授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第33頁
[教材提煉]
知識點 函數(shù)的三種表示方法
eq \a\vs4\al(預(yù)習(xí)教材，思考問題)
比較函數(shù)的三種表示法，它們各自的特點是什么？
知識梳理 解析法，就是用數(shù)學(xué)表達式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系．
列表法，就是列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系．
圖象法，就是用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系．
這三種方法是常用的函數(shù)表示法．
[自主檢測]
1．函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖，則f(x)的定義域是( )
A．R
B．(－∞，1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，0)∪(0，＋∞)
D．(－1,0)
答案：C
2．已知y與x成反比，且當(dāng)x＝2時，y＝1，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為( )
A．y＝eq \f(1,x) B．y＝－x
C．y＝eq \f(2,x) D．y＝eq \f(x,2)
答案：C
3．已知函數(shù)f(x)由下表給出，則f(f(3))＝________.
答案：1
授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第33頁
探究一 列表法表示函數(shù)
[例1] (1)某路公共汽車，行進的站數(shù)與票價關(guān)系如下表：
若某人乘坐此公共汽車7站后下車，票價應(yīng)為________元．
(2)下表表示函數(shù)y＝f(x)，則f(x)＞x的整數(shù)解的集合是________.
(3)已知兩個函數(shù)f(x)和g(x)的定義域和值域都是集合{1,2,3}，其函數(shù)對應(yīng)關(guān)系如表：
則方程g(f(x))＝x的解集為________．
[解析] (1)觀察表格可知，自變量(行進的站數(shù))為7時函數(shù)的值為1.5，所以此人乘車的票價應(yīng)為1.5元．
(2)當(dāng)0＜x＜5時，f(x)＞x的整數(shù)解為{1,2,3}．
當(dāng)5≤x＜10時，f(x)＞x的整數(shù)解為{5}．
當(dāng)10≤x＜15時，f(x)＞x的整數(shù)解為?.
當(dāng)15≤x＜20時，f(x)＞x的整數(shù)解為?.
綜上所述，f(x)＞x的整數(shù)解的集合是{1,2,3,5}．
(3)當(dāng)x＝1時，f(x)＝2，g(f(x))＝2，不符合題意；
當(dāng)x＝2時，f(x)＝3，g(f(x))＝1，不符合題意；
當(dāng)x＝3時，f(x)＝1，g(f(x))＝3，符合題意，
綜上，方程g(f(x))＝x的解集為{3}．
[答案] (1)1.5 (2){1,2,3,5} (3){3}
列表法表示函數(shù)的相關(guān)問題的解法
解決此類問題關(guān)鍵在于弄清每個表格表示的函數(shù)，對于f(g(x))這類函數(shù)值的求解，應(yīng)從內(nèi)到外逐層求解，而求解不等式，則可分類討論或列表解決．
1．在本例(3)條件下，求不等式f(g(x))＞g(f(x))的解集．
解析：f(g(x))與g(f(x))與x相對應(yīng)的值如表所示：
不等式f(g(x))＞g(f(x))的解集為{2}．
2．若例題(3)改為：表格所表示的y是x的函數(shù).
定義域為________，值域為________．
答案：{1,2,3,4} {4,3,2,1}
探究二 函數(shù)的圖象及應(yīng)用
[例2] (1)某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期間月接待游客量(單位：萬人)的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖．
根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是( )
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)
[解析] 2016年8月到9月，10月到11月等是逐月下降的，故A錯．
[答案] A
(2)已知二次函數(shù)y＝－x2＋4x－3.
①指出該函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸方程、頂點坐標、與坐標軸的交點的坐標，并畫出函數(shù)圖象的草圖．
②說明其圖象由y＝－x2的圖象經(jīng)過怎樣平移得來的．
③當(dāng)定義域為[0,3]時，結(jié)合該二次函數(shù)圖象求該函數(shù)的值域．
[解析] ①y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，圖象的開口向下，對稱軸方程為x＝2，頂點坐標為(2,1)．令y＝0解得，x＝1或x＝3，所以此函數(shù)圖象與x軸相交于點(1,0)和(3,0)，令x＝0解得，y＝－3，所以此函數(shù)圖象與y軸相交于點(0，－3)，
畫出此函數(shù)的圖象，如圖所示：
②由y＝－x2的圖象向右平移2個單位長度，得函數(shù)y＝－(x－2)2的圖象，再向上平移1個單位長度，得函數(shù)y＝－(x－2)2＋1的圖象．
③畫出函數(shù)y＝－x2＋4x－3，x∈[0,3]的圖象，如圖所示，觀察圖象可知該函數(shù)的值域為[－3,1]．
作函數(shù)圖象的基本步驟
利用圖象認識函數(shù)
左右看范圍→函數(shù)的定義域
上下看范圍→函數(shù)的值域
左右看變化→函數(shù)值隨x的變化情況
1.某地一年內(nèi)的氣溫Q(t)(單位：℃)與時間t(月份)之間的關(guān)系如圖所示，已知該年的平均氣溫為10 ℃.令C(t)表示時間段[0，t]的平均氣溫，C(t)與t之間的函數(shù)關(guān)系用下列圖象表示，則正確的應(yīng)該是( )
解析：依題設(shè)當(dāng)t＝12時，C(t)＝10，排除D；由年平均氣溫為10 ℃知C(t)不會都在10 ℃以下，排除B；依題圖知在t∈[0,6]內(nèi)，Q(t)的圖象關(guān)于(3,0)中心對稱，因此C(6)＝0，排除C，故選A.
