授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第35頁
[教材提煉]
知識點 分段函數(shù)
eq \a\vs4\al(預(yù)習(xí)教材，思考問題)
函數(shù)y＝|x|在x≥0與x＜0時的解析式相同嗎？
知識梳理 如果函數(shù)y＝f(x)，x∈A，根據(jù)自變量x在A中不同的取值范圍，有著不同的對應(yīng)關(guān)系，則稱這樣的函數(shù)為分段函數(shù)．
[自主檢測]
1．已知函數(shù)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,x＋1)，x＜－1，,\r(x－1)，x＞1，))則f(2)等于( )
A．0 B.eq \f(1,3) C．1 D．2
答案：C
2．若f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x≥0，,－x，x＜0))且f(x)＝1，則x＝( )
A．1 B．－1
C．±1 D．0
答案：C
3．函數(shù)D(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x是有理數(shù)，,0，x是無理數(shù)，))則其定義域為________，值域為________．
答案：R {0,1}
4．函數(shù)y＝|x－1|的圖象關(guān)于直線________對稱．
答案：x＝1
授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第35頁
探究一 分段函數(shù)的定義域、值域及求值問題
[例1] [教材P68例6拓展探究]
(1)若已知函數(shù)M(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(?x＋1?2，x≤－1，,x＋1，－1＜x≤0，,?x＋1?2，x＞0.))
求①M(－3)，②M(2)，③M[M(0)]，④f[M(－3)]，⑤F[M(a)]．
[解析] ①當(dāng)x＝－3時，M(－3)＝(－3＋1)2＝4.
②當(dāng)x＝2時，M(2)＝(2＋1)2＝9.
③∵M(0)＝1，
∴M[M(0)]＝M(1)＝(1＋1)2＝4.
④∵f(x)＝x＋1，
∴f[M(－3)]＝f(4)＝4＋1＝5.
⑤當(dāng)a≤－1時，M(a)＝(a＋1)2，
∴f[M(a)]＝(a＋1)2＋1.
當(dāng)－1＜a≤0時，M(a)＝a＋1，
∴f[M(a)]＝(a＋1)＋1＝a＋2.
當(dāng)a＞0時，M(a)＝(a＋1)2，
∴f[M(a)]＝(a＋1)2＋1.
綜上，f[M(a)]＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(?a＋1?2＋1， a≤－1，,a＋2， －1＜a≤0，,?a＋1?2＋1， a＞0.))
(2)?x∈R，用m(x)表示f(x)、g(x)中的較小者，記為m(x)＝mineq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(f?x?，g?x?)).求m(x)的解析式，并求m(x)的值域．
[解析] 由(x＋1)2＝x＋1得x＝－1或x＝0，
即函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)的圖象相交于兩點(－1,0)和(0,1)．
結(jié)合f(x)與g(x)的圖象得出
m(x)的解析式為m(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1， x≤－1，,?x＋1?2， －1＜x≤0，,x＋1， x＞0，))
如圖，值域為R.
1．分段函數(shù)定義域、值域的求法
(1)分段函數(shù)的定義域是各段函數(shù)定義域的并集．
(2)分段函數(shù)的值域是各段函數(shù)值域的并集．
2．絕對值函數(shù)的定義域、值域通常要轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)來解決．
3．分段函數(shù)求函數(shù)值的方法
(1)確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間．
(2)代入該段的解析式求值，直到求出值為止．當(dāng)出現(xiàn)f(f(x0))的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值．
探究二 求分段函數(shù)解析式
[例2] 如圖①，在邊長為6的正方形ABCD的邊上有一點P，沿著折線BCDA由點B(起點)向點A(終點)運動．設(shè)點P運動的路程為x，△APB的面積為y.求：(1)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)畫出y＝f(x)的圖象．
[解析] (1)按照題意，根據(jù)x的變化，寫出分段函數(shù)的解析式．
當(dāng)點P在線段BC上移動時，即0＜x≤6，BP＝x，
于是S△APB＝eq \f(1,2)AB·BP＝eq \f(1,2)×6×x＝3x；
當(dāng)點P在線段CD上移動時，即6＜x≤12，S△APB＝eq \f(1,2)AB·BC＝eq \f(1,2)×6×6＝18；
當(dāng)點P在線段DA上移動時，即12＜x＜18，S△APB＝eq \f(1,2)AB·PA＝eq \f(1,2)×6×(18－x)＝54－3x.
于是y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x，0＜x≤6，,18，6＜x≤12，,54－3x，12＜x＜18.))
(2)畫出y＝f(x)的圖象，如圖②所示．
求分段函數(shù)解析式的關(guān)鍵點
(1)明確自變量x的分段區(qū)間及分段點．
(2)明確每一段上的函數(shù)類型用待定系數(shù)法求.
