝PB2，所以∠PNB＝90°，在Rt△PBN中，
tan∠PBN＝＝＝，故選C.
法二：以N為坐標原點，NB，NC所在的直線分別為x軸，y軸，過點N與平面ABC垂直的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設AB＝2，則N(0，0，0)，A1(0，－1，2)，B(，0，0)，M(，0，1)，所以＝(，0，0)，＝(，1，－1)，設直線A1M與BN所成的角為θ，則cos θ＝|cos〈，〉|＝＝＝，則sin θ＝，
tan θ＝.
6．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，點E，H分別是邊AB，AD的中點，點F，G分別是邊BC，CD上的點，且＝＝，則下列說法正確的是________．

①EF與GH平行；
②EF與GH異面；
③EF與GH的交點M可能在直線AC上，也可能不在直線AC上；
④EF與GH的交點M一定在直線AC上．
解析：連接EH，F(xiàn)G(圖略)，依題意，可得EH∥BD，F(xiàn)G∥BD，故EH∥FG，所以E，F(xiàn)，G，H四點共面．因為EH＝BD，F(xiàn)G＝BD，故EH≠FG，所以EFGH是梯形，EF與GH必相交，設交點為M.因為點M在EF上，故點M在平面ACB上．同理，點M在平面ACD上，所以點M是平面ACB與平面ACD的交點，又AC是這兩個平面的交線，所以點M一定在直線AC上．
答案：④
7．一正方體的平面展開圖如圖所示，在這個正方體中，有下列四個命題：

①AF⊥GC；
②BD與GC成異面直線且夾角為60°；
③BD∥MN；
④BG與平面ABCD所成的角為45°.
其中正確的是________(填序號)．
解析：將平面展開圖還原成正方體(如圖所示)．
對于①，由圖形知AF與GC異面垂直，故①正確；
對于②，BD與GC顯然成異面直線．如圖，連接EB，ED，則BE∥GC，所以∠EBD即為異面直線BD與GC所成的角(或其補角)．在等邊△BDE中，∠EBD＝60°，所以異面直線BD與GC所成的角為60°，故②正確；
對于③，BD與MN為異面垂直，故③錯誤；
對于④，由題意得，GD⊥平面ABCD，所以∠GBD是BG與平面ABCD所成的角．但在Rt△BDG中，∠GBD不等于45°，故④錯誤．綜上可得①②正確．
答案：①②
8．(2020·河南安陽調(diào)研四)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E∈平面AA1B1B，點F是線段AA1的中點，若D1E⊥CF，則當△EBC的面積取得最小值時，＝________．
解析：

如圖所示，連接B1D1，取AB的中點G，連接D1G，B1G.由題意得CF⊥平面B1D1G，
所以當點E在直線B1G上時，D1E⊥CF，
設BC＝a，則S△EBC＝EB·BC＝EB·a，
當△EBC的面積取最小值時，線段EB的長度為點B到直線B1G的距離，
所以線段EB長度的最小值為，所以＝＝.
答案：
9．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是AB和AA1的中點．求證：
(1)E，C，D1，F(xiàn)四點共面；
(2)CE，D1F，DA三線共點．

證明：(1)如圖，連接EF，CD1，A1B.
因為E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點，
所以EF∥BA1.
又A1B∥D1C，所以EF∥CD1，
所以E，C，D1，F(xiàn)四點共面．

(2)因為EF∥CD1，EF