答案：A
2．已知函數(shù)為y＝x2－2x，x∈[－1,2)，試畫出此函數(shù)的圖象．
解析：y＝x2－2x
＝(x－1)2－1.
當(dāng)x＝－1時，y＝3；
當(dāng)x＝0時，y＝0；
當(dāng)x＝1時，y＝－1；
當(dāng)x＝2時，y＝0.
如圖開口向上的部分拋物線段．
探究三 求函數(shù)解析式
[例3] (1)(待定系數(shù)法)已知f(x)是一次函數(shù)，且f(f(x))＝16x－25，求f(x)．
[解析] 設(shè)f(x)＝kx＋b(k≠0)，
則f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b，
∴k2x＋kb＋b＝16x－25.
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k2＝16，,kb＋b＝－25，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝4，,b＝－5))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝－4，,b＝\f(25,3).))
∴f(x)＝4x－5或f(x)＝－4x＋eq \f(25,3).
(2)換元法(或配湊法)已知f(eq \r(x)＋1)＝x＋2eq \r(x)，求f(x)的解析式．
[解析] 法一(換元法)：令t＝eq \r(x)＋1，則x＝(t－1)2，t≥1，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，
所以f(x)的解析式為f(x)＝x2－1(x≥1)．
法二(配湊法)：f(eq \r(x)＋1)＝x＋2eq \r(x)＝x＋2eq \r(x)＋1－1＝(eq \r(x)＋1)2－1.
因為eq \r(x)＋1≥1，所以f(x)的解析式為f(x)＝x2－1(x≥1)．
(3)(方程組法)已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x)．
[解析] ∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，①
∴將x換成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x.②
∴由①②得3f(x)＝x2－6x，∴f(x)＝eq \f(1,3)x2－2x.
求函數(shù)解析式的方法
提醒：換元法要注意新元“t”的取值范圍，否則易弄錯函數(shù)定義域.
1．設(shè)函數(shù)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－x,1＋x)))＝x，則f(x)的表達式為( )
A.eq \f(1＋x,1－x) B.eq \f(1＋x,x－1)
C.eq \f(1－x,1＋x) D.eq \f(2x,x＋1)
解析：令t＝eq \f(1－x,1＋x)，解得x＝eq \f(1－t,1＋t)，
代入feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－x,1＋x)))＝x，可得f(t)＝eq \f(1－t,1＋t)，
∴f(x)＝eq \f(1－x,1＋x).
答案：C
2．已知f(x)滿足2f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝3x，則f(x)＝________.
解析：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2f?x?＋f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝3x， ①,2f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＋f?x?＝\f(3,x)， ②))
∴①×2－②得
3f(x)＝6x－eq \f(3,x)，
∴f(x)＝2x－eq \f(1,x).
答案：2x－eq \f(1,x)
授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第35頁
一、一“圖”勝萬言——函數(shù)圖象的應(yīng)用eq \x(?直觀想象)
[典例] 已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的圖象如圖所示，則b的取值范圍是( )
A．(－∞，0)
B．(0,1)
C．(1,2)
D．(2，＋∞)
[解析] 法一：由f(x)的圖象知點(0,0)，(1,0)，(2,0)在圖象上，得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(d＝0，,a＋b＋c＝0，,8a＋4b＋2c＝0))?eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝－3a，,c＝2a，,d＝0.))
∴f(x)＝ax3－3ax2＋2ax.
又由圖象知f(－1)＜0，
∴－a－3a－2a＜0?a＞0，則b＝－3a＜0.
故選A.
法二：由三次函數(shù)f(x)的圖象過(0,0)，(1,0)，(2,0)點，可設(shè)f(x)＝ax(x－1)(x－2)＝ax3－3ax2＋2ax.
又∵f(3)＞0，得6a＞0?a＞0，
∴b＝－3a＜0.故選A.
[答案] A
二、忽視新元的范圍
[典例] 已知f(x2＋1)＝x2＋eq \f(1,x2＋1)，求f(x)的解析式．
[解析] 設(shè)t＝x2＋1，
∴t≥1，
∴x2＝t－1，
∴f(t)＝t－1＋eq \f(1,t)，
∴f(x)＝x＋eq \f(1,x)－1(x≥1)．
糾錯心得 此題用換元法或配湊法求出f(x)后，易丟定義域的證明(x≥1)．
內(nèi) 容 標 準
學(xué) 科 素 養(yǎng)
1.掌握函數(shù)的三種表示方法：解析法、圖象法、列表法．
直觀想象、邏輯推理
數(shù)學(xué)抽象
2.會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)方法表示函數(shù).
x
1
2
3
4
f(x)
3
2
4
1
行進的站數(shù)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
票價(元)
0.5
0.5
0.5
1
1
1
1.5
1.5
1.5
x
0＜x＜5
5≤x＜10
10≤x＜15
15≤x＜20
y＝f(x)
4
6
8
10
x
1
2
3
f(x)
2
3
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
x
1
2
3
f(g(x))
1
3
2
g(f(x))
2
1
3
x
1
2
3
4
y
4
3
2
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1 指數(shù)冪的拓展

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