第1講　直線與圓

直線的方程
[核心提煉]
1．三種距離公式
(1)A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)間的距離：
|AB|＝.
(2)點(diǎn)到直線的距離：d＝(其中點(diǎn)P(x0，y0)，直線方程：Ax＋By＋C＝0)．
(3)兩平行直線間的距離：d＝(其中兩平行線方程分別為l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0)．
2．兩條直線平行與垂直的判定
若兩條不重合的直線l1，l2的斜率k1，k2存在，則l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1.若給出的直線方程中存在字母系數(shù)，則要考慮斜率是否存在．
[典型例題]
(1)(2019·溫州十五校聯(lián)合體聯(lián)考)已知直線l1：mx＋(m＋1)y＋2＝0，l2：(m＋1)x＋(m＋4)y－3＝0，則“m＝－2”是“l(fā)1⊥l2”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
(2)(2019·浙江新高考沖刺卷)已知m∈R，若點(diǎn)M(x，y)為直線l1：my＝－x和l2：mx＝y(tǒng)＋m－3的交點(diǎn)，l1和l2分別過定點(diǎn)A和B，則|MA|·|MB|的最大值為________．
【解析】　(1)當(dāng)m＝－2時，直線l1，l2的斜率分別為k1＝－2，k2＝，此時k1×k2＝－1，則l1⊥l2.而m＝－1時，也有l(wèi)1⊥l2，故選A.
(2)動直線l1：my＝－x過定點(diǎn)A(0，0)，
動直線l2：mx＝y(tǒng)＋m－3化為m(x－1)－(y－3)＝0，得x＝1，y＝3.過定點(diǎn)B(1，3)．
因?yàn)榇藘蓷l直線互相垂直，
所以|MA|2＋|BM|2＝|AB|2＝10，
所以10≥2|MA|·|MB|，所以|MA|·|BM|≤5，
當(dāng)且僅當(dāng)|MA|＝|MB|時取等號．
【答案】　(1)A　(2)5

解決直線方程問題應(yīng)注意的問題
(1)求解兩條直線平行的問題時，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出參數(shù)的值后，要注意代入檢驗(yàn)，排除兩條直線重合的可能性．
(2)要注意幾種直線方程的局限性．點(diǎn)斜式、斜截式要求直線不能與x軸垂直．兩點(diǎn)式不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線，而截距式方程不能表示過原點(diǎn)的直線及垂直于坐標(biāo)軸的直線．
(3)求直線方程要考慮直線斜率是否存在．　
[對點(diǎn)訓(xùn)練]
1．若兩平行直線l1：x－2y＋m＝0(m＞0)與l2：2x＋ny－6＝0之間的距離是，則m＋n＝(　　)
A．0　　　　B．1　　　　C．－2　　　　D．－1
解析：選C.因?yàn)閘1，l2平行，所以1×n＝2×(－2)，解得n＝－4，即直線l2：x－2y－3＝0.又l1，l2之間的距離是，所以＝，得m＝2或m＝－8(舍去)，所以m＋n＝－2，故選C.
2．(2019·金麗衢十二校高考模擬)直線l：x＋λy＋2－3λ＝0(λ∈R)恒過定點(diǎn)________，P(1，1)到該直線的距離最大值為________．
解析：直線l：x＋λy＋2－3λ＝0(λ∈R)即λ(y－3)＋x＋2＝0，令，解得x＝－2，y＝3.
所以直線l恒過定點(diǎn)Q(－2，3)，
P(1，1)到該直線的距離最大值為|PQ|＝＝.
答案：(－2，3)　
3．在△ABC中，A(1，1)，B(m，)(11(舍)．
2．已知圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，設(shè)平面區(qū)域Ω：若圓心C∈Ω，且圓C與x軸相切，則a2＋b2的最大值為________．
解析：作出可行域，如圖，由題意知，圓心為C(a，b)，半徑r＝1，且圓C與x軸相切，所以b＝1.而直線y＝1與可行域邊界的交點(diǎn)為A(6，1)，

B(－2，1)，目標(biāo)函數(shù)z＝a2＋b2表示點(diǎn)C到原點(diǎn)距離的平方，所以當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時，z取到最大值，zmax＝37.
答案：37
專題強(qiáng)化訓(xùn)練
1．(2019·杭州二中月考)已知直線3x－y＋1＝0的傾斜角為α，則sin 2α＋cos2α＝(　　)
A.　　　B．－　　　C.　　　D．－
解析：選A.由題設(shè)知k＝tan α＝3，于是sin 2α＋cos2α＝＝＝＝.
2．(2019·義烏二模)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，過定點(diǎn)P的直線l：ax＋y－1＝0與過定點(diǎn)Q的直線m：x－ay＋3＝0相交于點(diǎn)M，則|MP|2＋|MQ|2＝(　　)
A. B.
C．5 D．10
解析：選D.由題意知P(0，1)，Q(－3，0)，因?yàn)檫^定點(diǎn)P的直線ax＋y－1＝0與過定點(diǎn)Q的直線x－ay＋3＝0垂直，所以MP⊥MQ，所以|MP|2＋|MQ|2＝|PQ|2＝9＋1＝10，故選D.
3．(2019·杭州七市聯(lián)考)已知圓C：(x－1)2＋y2＝r2(r＞0)．設(shè)條件p：0＜r＜3，條件q：圓C上至多有2個點(diǎn)到直線x－y＋3＝0的距離為1，則p是q的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
解析：選C.圓C：(x－1)2＋y2＝r2(r＞0)，圓心(1，0)到直線x－y＋3＝0的距離d＝＝2.由條件q：圓C上至多有2個點(diǎn)到直線x－y＋3＝0的距離為1，可得0＜r＜3.則p是q的充要條件．故選C.
4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)直線l：y＝kx＋1與圓C：x2＋y2＝4相交于A，B兩點(diǎn)，以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OAMB，若點(diǎn)M在圓C上，則實(shí)數(shù)k等于(　　)
A．1 B．2
C．－1 D．0
解析：選D.由題意知圓心到直線l的距離等于r＝1(r為圓C的半徑)，所以＝1，解得k＝0.
5．(2019·蘭州市診斷考試)已知圓C：(x－)2＋(y－1)2＝1和兩點(diǎn)A(－t，0)，B(t，0)(t>0)，若圓C上存在點(diǎn)P，使得∠APB＝90°，則t的取值范圍是(　　)
A．(0，2] B．[1，2]
C．[2，3] D．[1，3]
解析：選D.依題意，設(shè)點(diǎn)P(＋cos θ，1＋sin θ)，因?yàn)椤螦PB＝90°，所以·＝0，所以(＋cos θ＋t)(＋cos θ－t)＋(1＋sin θ)2＝0，得t2＝5＋2cos θ＋2sin θ＝5＋4sin(θ＋)，因?yàn)閟in(θ＋)∈[－1，1]，所以t2∈[1，9]，因?yàn)閠>0，所以t∈[1，3]．
6．圓C：x2＋y2＋Dx＋Ey－3＝0(D

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