一　創(chuàng)新型問(wèn)題
新課程標(biāo)準(zhǔn)要求學(xué)生“對(duì)新穎的信息、情景和設(shè)問(wèn)，選擇有效的方法和手段收集信息，綜合與靈活地應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法，進(jìn)行獨(dú)立思考、探索和研究，提出解決問(wèn)題的思路，創(chuàng)造性地解決問(wèn)題．”隨著改革的深入和推進(jìn)，高考的改革使知識(shí)立意轉(zhuǎn)向能力立意，推出了一批新穎而又別致的、具有創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新思維的新題．
創(chuàng)新型試題是考查學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)最好的題型之一，它對(duì)考查學(xué)生的閱讀理解能力、知識(shí)遷移能力、類比猜想能力、數(shù)學(xué)探究能力等都有良好的作用．高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新型試題主要是指突出能力考查的新穎問(wèn)題(主要指命題的立意新、試題的背景新、問(wèn)題的情景新、設(shè)問(wèn)的方式新等)．此類問(wèn)題沒(méi)有固定的模式，很難有現(xiàn)成的方法和套路，要求思維水平高，思維容量大，但運(yùn)算量較小，求解此類問(wèn)題，要求學(xué)生有臨場(chǎng)閱讀，提取信息和進(jìn)行信息加工、處理的能力，靈活運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)的能力和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的綜合能力．

　　　　　　“新定義”問(wèn)題
新定義問(wèn)題是指在特定情景下，用新的數(shù)學(xué)符號(hào)或文字?jǐn)⑹鰧?duì)研究的問(wèn)題進(jìn)行科學(xué)的、合乎情理的定義，并在此定義下結(jié)合已學(xué)過(guò)的知識(shí)解決給出的問(wèn)題——新定義問(wèn)題的解題技法．求解此類問(wèn)題，首先應(yīng)明確新定義的實(shí)質(zhì)，利用新定義中包含的內(nèi)容，結(jié)合所學(xué)知識(shí)，將問(wèn)題向熟悉的、已掌握的知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)化．
[典型例題]
(1)定義“規(guī)范01數(shù)列”{an}如下：{an}共有2m項(xiàng)，其中m項(xiàng)為0，m項(xiàng)為1，且對(duì)任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù)．若m＝4，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有(　　)
A．18個(gè)　　　B．16個(gè)　　　C．14個(gè)　　　D．12個(gè)
(2)設(shè)D是函數(shù)y＝f(x)定義域內(nèi)的一個(gè)區(qū)間，若存在x0∈D，使得f(x0)＝－x0，則稱x0是f(x)的一個(gè)“次不動(dòng)點(diǎn)”，也稱f(x)在區(qū)間D上存在“次不動(dòng)點(diǎn)”．若函數(shù)f(x)＝ax2－3x－a＋在區(qū)間[1，4]上存在“次不動(dòng)點(diǎn)”，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．(－ ∞，0] B.
C. D.
【解析】　(1)法一：不妨設(shè)a1＝0，a8＝1，a2，a3，…，a7中有3個(gè)0、3個(gè)1，且滿足對(duì)任意k≤8，都有a1，a2，…，ak中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù)，利用列舉法可得不同的“規(guī)范01數(shù)列”有00001111，00010111，00011011，00011101，00100111，00101011，00101101，00110011，00110101，01000111，01001011，01001101，01010011，01010101，共14個(gè)．
法二：設(shè)a1，a2，a3，…，ak中0的個(gè)數(shù)為t，則1的個(gè)數(shù)為k－t，
由2m＝8知，k≤8且t≥k－t≥0，則.
當(dāng)t＝1時(shí)，k＝1，2，當(dāng)t＝2時(shí)，k＝2，3，4，
當(dāng)t＝3時(shí)，k＝3，4，5，6，當(dāng)t＝4時(shí)，k＝4，5，6，7，8，
所以“規(guī)范01數(shù)列”共有2＋3＋4＋5＝14(個(gè))．
法三：前同法二．
問(wèn)題即是表示的區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)(格點(diǎn))的個(gè)數(shù)，
如圖整點(diǎn)(格點(diǎn))為2＋3＋4＋5＝14(個(gè))，即“規(guī)范01數(shù)列”共有14個(gè)．