若函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則其表達式f(x)為________．
解析：此函數(shù)在三個區(qū)間上的圖象各不相同，故分別寫出其在各區(qū)間內(nèi)的函數(shù)表達式．
答案：f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3,2)x＋3， x∈[－2，0?，,－\f(1,2)x＋3， x∈[0，2?，,2， x∈[2，4?.))
探究三 分段函數(shù)與方程、不等式
[例3] (1)函數(shù)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2，x≤2，,2x，x＞2.))若f(x0)＝8，則x0＝________.
[解析] 當(dāng)x0≤2時，f(x0)＝xeq \\al(2,0)＋2＝8，即xeq \\al(2,0)＝6，
∴x0＝－eq \r(6)或x0＝eq \r(6)(舍去)．
當(dāng)x0＞2時，f(x0)＝2x0＝8，∴x0＝4.
綜上，x0＝－eq \r(6)或x0＝4.
[答案] －eq \r(6)或4
(2)已知函數(shù)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x≤－2，,x＋1，－2＜x＜4,3x，x≥4，))，若f(a)＜－3，則a的取值范圍是________．
[解析] 當(dāng)a≤－2時，f(a)＝a＜－3，此時不等式的解集是(－∞，－3)；
當(dāng)－2＜a＜4時，f(a)＝a＋1＜－3，此時不等式無解；
當(dāng)a≥4時，f(a)＝3a＜－3，此時不等式無解．
所以a的取值范圍是(－∞，－3)．
[答案] (－∞，－3)
由分段函數(shù)的函數(shù)值求自變量的方法
已知分段函數(shù)的函數(shù)值求對應(yīng)的自變量的值，可分段利用函數(shù)解析式求得自變量的值，但應(yīng)注意檢驗函數(shù)解析式的適用范圍，也可先判斷每一段上的函數(shù)值的范圍，確定解析式再求解．
將本例(1)改為：若f(x)＞8，求x的范圍．
解析：當(dāng)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤2，,x2＋2＞8))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤2，,x2＞6，))
∴x＜－eq \r(6).
當(dāng)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＞2，,2x＞8，))
∴x＞4.
∴x的范圍為(－∞，－eq \r(6))∪(4，＋∞).
授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第36頁
一、形分而神不分——分段函數(shù)問題的求解方法eq \x(?直觀想象、邏輯推理)
分段函數(shù)只是在自變量不同的范圍下，有不同的解析式，但在定義域內(nèi)，它還是一個函數(shù)，而不是多個函數(shù)，解決問題時，要“分段處理”，然后結(jié)果要合為一體．
[典例] 已知實數(shù)a≠0，函數(shù)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋a，x＜1，,－x－2a，x＞1，))若f(1－a)＝f(1＋a)，則a的值為________．
[解析] 當(dāng)a＜0時，1－a＞1,1＋a＜1，
所以f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－a－1，
f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝3a＋2.
因為f(1－a)＝f(1＋a)，
所以－1－a＝3a＋2，
所以a＝－eq \f(3,4).
當(dāng)a＞0時，1－a＜1,1＋a＞1，
所以f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a，
f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－3a－1.
因為f(1－a)＝f(1＋a)，所以2－a＝－3a－1
所以a＝－eq \f(3,2)(舍去)．
綜上所述，a＝－eq \f(3,4).
[答案] －eq \f(3,4)
二、不分類討論致錯
[典例] 若函數(shù)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－x2，－1≤x≤2，,x－3，2＜x≤5，))則方程f(x)＝1的解是( )
A.eq \r(2)或2 B.eq \r(2)或3
C.eq \r(2)或4 D．±eq \r(2)或4
[解析] 當(dāng)－1≤x≤2時，由f(x)＝1得，
3－x2＝1，
所以x＝eq \r(2)或x＝－eq \r(2)(舍去)．
當(dāng)2＜x≤5時，
由f(x)＝1得，x－3＝1，所以x＝4.
綜上，f(x)＝1的解是x＝eq \r(2)或x＝4.
[答案] C
糾錯心得 解決分段函數(shù)求值問題，要緊扣“分段”的特征，即函數(shù)在定義域的不同部分，有不同的對應(yīng)關(guān)系，它不是幾個函數(shù)，而是一個函數(shù)，應(yīng)看成一個整體才有意義，它的定義域應(yīng)是各部分x范圍的并集，求值時要重視x的取值范圍．如本例當(dāng)－1≤x≤2時，求出x＝eq \r(2)或x＝－eq \r(2)，通過檢驗應(yīng)舍去x＝－eq \r(2).
內(nèi) 容 標(biāo) 準(zhǔn)
學(xué) 科 素 養(yǎng)
1.通過具體實例，了解分段函數(shù)的概念．
數(shù)學(xué)抽象
2.能畫出簡單分段函數(shù)的圖象.
直觀想象

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