第1講　三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式及基本關(guān)系
[核心提煉]
1．三角函數(shù)：設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，則sin α＝y(tǒng)，cos α＝x，tan α＝.各象限角的三角函數(shù)值的符號(hào)：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
2．同角關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.
3．誘導(dǎo)公式：在＋α，k∈Z的誘導(dǎo)公式中“奇變偶不變，符號(hào)看象限”．
[典型例題]
(1)(2019·湖州市高三期末)點(diǎn)P從點(diǎn)A(1，0)出發(fā)，沿單位圓x2＋y2＝1逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)到達(dá)點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(　　)
A. B.
C. D.
(2)(2019·長(zhǎng)春一模)已知α為銳角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，則sin β的值為________．
(3)(2018·高考浙江卷)已知角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過點(diǎn)P.
①求sin的值；
②若角β滿足sin(α＋β)＝，求cos β的值．
【解】　(1)選A.點(diǎn)P從(1，0)出發(fā)，沿單位圓逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)到達(dá)Q點(diǎn)，所以∠QOx＝，
所以Q，
即Q點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選A.
(2)2tan(π－α)－3cos＋5＝0化簡(jiǎn)為－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1化簡(jiǎn)為tan α－6sin β＝1，因而sin β＝.故填.
(3)①由角α的終邊過點(diǎn)P得sin α＝－，
所以sin(α＋π)＝－sin α＝.
②由角α的終邊過點(diǎn)P得cos α＝－，
由sin(α＋β)＝得cos(α＋β)＝±.
由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，
所以cos β＝－或cos β＝.

應(yīng)用三角函數(shù)的概念和誘導(dǎo)公式的注意事項(xiàng)
(1)當(dāng)角的終邊所在的位置不是唯一確定的時(shí)候要注意分情況解決，機(jī)械地使用三角函數(shù)的定義就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤．
(2)應(yīng)用誘導(dǎo)公式與同角關(guān)系開方運(yùn)算時(shí)，一定注意三角函數(shù)的符號(hào)；利用同角三角函數(shù)的關(guān)系化簡(jiǎn)要遵循一定的原則，如切化弦、化異為同、化高為低、化繁為簡(jiǎn)等．　
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]
1．已知角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊上一點(diǎn)P(－4，3)，則的值為________．
解析：原式＝＝tan α.
根據(jù)三角函數(shù)的定義，得tan α＝＝－，
所以原式＝－.
答案：－
2．已知θ是第四象限角，且sin＝，則tan
＝________．
解析：法一：因?yàn)閟in ＝，所以cos＝sin＝sin＝，因?yàn)棣葹榈谒南笙藿牵?br /> 所以－＋2kπ＜θ＜2kπ，k∈Z，所以－＋2kπ＜θ－＜2kπ－，k∈Z，所以sin＝－＝－，
所以tan＝＝－.
法二：因?yàn)棣仁堑谒南笙藿?，且sin＝，所以θ＋為第一象限角，所以cos＝，所以tan＝＝＝－＝－.
答案：－

三角函數(shù)的圖象及應(yīng)用
[核心提煉]
函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象
(1)“五點(diǎn)法”作圖
設(shè)z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出x的值與相應(yīng)的y的值，描點(diǎn)、連線可得．
(2)圖象變換
y＝sin xy＝sin(x＋φ)
y＝sin(ωx＋φ)
y＝Asin(ωx＋φ)．
[典型例題]
(1)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則(　　)

A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝2sin D．y＝2sin
(2)(2019·溫州瑞安七中高考模擬)函數(shù)y＝sin(2x＋φ)的圖象沿x軸向左平移個(gè)單位后，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象，則φ的一個(gè)可能的值為(　　)
A.　　　　B. C．0　　　　D．－
(3)(2019·浙江五校聯(lián)考數(shù)學(xué)模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝，若函數(shù)g(x)＝f(x)－m在[0，2π]內(nèi)恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　)
A．(0，1)　　　B．[1，2] C．(0，1]　　　D．(1，2)
【解析】　(1)由題圖易知A＝2，因?yàn)橹芷赥滿足＝－，所以T＝π，ω＝＝2.由x＝時(shí)，y＝2可知2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝－＋2kπ(k∈Z)，結(jié)合選項(xiàng)可知函數(shù)解析式為y＝2sin.
(2)令y＝f(x)＝sin(2x＋φ)，
則f＝sin＝sin，
因?yàn)閒為偶函數(shù)，
所以＋φ＝kπ＋，
所以φ＝kπ＋，k∈Z，
所以當(dāng)k＝0時(shí)，φ＝.
故φ的一個(gè)可能的值為.
故選B.
(3)畫出函數(shù)f(x)在[0，2π]的圖象，如圖所示：

若函數(shù)g(x)＝f(x)－m在[0，2π]內(nèi)恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)，
即y＝f(x)和y＝m在[0，2π]內(nèi)恰有4個(gè)不同的交點(diǎn)，
結(jié)合圖象，知0＜m＜1.
【答案】　(1)A　(2)B　(3)A

