第1講　集合、常用邏輯用語

集合的概念及運算
[核心提煉]
1．集合的運算性質(zhì)及重要結(jié)論
(1)A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A；
(2)A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A；
(3)A∩(?UA)＝?，A∪(?UA)＝U；
(4)A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?B?A.
2．集合運算中的常用方法
(1)若已知的集合是不等式的解集，用數(shù)軸求解；
(2)若已知的集合是點集，用數(shù)形結(jié)合法求解；
(3)若已知的集合是抽象集合，用Venn圖求解．
[典型例題]
(1)(2018·高考浙江卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，則?UA＝(　　)
A．? B．{1，3}
C．{2，4，5} D．{1，2，3，4，5}
(2)(2019·高考浙江卷)已知全集U＝{－1，0，1，2，3}，集合A＝{0，1，2}，B＝{－1，0，1}，則∩B＝(　　)
A．{－1} B．{0，1}
C．{－1，2，3} D．{－1，0，1，3}
(3)(2019·金華模擬)已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，S＝{1，2，5}，T＝{2，3，6}，則S∩(?UT)＝________，集合S共有________個子集．
【解析】　(1)因為U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，
所以?UA＝{2，4，5}，故選C.
(2)由題意可得?UA＝{－1，3}，則(?UA)∩B＝{－1}．故選A.
(3)集合U＝{1，2，3，4，5，6}，
S＝{1，2，5}，T＝{2，3，6}，
所以?UT＝{1，4，5}，
所以S∩(?UT)＝{1，5}，
S＝{1，2，5}的子集的個數(shù)為23＝8.
【答案】　(1)C　(2)A　(3){1，5}　8

集合的運算與不等式相結(jié)合問題求解策略
解決此類問題的思路主要有兩個：一是直接法，即先化簡后運算，也就是先解不等式求出對應(yīng)集合，然后利用數(shù)軸表示，從而求得集合運算的結(jié)果；二是間接法，由于此類問題多以選擇題的形式進(jìn)行考查，故可根據(jù)選項的差異性選取特殊元素進(jìn)行驗證，排除干擾項從而得到正確選項．　
[對點訓(xùn)練]
1．(2019·寧波市高考模擬)已知全集U＝A∪B＝，A∩(?UB)＝，則B＝(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：選C.因為U＝A∪B＝，
又因為A∩(?UB)＝，
所以B＝，故選C.
2．(2019·溫州二模)已知集合A＝{x||x－1|≤2}，B＝{x|04，所以必要性不成立．所以“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要條件．故選A.
優(yōu)解：在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)b＝4－a，b＝的圖象，如圖所示，則不等式a＋b≤4與ab≤4表示的平面區(qū)域分別是直線a＋b＝4及其左下方(第一象限中的部分)與曲線b＝及其左下方(第一象限中的部分)，易知當(dāng)a＋b≤4成立時，ab≤4成立，而當(dāng)ab≤4成立時，a＋b≤4不一定成立．故選A.

(2)若m?α，n?α，m∥n，由線面平行的判定定理知m∥α.若m∥α，m?α，n?α，不一定推出m∥n，直線m與n可能異面，故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要條件．故選A.
【答案】　(1)A　(2)A

判斷充分、必要條件時應(yīng)關(guān)注的三點
(1)要弄清先后順序：“A的充分不必要條件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要條件”則是指A能推出B，且B不能推出A.
(2)要善于舉出反例：當(dāng)從正面判斷或證明一個命題的正確或錯誤不易進(jìn)行時，可以通過舉出恰當(dāng)?shù)姆蠢齺碚f明．
(3)要注意轉(zhuǎn)化：?p是?q的必要不充分條件?p是q的充分不必要條件；?p是?q的充要條件?p是q的充要條件．　
[對點訓(xùn)練]
1．已知等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項和為Sn，則“d＞0”是“S4 ＋ S6＞2S5”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
解析：選C.因為{an}為等差數(shù)列，所以S4＋S6＝4a1＋6d＋6a1＋15d＝10a1＋21d，2S5＝10a1＋20d，S4＋S6－2S5＝d，所以d>0?S4＋S6>2S5，故選C.
2．(2019·高三“吳越聯(lián)盟”)已知a，b∈R，則使|a|＋|b|>4成立的一個充分不必要條件是(　　)
A．|a|＋|b|≥4　　　　　　　 B．|a|≥4
C．|a|≥2且|b|≥2 D．b4得不到by”，分析可知選項B為真命題；對于選項C，命題“若x＝1，則x2＋x－2＝0”的否命題為“若x≠1，則x2＋x－2≠0”，易知當(dāng)x＝－2時，x2＋x－2＝0，故選項C為假命題；對于選項D，命題“若tan x＝，則x＝”的逆否命題為“若x≠，則tan x≠”，易知當(dāng)x＝時，tan x＝，故選項D為假命題．綜上可知，選B.
9．(2019·浙江五校聯(lián)考模擬)已知棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列命題不正確的是(　　)

A．平面ACB1∥平面A1C1D，且兩平面的距離為
B．點P在線段AB上運動，則四面體PA1B1C1的體積不變
C．與所有12條棱都相切的球的體積為π
D．M是正方體的內(nèi)切球的球面上任意一點，N是△AB1C外接圓的圓周上任意一點，則|MN|的最小值是
解析：選D.A.因為AB1∥DC1，AC∥A1C1，
且AC∩AB1＝A，
所以平面ACB1∥平面A1C1D，
正方體的體對角線BD1＝，
設(shè)B到平面ACB1的距離為h，
則VB-AB1C＝××1×1×1＝××××h，即h＝，
則平面ACB1與平面A1C1D的距離d＝－2h＝－2×＝，故A正確．
B．點P在線段AB上運動，則四面體PA1B1C1的高為1，底面積不變，則體積不變，故B正確，
C．與所有12條棱都相切的球的直徑2R等于面的對角線B1C＝，則2R＝，R＝，則球的體積V＝πR3＝×π×()3＝π，故C正確．
D．設(shè)正方體的內(nèi)切球的球心為O，正方體的外接球的球心為O′，
則三角形ACB1的外接圓是正方體的外接球O′的一個小圓，
因為點M在正方體的內(nèi)切球的球面上運動，點N在三角形ACB1的外接圓上運動，
所以線段MN長度的最小值是正方體的外接球的半徑減去正方體的內(nèi)切球的半徑，
因為正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，
所以線段MN長度的最小值是－.故D錯誤．故選D.
10．設(shè)A是自然數(shù)集的一個非空子集，對于k∈A，如果k2?A，且?A，那么k是A的一個“酷元”，給定S＝{x∈N|y＝lg(36－x2)}，設(shè)M?S，集合M中有兩個元素，且這兩個元素都是M的“酷元”，那么這樣的集合M有(　　)
A．3個 B．4個
C．5個 D．6個
解析：選C.由36－x2>0可解得－6

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