(2)方程ax2－3x－a＋＝－x在區(qū)間[1，4]上有解，顯然x≠1，所以方程ax2－3x－a＋＝－x在區(qū)間(1，4]上有解，即求函數(shù)a＝在區(qū)間(1，4]上的值域，
令t＝4x－5，則t∈(－1，11]，a＝，當(dāng)t∈(－1，0]時(shí)，a≤0；
當(dāng)t∈(0，11]時(shí)，00且an－1·2n－n＋1(2n－2n＋3)≥an－2·2n－n＋2·(2n－2n＋5)，解得a≥.故選C.
3．(經(jīng)典考題)設(shè)S為實(shí)數(shù)集R的非空子集，若對(duì)任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，則稱S為封閉集．下列命題：①集合S＝{a＋b|a，b為整數(shù)}為封閉集；②若S為封閉集，則一定有0∈S；③封閉集一定是無(wú)限集；④若S為封閉集，則滿足S?T?R的任意集合T也是封閉集．其中的真命題是__________．(寫出所有真命題的序號(hào))
解析：對(duì)于整數(shù)a1，b1，a2，b2，有a1＋b1＋a2＋b2＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)∈S，a1＋b1－(a2＋b2)＝(a1－a2)＋(b1－b2)∈S，(a1＋b1)·(a2＋b2)＝(a1a2＋3b1b2)＋(a1b2＋a2b1)∈S，所以①正確．
若S為封閉集，且存在元素x∈S，那么必有x－x＝0∈S，即一定有0∈S，所以②正確．
當(dāng)S＝{0}時(shí)，S為封閉集，所以③錯(cuò)誤．
取S＝{0}，T＝{0，1，2，3}時(shí)，顯然2×3＝6?T，所以④錯(cuò)誤．
答案：①②

“新運(yùn)算”問(wèn)題
新運(yùn)算問(wèn)題是在原有運(yùn)算的基礎(chǔ)上定義了一種新運(yùn)算，在準(zhǔn)確把握信息本質(zhì)的基礎(chǔ)上，將這種新運(yùn)算轉(zhuǎn)化為早已熟悉的運(yùn)算，從而進(jìn)一步運(yùn)用已有的知識(shí)去分析、解決問(wèn)題．
[典型例題]
(經(jīng)典考題)當(dāng)x≠1且x≠0時(shí)，數(shù)列{nxn－1}的前n項(xiàng)和Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxx－1(n∈N*)可以用數(shù)列求和的“錯(cuò)位相減法”求得，也可以由x＋x2＋x3＋…＋xn(n∈N*)按等比數(shù)列的求和公式，先求得x＋x2＋x3＋…＋xn＝，兩邊都是關(guān)于x的函數(shù)，兩邊同時(shí)求導(dǎo)，(x＋x2＋x3＋…＋xn)′＝′，從而得到Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1＝，按照同樣的方法，請(qǐng)從二項(xiàng)展開式(1＋x)n＝1＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn出發(fā)，可以求得，Sn＝1×2×C＋2×3×C＋3×4×C＋…＋n(n＋1)×C(n≥4)的值為________．(請(qǐng)?zhí)顚懽詈?jiǎn)結(jié)果)．
【解析】　依題意，對(duì)(1＋x)n＝1＋Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cxn兩邊同時(shí)求導(dǎo)，得n(1＋x)n－1＝C＋2Cx＋3Cx2＋…＋nCxn－1，①
取x＝1，得C＋2C＋3C＋…＋nC＝n×2n－1，②
②×2得，2C＋2×2C＋2×3C＋…＋2nC＝n×2n，③
再對(duì)①式兩邊同時(shí)求導(dǎo)， 得n(n－1)(1＋x)n－2＝1×2C＋2×3Cx＋…＋n(n－1)Cxn－2，取x＝1，得1×2C＋2×3C＋…＋n(n－1)C＝n(n－1)×2n－2，④
③＋④得1×2C＋2×3C＋3×4C＋…＋n(n＋1)C＝n×2n＋n(n－1)×2n－2＝n(n＋3)×2n－2.
【答案】　n(n＋3)×2n－2
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]
1．(經(jīng)典考題)定義平面向量之間的一種運(yùn)算“⊙”如下：對(duì)任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np.下面說(shuō)法錯(cuò)誤的是(　　)
A．若a與b共線，則a⊙b＝0
B．a(chǎn)⊙b＝b⊙a(bǔ)
C．對(duì)任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)
D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2
解析：選B.若a＝(m，n)與b＝(p，q)共線，則mq－np＝0，依運(yùn)算“⊙”知a⊙b＝0，故A正確，由于a⊙b＝mq－np，又b⊙a(bǔ)＝np－mq，因此a⊙b＝－b⊙a(bǔ)，故B不正確．由于λa＝(λm，λn)，因此(λa)⊙b＝λmq－λnp，又λ(a⊙b)＝λ(mq－np)＝λmq－λnp，故C正確．(a⊙b)2＋(a·b)2＝m2q2－2mnpq＋n2p2＋(mp＋nq)2＝m2(p2＋q2)＋n2(p2＋q2)＝(m2＋n2)(p2＋q2)＝|a|2|b|2，故D正確．
2．(經(jīng)典考題)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若對(duì)任意的正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得Sn＝am，則稱{an}是“H數(shù)列”．
(1)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n(n∈N*)，證明：{an}是“H數(shù)列”；
(2)設(shè){an}是等差數(shù)列，其首項(xiàng)a1＝1，公差d

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