解決三角函數(shù)圖象問題的方法及注意事項(xiàng)
(1)已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的圖象求解析式時(shí)，常采用待定系數(shù)法，由圖中的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或特殊點(diǎn)求A；由函數(shù)的周期確定ω；確定φ常根據(jù)“五點(diǎn)法”中的五個(gè)點(diǎn)求解，其中一般把第一個(gè)零點(diǎn)作為突破口，可以從圖象的升降找準(zhǔn)第一個(gè)零點(diǎn)的位置．
(2)在圖象變換過程中務(wù)必分清是先相位變換，還是先周期變換，變換只是相對(duì)于其中的自變量x而言的，如果x的系數(shù)不是1，就要把這個(gè)系數(shù)提取后再確定變換的單位長(zhǎng)度和方向．　
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]
1．(2019·蘭州市診斷考試)函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|0，所以ωmin＝.
答案：
3．(2019·高考浙江卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝sin x，x∈R.
(1)已知θ∈[0，2π)，函數(shù)f(x＋θ)是偶函數(shù)，求θ的值；
(2)求函數(shù)y＝＋的值域．
解：(1)因?yàn)閒(x＋θ)＝sin(x＋θ)是偶函數(shù)，所以對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有
sin(x＋θ)＝sin(－x＋θ)，
即sin xcos θ＋cos xsin θ＝－sin xcos θ＋cos xsin θ，
故2sin xcos θ＝0，
所以cos θ＝0.
又θ∈[0，2π)，因此θ＝或.
(2)y＝＋
＝sin2＋sin2
＝＋
＝1－
＝1－cos.
因此，函數(shù)的值域是.

三角函數(shù)與其他知識(shí)的交匯
[核心提煉]
三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)，近年來，三角函數(shù)與其他知識(shí)交匯命題成為高考的熱點(diǎn)，由原來三角函數(shù)與平面向量的交匯滲透到三角函數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)、數(shù)列、不等式、復(fù)數(shù)、方程等知識(shí)的交匯．
[典型例題]
(1)(2019·臺(tái)州市高考一模)已知θ∈[0，π)，若對(duì)任意的x∈[－1，0]，不等式x2cos θ＋(x＋1)2sin θ＋x2＋x＞0恒成立，則實(shí)數(shù)θ的取值范圍是(　　)
A.　 B.　 C.　 D.
(2)(2019·浙江“七彩陽光”聯(lián)盟高三聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)的圖象過點(diǎn)，若f(x)≤f對(duì)x∈R恒成立，則ω的值為________；當(dāng)ω最小時(shí)，函數(shù)g(x)＝f－在區(qū)間[0，22]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________．
【解析】　(1)設(shè)f(x)＝x2cos θ＋(x＋1)2sin θ＋x2＋x＝(1＋sin θ＋cos θ)x2＋(2sin θ＋1)x＋sin θ，
因?yàn)棣取蔥0，π)，
所以1＋cos θ＋sin θ≠0，且其對(duì)稱軸為x＝－.
因?yàn)閒(x)在[－1，0]的最小值為f(0)或f(1)或f，
所以，即，
所以.所以＜θ＜.
(2)由題意得φ＝，且當(dāng)x＝時(shí)，函數(shù)f(x)取到最大值，故ω＋＝＋2kπ，k∈Z，解得ω＝1＋12k，k∈N，又因?yàn)棣兀?，所以ω的最小值為1，因此，g(x)＝f－＝sin x－的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是8個(gè)．
【答案】　(1)A　(2)1＋12k(k∈N)　8

解決三角函數(shù)與其他知識(shí)的交匯問題，可利用數(shù)形結(jié)合思想．利用“數(shù)形結(jié)合”思想還可以解決以下問題：
(1)討論含有參數(shù)的方程的解的個(gè)數(shù)問題．　
(2)求三角函數(shù)解析式中含有參數(shù)的最值問題．
(3)求一些特殊函數(shù)的周期．
(4)利用三角函數(shù)圖象對(duì)實(shí)際問題作出分析等．
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]
1．(2019·湖州市高三期末考試)若α，β∈，且αsin α－βsin β＞0，則必有(　　)
A．α2＜β2 B．α2＞β2
C．α＜β D．α＞β
解析：選B.α，β∈，且αsin α－βsin β＞0，即αsin α＞βsin β，再根據(jù)y＝xsin x為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，可得|α|＞|β|，即α2＞β2，故選B.
2．(2019·合肥市第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè))已知關(guān)于x的方程(t＋1)cos x－tsin x＝t＋2在(0，π)上有實(shí)根，則實(shí)數(shù)t的最大值是________．
解析：由題意可得，－＝＝1－，
令P(cos x，sin x)，A(2，1)，
則kPA＝，因?yàn)閤∈(0，π)，所以－1

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